1、 1 2016-2017 学年天津市静海高三（下） 4 月月考数学试卷 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1设集合 A= 1， 1， 2， B=a+1， a2 2，若 A B= 1， 2，则 a的值为（ ） A 2或 1 B 0或 1 C 2或 1 D 0或 2 2已知 x， y满足约束条件 ，则 z=3x+y的取值范围为（ ） A 2， 10） B（ 2， 10 C 6， 10 D（ 6， 10 3在 ABC中，若 AB=4， AC=BC=3，则 sinC的值为（ ） A B C D 4已知一个算法的程序框图如图所示，
2、当输出的结果为 0时，输入的 x值为（ ） A 2或 2 B 1或 2 C 2或 1 D 1或 2 5 “ |x+1|+|x 2| 5” 是 “ 2 x 3” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6已知 A、 B分别为双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右顶点， P为双曲线上一点，且 ABP为等腰三角形，若双曲线的离心率为 ，则 ABP的度数为（ ） A 30 B 60 C 120 D 30 或 120 2 7如图，在平行四边形 ABCD中， BAD= ， AB=2， AD=1，若 M、 N分别是边 AD、 CD上的点，且满足 = = ，其中
3、0， 1，则 ? 的取值范围是（ ） A 3， 1 B 3， 1 C 1， 1 D 1， 3 8设函数 f（ x） = ，若对任意给定的 y （ 2， + ），都存在唯一的 x R，满足 f（ f（ x） =2a2y2+ay，则正实数 a的最小值是（ ） A 2 B C D 4 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分） . 9已知 =1+i，则 |z|= 10若 二项展开式中的前三项的系数成等差数列，则常数项为 （用数字作答） 11已知一个几何体的三视图如图所示（单位： cm），则该几何体的体积为 cm3 12在直角坐标系 xOy，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），以坐
4、标原点为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标 系，圆 C 的极坐标方程式 = 4cos ，则圆 C的圆心3 到直线 l的距离为 13曲线 y= x2和它在点（ 2， 1）处的切线与 x轴围成的封闭图形的面积为 14已知函数 f（ x） = ，若关于 x 的方程 f（ x） m=0 恰有五个不相等的实数解，则 m的取值范围是 三、解答题：本大题共 6小题，共 50分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 15已知函数 f（ x） =2 sin（ ax ） cos（ ax ） +2cos2（ ax ）（ a 0），且函数的最小正周期为 （ ）求 a的值； （ ）求 f（ x）在 0， 上的最大值和
5、最小值 16理科竞赛小组有 9 名女生、 12名男生，从中随机抽取一个容量为 7的样本进行分析 （ ）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可） （ ）如果随机抽取的 7名同学的物理、化学成绩（单位：分）对应如表： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 物理成绩 65 70 75 81 85 87 93 化学成绩 72 68 80 85 90 86 91 规定 85 分以上（包括 85份）为优秀，从这 7名同学中再抽取 3名同学，记这 3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为 X，求随机变 量 X的分布列和数学期望 17如图，在四棱锥 P ABCD中， PA 底面 A
6、BCD， AB AD， AC CD， ABC=60 ， PA=AB=BC，E是 PC 的中点 （ ）证明： CD AE； （ ）证明： PD 平面 ABE； （ ）求二面角 A PD C的大小 4 18已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，公比 q 0， S2=2a2 2， S3=a4 2 （ ）求数列 an的通项公式； （ ）设 bn= ， Tn为 bn的前 n项和，求 T2n 19已知椭圆 =1的一个焦点为 F（ 2， 0），且离心率为 （ ）求椭圆方程； （ ）斜率为 k的直线 l过点 F，且与椭圆交于 A， B两点， P为直线 x=3上的一点，若 ABP为等边三角形，求直线 l的方
7、程 20设函数 f（ x） = x2+alnx，（ a 0） （ 1）若函数 f（ x）的图象在点（ 2， f（ 2）处的切线斜率 为 ，求实数 a的值； （ 2）求 f（ x）的单调区间； （ 3）设 g（ x） =x2（ 1 a） x，当 a 1时，讨论 f（ x）与 g（ x）图象交点的个数 5 2016-2017 学年天津市静海一中高三（下） 4月月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1设集合 A= 1， 1， 2， B=a+1， a2 2，若 A B= 1， 2，则 a的值为（ ）
8、 A 2或 1 B 0或 1 C 2或 1 D 0或 2 【考点】 1E：交集及其运算 【分析】 由交集定义得到 或 ，由此能求出 a的值 【解答】 解： 集合 A= 1， 1， 2， B=a+1， a2 2， A B= 1， 2， 或 ， 解得 a= 2或 a=1 故选： A 2已知 x， y满足约束条件 ，则 z=3x+y的取值范围为（ ） A 2， 10） B（ 2， 10 C 6， 10 D（ 6， 10 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条
9、件 作出可行域如图， 6 化目标函数为 y= 3x+z， 由 图可知，当直线 y= 3x+z过 A时， z取最大值， 由 ，得 A（ 4， 2），此时 zmax=3 4 2=10； 当直线 y= 3x+z过点 B时，由 ，解得 B（ 0， 2），故 z 3 0 2= 2 综上， z=3x+y的取值范围为（ 2， 10 故选： B 3在 ABC中，若 AB=4， AC=BC=3，则 sinC的值为（ ） A B C D 【考点】 HR：余弦定理 【分析】 由已知利用余弦定理可求 cosC的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求 sinC的值 【解答】 解：在 ABC 中， AB=4， AC=BC
10、=3， cosC= = = ， sinC= = 故选： D 4已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为 0时，输入的 x值为（ ） 7 A 2或 2 B 1或 2 C 2或 1 D 1或 2 【考点】 EF：程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数的函数值 【解答】 解 ：由题意， 或 x=1或 2 故选 D 5 “ |x+1|+|x 2| 5” 是 “ 2 x 3” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 对
11、x分类讨论，解出不等式 |x+1|+|x 2| 5，即可判断出结论 【解答】 解：由 |x+1|+|x 2| 5， x 2时，化为 2x 1 5，解得 2 x 3； 1 x 2时，化为 x+1（ x 2） 5，化为： 3 5，因此 1 x 2； x 1时，化为 x 1 x+2 5，解得 2 x 1 综上可得： 2 x 3 “ |x+1|+|x 2| 5” 是 “ 2 x 3” 的充要条件 故选： C 8 6已知 A、 B分别为双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右顶点， P为双曲线上一点，且 ABP为等腰三角形，若双曲线的离心率为 ，则 ABP的度数为（ ） A 30 B 60 C 120
12、 D 30 或 120 【考点】 KC：双曲线的简单性质 【分析】 双曲线的离心率为 ，则 a=b，双曲线方程为 x2 y2=a2，利用 ABP为等腰三角形，分类讨论，即可求出 ABP的度数 【解答】 解：双曲线的离心率为 ，则 a=b，双曲线方程为 x2 y2=a2， 若 |AB|=|BP|=2a，设 P（ m， n），则 ， m=2a， PBx=60 ， ABP=120 ； 若 |AB|=|AP|=2a，设 P（ m， n），则 ， m= 2a， PAB=120 ， ABP=30 ， 故选 D 7如图，在平行四边形 ABCD中， BAD= ， AB=2， AD=1，若 M、 N分别是边 A
13、D、 CD上的点，且满足 = = ，其中 0， 1，则 ? 的取值范围是（ ） A 3， 1 B 3， 1 C 1， 1 D 1， 3 【考点】 9R：平面向量数量积的运算 【分析】 画出图形，建立直角坐标系，求出 B， A， D的坐标，利用比例关系和向量的运算求出 ， 的坐标，然后通过二次函数的单调性，求出数量积的范围 【解答】 解：建立如图所示的以 A为原点， AB， AD 所在直线为 x， y轴的直角坐标系， 则 B（ 2， 0）， A（ 0， 0）， D（ ， ） 9 满足 = = ， 0， 1， = + = +（ 1 ） = +（ 1 ） =（ ， ） +（ 1 ）（ 2， 0） =
14、（ 2 ， ）； = + = +（ 1 ） =（ 2， 0） +（ 1 ）（ ， ） =（ ， （ 1 ）， 则 ? =（ 2 ， ） ?（ ， （ 1 ） =（ 2 ）（ ） + ? （ 1 ） = 2+ 3=（ + ） 2 ， 因为 0， 1，二次函数的对称轴为： = ， 则 0， 1为增区间， 故当 0， 1时， 2+ 3 3， 1 故选： B 8设函 数 f（ x） = ，若对任意给定的 y （ 2， + ），都存在唯一的 x R，满足 f（ f（ x） =2a2y2+ay，则正实数 a的最小值是（ ） A 2 B C D 4 【考点】 3H：函数的最值及其几何意义 【分析】 由已知函数解析式得到函数值域，结合存在唯一的 x R，满足 f（ f（ x） =2a2y2+ay，可得 f（ f（ x） 1，即 f（ x） 2，进一 步转化为 2a2y2+ay 1， y （ 2， + ），求解不等式得到 y的范围，进一步得到 a的范围得答案 10 【解答】 解：函数 f（ x） = 的值域为 R f（ x） =2x，（ x 0）的值域为（ 0， 1； f（ x） =log2x，（ x 0）的值域为 R f（ x）的值域
