1、第第1讲导数的概念及运算讲导数的概念及运算知 识 梳 理1.导数的概念设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，且x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值 _无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0).若函数yf(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作_.f(x)2.导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的_，过点P的切线方程为yy0f(x0)(xx0).斜率3.基
2、本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)_f(x)x(Q*)f(x)_f(x)sin xf(x)_f(x)cos xf(x)_f(x)exf(x)_f(x)ax(a0)f(x)_f(x)ln xf(x)_f(x)logax(a0，且a1)f(x)_x1cos xsin xexaxln a04.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有：(1)f(x)g(x)_；(2)f(x)g(x)_；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)5.复合函数求导的运算法则一般地，设函数u(x)在点x处有导数ux(x)，函数yf(u)在u处有导数yuf(u)，则复合函数yf(x
3、)在点x处也有导数，且yxyuux.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同.()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)，再求f(x0).()(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()(4)若f(x)a32axx2，则f(x)3a22x.()解析(1)f(x0)表示函数f(x)的导数在x0处的值，而(f(x0)表示函数值f(x0)的导数，其意义不同，(1)错误.(2)求f(x0)时，应先求f(x)，再代入求值，(2)错误.(4)f(x)a32axx2x22axa3，f(x)2x2a，(4)错误.答案(1)(2)(3)(4)3.(201
4、8天津卷)已知函数f(x)exln x，f(x)为f(x)的导函数，则f(1)的值为_.答案e4.(2018全国卷)曲线y2ln x在点(1，0)处的切线方程为_.答案y2x25.(2018南通、泰州调研)若曲线yxln x在x1与xt处的切线互相垂直，则正数t的值为_.解析yln x1，所以曲线在x1和xt处的切线的斜率分别为1和1ln t，所以1(1ln t)1，所以te2.答案e2考点一导数的计算【例1】求下列函数的导数：(1)y(x1)(x2)(x3)；解(1)进行积的导数计算很烦琐，故先展开再求导.因为y(x23x2)(x3)x36x211x6，所以y3x212x11.规律方法(1)
5、熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错.(2)如函数为根式形式，可先化为分数指数幂再求导.(2)(2019扬州中学质检)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.即f(2 019)(2 0191)2 020.答案(1)2 020(2)2考点二导数的几何意义角度1求切线方程【例21】(1)曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_.(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为_.解析(1)y5ex
6、，所求曲线的切线斜率ky|x05e05，切线方程为y(2)5(x0)，即5xy20.(2)点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0).解得x01，y00.切点为(1，0)，f(1)1ln 11.直线l的方程为yx1，即xy10.答案(1)5xy20(2)xy10角度2求切点坐标解析(1)设切点的横坐标为x0，解得x03或x02(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3.(2)由yex得yex，知曲线yex在点(0，1)处的切线斜率k1e01.依题意k1k21，所以m1，从而n1.则点P的坐标为(1，1).答案(1)3(2)(1，1)角度3求与切线有关的参数值(或范围)【例2
7、3】(1)已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.(2)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.答案(1)8(2)1ln 2规律方法(1)导数f(x0)的几何意义就是函数yf(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.(2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点，“曲线过点P的切线”则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标.(3)当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0.(4)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(6)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.【训练2】(1)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1，2)处的切线方程是_.解析(1)设x0，则x0时，f(x)ex1x.因此，当x0时，f(x)ex11，f(1)e012.则曲线yf(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f(1)2，所以切线方程为y22(x1)，即2xy0.答案(1)2xy0(2)2又切线与直线axy10垂直.
