1、 1 广西钦州市钦州港经济技术开发区 2018届高三理科 数学开学考试试卷 一选择题（共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1. 设 S， T是两个非空集合，且它们互不包含，那么 S( S T)等于 ( ) A. S T B. S C. ? D. T 【答案】 B 【解析】 如图， 由图可知 ,S (S T)=S. 故选： B. 2. 设集合 A=x|1 x 2， B=x|x a，若 A B=A，则 a的取值范围是（ ） A. a|a2 B. a|a1 C. a|a1 D. a|a2 【答案】 D 【解析】 设 A=x|12. 故选 D 8. 已知 a为不等于零的实数，那么集合 M x|x
2、2 2(a 1)x 1 0， x R的子集的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 1或 2或 4 【答案】 D 【解析】 当 =4（ a+1） 2-4 0时，一元二次方程 x2 2(a 1)x 1 0有两个不相等的实数根，所以集合 M的元素有两个， 则集 合 M子集的个数为 22=4 个； 当 =4（ a+1） 2-4=0即 a=-2时，一元二次方程 x2 2(a 1)x 1 0有两个相等的实数根，所以集合 M的元素有一个， 则集合 M子集的个数为 21=2 个； 当 =4（ a+1） 2-4 0时，一元二次方程 x2 2(a 1)x 1 0没有实数根，所以集合 M为空集，则集合
3、M的子集的个数为 1个 综上，集合 M的子集个数为： 1个或 2个或 4个 故选 D 点睛：本题主要是先判断一元二次方程根的情况，有三种情况，再由集合中有 n个元素，子集个数有 个进行求解 9. 下列正确的命题的个数有 ( ) 1N ； N *； Q ； 2 ?R； ?Z. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4 【答案】 B 【解析】 1 属于自然数集合，对； 属于正整数集合，不对； 属于有理数集合，对； 2+ 不属于实数集，不对； 不是整数，不对； 故选 B 10. 已知 与 都是定义在 上的奇函数，且当时 ， （ ），若 恰有4 个零点，则正实数 的取值范围是（ ） A. ；
4、 B. ； C. ； D. 【答案】 C 【解析】 若 y=g(x)?h(x)恰有 4个零点，即 g(x)和 h(x)有 4个交点，画出函数 g(x),h(x)的图象，如下图所示，结合图象得： ，解得： ， 本题选择 C选项 . 11. 已知集合 , ,那么 =( ) A. 1,2,3,4,5 B. 2,3,4,5 C. 2,3,4 D. 【答案】 B 故选 B 12. 已知集合 M中的元素 a， b， c是 ABC的三边，则 ABC一定不是 ( ) A. 锐角三角 B 钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形 5 【答案】 D 【解析】 根据集合元素的互 异性可知， a， b， c全不相等，故
5、 ABC一定不是等腰三角形 . 故选 D. 点睛：这是一道以三角形为载体，考查集合中的元素特征的题目，掌握集合元素的三个特性是解题的关键 二、填空题：（共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13. 已知集合 ，若 1 A，则 A _. 【答案】 3,1 【解析】 集合 ， 1 A， 则 由一根是 1，所以 ，=-3,所以 0， x=1或 x=-3,所以 A 3,1 14. 设集合 P=1,2,3,4,集合 M=3,4,5全集 U=R，则集合 = _ 【答案】 1， 2 【解析】 =除去 3,4,5以外的实数 ， P =1,2,3,4, 除去 3,4,5以外的实数 =1,2， 15. .已知集
6、合 A 1,2,3， B 2,3,4,5，则集合 C (x， y)|x A B， y A B中元素个数为 _ 【答案】 10 【解析】 集合 A=1， 2， 3， B=2， 3， 4， 5， A B=2， 3， A B=1， 2， 3， 4， 5， C=（ 2， 1），（ 2， 2），（ 2， 3），（ 2， 4），（ 2， 5）， （ 3， 1），（ 3， 2），（ 3， 3），（ 3， 4），（ 3， 5） ， 其中元素的个数是 10 16. 设复数 ， 若 ，则实数 a=_ 【答案】 【解析】 ， ， = = = + ， 6 R， 4a+6=0， a= . 故答案为： 点睛：对于复数 ，
7、当且仅当 b=0时，复数 a、 b R)是实数 a；当 b0时，复数 叫做虚数；当 a=0 且 b0 时， z=bi叫做纯虚数；当且仅当 a=b=0时，z就是实数 0 三 、 解答题：（共 4大题，每小题 10分，共 40分） 17. 已知集合. (1)若 ,问是否存 在 使 ; (2)对于任意的 ,是否一定有 ?并证明你的结论 . 【答案】 (1) 一定存在 ,使 成立 (2) 不一定有 【解析】 试题分析： （ 1）根据已知条件知：若 a A， b B，则一定存在 n1， n2 z，使得 a=3n1+1， b=3n2+1，所以 a+b=3（ n1+n2） +3而集合 M的元素需满足： x=
8、6n+3=3?2n+3，显然 n1+n2=2n时成立，（ 2）根据（ 1）判断：若 n1+n2为奇数，则结论不正确所以不一定有 a+b=m且 m M 试题解析： (1)令 ,则 . 再令 ,则 . 故若 ,一定存在 ,使 成立 . (2)不一定有 . 证明如下 :设 , 则 . 因为 所以 . 若 为偶数 ,令 , 则 ,此时 . 若 为奇数 ,令 , 则 ,此时 综上可知 ,对于任意的 不一定有 . 18. 已知集合 ，求 (1)当 时， 中至多只有一个元素，求 a的取值范围； (2)当 时， 中至少有一个元素，求 a的取值范围； 7 (3)当 a,b满足什么条件时，集合 为非空集合 . 【
9、答案】 (1) 或 (2) a=0或 a?1(3) 当 a、 b满足 a0 或 b0 或 a0 时 , 时，集合 A为非空集合 【解析】试题分析：（ 1） 中至多只 有一个元素包括只有 1个或没得元素，只有一个元素分两种情况，故需分类讨论；（ 2） 中至少有一个元素，包括恰有 1个元素和由 2个元素，注意字母 a的讨论；（ 3）集合 为非空集合包括有一个元素，有 2个元素，有一个元素需分 a是否为 0来讨论，有 2 个时只需 试题解析：（ 1） 或 其中：当 时， ，当 时， ，当 时， （ 2） 或 ，即 其中：当 时， ，当 时， ，当 时， （ 3）当 时， ，当 时， 考点：集合与元素
10、 19. 若 3 a 3,2a 1， a2 1，求实数 a的值 . 【答案】 a 0或 1 【解 析】 试题分析：已知集合 a-3， 2a-1， a2+1，分析 a2+11 不可能等于 -3，所以只分两种情况，从而求解 试题解析： ，又 1 ， 3 a 3，或 3 2a 1， 解得 a 0，或 a 1， 当 a 0时， a 3,2a 1， 3， 1,1，满足集合中元素的互异性； 当 a 1时， a 3,2a 1， 4， 3,2，满足集合中元素的互异性； a 0或 1. 点睛：解决集合问题时，注意元素的互异性 .在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足 “
11、互异性 ” 而导致解题错误 . 8 20. 设函数 （ 为自然对数的底数）， ， . (1)若 是 的极值点，且直线 分别与函数 和 的图象交于 ，求 两点间的最短距离； (2)若 时，函数 的图象恒在 的图象上方，求实数 的取值范围 . 【答案】 (1)|PQ|min=1(2) (?,2 【解析】 试题分析： (1)结合题意可得 |PQ|=et+sint?2t.令 h(x)=ex+sinx?2x，结合函数的性质可得 两点间的最短距离是 1； (2)构造函数 ， 结合题意可得实数 的取值 范围是 . 试题解析： (1)因为 F(x)=ex+sinx?ax,所以 F( x)=ex+cosx?a，
12、 因为 x=0是 F(x)的极值点 ,所以 F(0)=1+1 ?a=0， a=2. 又当 a=2时 ,若 xF(0)=1+1 ?2=0,所以 x=0是 F(x)的极小值点， 所以 a=2符合题意 ,所以 |PQ|=et+sint?2t.令 h(x)=ex+sinx?2x,即 h( x)=ex+cosx?2， 因为 h( x)=ex?sinx,当 x0时 ,ex1， ?1?sinx?1， 所以 h( x)=ex?sinx0,所以 h( x)=ex+cosx?2 在 (0,+) 上递增， 所以 h( x)=ex+cosx?2h(0)=0, x 0,+) 时 ,h(x)的最小值为 h(0)=1,所以
13、 |PQ|min=1. (2)令 ， 则 ， ， 因为 当 时恒成立 ， 所以函数 在 上单调递增， 当 时恒成立 ； 故函数 在 上单调递增，所以 在 时恒成立 . 当 时， ， 在 单调递增，即 . 故 时 恒成立 . 9 当 时，因为 在 单 调递增，所以总存在 ，使 在区间上 ，导致 在区间 上单调递减，而 ，所以当 时， ，这与 对 恒成立矛盾，所以 不符合题意，故符合条件的 的取值范围是 . 点睛： 导数是研究函数的单调性、极值 (最值 )最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求 参数 (3)利用导数求函数的最值 (极值 )，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用
