1、 - 1 - 2018 高考 高 三 数学 12 月月考试题 10 满分 150 分考试时间 120 分钟 一、 填空题（ 60 分 ）本大题共有 10 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得 6 分，否则一律得零分 1 已知 2( ) 2a i i?，其中 i 是虚数单位，那么实数 a? 2 已知 52)1( px? 的展开式中， 6x 的系数为 80 ，则 ?p 3 设 ?na 是公比为 21 的 等比数列，且 4)(lim12531 ? ? nn aaaa，则 ?1a 4 设双曲线 2219 16xy?的右顶点为 A ，右焦点为 F 过点 F 且与双曲线的一条渐近线
2、平行的直线与另一条渐近线交于点 B ，则 AFB? 的面积为 5 函数? ? ? ? .0),1( ,0,2)( 1 xxf xxf x 则 (3.5)f 的值为 6 一人在海面某处测得某山顶 C 的仰角为 ? )450( ? ? ，在海面上向山顶的方向行进 m米后，测得山顶 C 的仰角为 ?90 ，则该山的高度为 米（结果化简） 7 已知点 P 在抛物线 2 4yx? 上，那么点 P 到点 (2 1)Q ?， 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为 8 甲、乙、丙 3 人安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安
3、排在另外两位前面不同的安排方法共有 种 9（理） 设不等式 1)11(log ? xa的解集为 D ，若 D?1 ，则 ?D 10（理） 设 函数? ? ? .0,2sin2 ,0,2)( xxxxxf x 则方程 1)( 2 ?xxf 的实数解的个数为 二 、 选择题（ 15 分） 本大题共有 3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论 是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分 . 11（理） 曲线 )0(0622 ? yxyx 与直线 )2( ? xky 有公共点的充要条件是【 】 A ? 0,43kB ? 34,0kC ? 43,0kD ?
4、43,43k12 已知向量 a ， b 满足： 1| ?ba ，且 |3| bkabak ? （ 0?k ）则向量 a 与向量 b 的夹角的最大值为 【 】 A 6? B 3? C 65? D 32? 13 以下四个命题中，真命题的个数为 【 】 集合 ? ?4321 , aaaa 的真子集的个数为 15； 平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角； 设 Czz ?21, ，若 02221 ?zz ，则 01?z 且 02?z ； 设 无穷数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，若 ?nS 是等差数列，则 ?na 一定是常数列 A 0 B 1 C 2 D 3 - 2 - 三、 解答题（本题
5、满分 75 分） 本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对 应的题号）内写出必要的步骤 14 （本题满分 12 分， 第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分 ） 已知函数 )co s(s inco s)( xxxxf ? ， R?x （ 1）请指出函数 )(xf 的奇偶性，并给予证明； （ 2）当 ? 2,0?x时，求 )(xf 的取值范围 15（理） （本题满分 14 分） 如图，某农业研究所要在一个矩形试验田 ABCD 内 种植三种农作物，三种农作物分别种植在并排排列的三个 形状相同、大小相等的矩形中试验田四周和三个种植区 域之间设有 1米宽的非种植区已知种植
6、区的占地面积为 800 平方米，问：应怎样设计试验田 ABCD 的长与宽， 才能使其占地面积最小？最小占地面 积是多少？ 16（理） （本题满分 15 分， 第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 8 分 ） 假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念，但还没有学习过对数的相关概念由指数函数 )10()( ? aaaxf x 且在实数集 R 上是单调函数，可知指数函数)10()( ? aaaxf x 且存在反函数 )(1 xfy ? ， ?x ? ?,0 请你依据上述假设和 已知，在不涉及对数的定义和表达形式的前提下，证明下列命题： （ 1）对于任意的正实数 21,xx ，都有 ?
7、)( 211 xxf )()( 2111 xfxf ? ? ； （ 2）函数 )(1 xfy ? 是单调函数 17（理） （本题满分 16 分， 第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 9 分 ） 设点 )0,(1 cF ? ， )0,(2 cF 分别是椭圆 )1(1: 222 ? ayaxC 的左、右焦点， P 为椭圆 C 上任意一点，且 ?1PF 2PF 最小值为 0 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设定点 )0,(mD ，已知过点 2F 且与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两点，满足 BDAD? ，求 m 的取值范围 18（理） （本题满分 18 分， 第 1
8、小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题满分 6 分 ） 若数列 ?nb 满足：对于 ?Nn ，都有 dbb nn ?2 （常数），则称数列 ?nb 是公差为 d 的准等差数列 如：若? ? .94 14 为偶数时，当 为奇数时；，当 nn nnc n 则 ?nc 是公差为 8 的 准等差数列 （ 1）求上述 准等差数列 ?nc 的前 9 项的和 9T ； （ 2）设数列 ?na 满足： aa?1 ，对于 ?Nn ，都有 naa nn 21 ? ? 求证： ?na 为 准等差数列 ，并求其通项公式； （ 3）设（ 2）中的数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，试研究：是否存在
9、实数 a ，使得数列 ?nS 有连续的两项都等于 50 若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由 - 3 - 答案 一、 1 1? ； 2 2； 3 3； 4 310 ； 5 22 ； 6 ?2tan21m ； 7 1 14?，； 8 20； 9 ? ? 0,11a； 10（理） 3 二 、 11 C 12 B 13 B 三、 14 解：2142s in22)( ? ? ?xxf（ 3 分） （ 1） ? ? 82 12218 ? ff?， )(xf? 是非奇非偶函数 （ 3 分） 注：本题可分别证明非奇或非偶函数，如 01)0( ?f? ， )(xf? 不是奇函数 （ 2）由 ? 2,
10、0?x，得 45424 ? ? x ， 142sin22 ? ? ?x （ 4 分） 所以2 122142s in220 ? ? ?x即 ? ? 2 12,0)(xf （ 2 分） 15 解： 设 ABCD 的长与宽分别为 x 和 y ，则 800)2)(4( ? yx （ 3 分） 42792? x xy （ 2 分） 试验田 ABCD 的面积 ?xyS 4 )2792( ?x xx （ 2 分） 令 tx ?4 ， 0?t ，则 96880832002 ? ttS ， （ 4 分） 当且仅当 tt 32002 ? 时， 40?t ，即 44?x ，此时， 22?y （ 2 分） 答 : 试
11、验田 ABCD 的长与宽分别为 44 米、 22 米时，占地面积最小为 968 米 2. （ 1 分） 16（理） 证明：（ 1）设 )( 111 xfy ? ， )( 212 xfy ? ，由题意，有 11 yax? ， 22 yax ? ，（ 2 分） 所以 212121 yyyy aaaxx ? ， （ 3 分） 所以， )( 21121 xxfyy ? ， 即 ? )( 211 xxf ? )( 11 xf )( 21 xf? （ 2 分） （ 2） 当 1?a 时， )(1 xfy ? 是增函数 证明：设 021 ?xx ，即 021 ? yy aa ，又由指数函数 )1( ? aa
12、y x 是 增函数，得 21 yy? ，即 ? )( 11 xf )( 21 xf? （ 4 分） 所以，当 1?a 时， )(1 xfy ? 是增函数 （ 2 分） 同理，当 10 ?a 时， xy alog? 是减函数 （ 2 分） 17（理） 解：（ 1）设 ),( yxP ，则有 ),(1 ycxPF ? ， ),(2 ycxPF ? （ 1 分） ? ?aaxcxaacyxPFPF ,11 222222221 ? （ 3 分） - 4 - 由题意， 2101 22 ? acc ， （ 2 分） 所以，椭圆 C 的方程为 12 22 ?yx （ 1 分） （ 2）由 (1)得 (1,0
13、)F ，设 l 的方程为 ( 1)y k x?， （ 1 分） 代入 2 2 12x y?，得 2 2 2 2( 2 1) 4 2 2 0k x k x k? ? ? ? ? （ 2 分） 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则 221 2 1 24 2 2,2 1 2 1kkx x x x ? ? ?， 1 2 1 2 22( 2 ) 21ky y k x x k? ? ? ? ? ? ?设 AB 的中点为 M ，则 )12,12 2(222 ? k kk kM ， （ 2 分） BDAD ? ， ABDM? ，即 1? ABCM kk 2 222422 0 (
14、1 2 )2 1 2 1kkm k m k m? ? ? ? ? ? ?（ 2 分） 因为直线 l 不与坐标轴垂直的，所以 .212 mmk ? ? ? 021 mm 210 ?m （ 2 分） 18（理） 解：（ 1） .2112 4)4117(2 5)353(9 ?T（ 4 分） （ 2） naa nn 21 ? ? （ ?Nn ） )1(221 ? ? naa nn - 得 22 ? nn aa （ ?Nn ） （ 2 分） 所以， ?na 为公差为 2 的准等差数列 （ 1 分） 当 n 为偶数时， annaan ? ? 2122， （ 2 分） 当 n 为奇数时，解法一： 1212
15、1 ? ? annaa n； （ 2 分） 解法二： ? ? ? 11)1(2)1(2 1 ? ? anannana nn ； 解法三：先求 n 为奇数时的 na ，再用 求 n 为偶数时的 na 同样给分 ? ? ? 为偶数） （ 为奇数）（ nan nana n , ,1（ 1 分） （ 3）解一： 当 n 为偶数时， ? ? 22122 1222222 1222 nnnnannnaS n ? ? ? ； （ 1 分） 当 n 为奇数时， ? ? 22 121212122212 12 121 ? ? ?nnnannnaSn - 5 - 2121 2 ? an （ 1 分） 当 k 为偶数时， 5021 2 ? kSk，得 10?k （ 1 分） 由题意，有 105021921 29 ? aaS；
