1、5.1 质点的角动量 角动量定理1.质点的角动量 L rp r mv 称为质点相对参考点O的角动量或动量矩mLrpOsinsinrmvrpL第5动量 角动量守恒定律例：求从A点自由下落质点在任意时刻的角动量vmroRrA任意时刻 t，有 221t grt gmvmp（1）对 A 点的角动量0321ggmtprLARrr（2）对 O 点的角动量prRprLO)(t gmRpRgRRmgtLOm2.质点的角动量定理 角动量的时间变化率dtpdrpdtrdprdtddtLd)(v mvrF 力矩定义：对O点力矩MrF质点的角动量定理dLMdtrF 大小Fr质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动
2、量的时间变化率sinFrM FrrMOA3角动量守恒定律0外M则0dLdt或L常矢量若对某一固定点，质点所受合外力矩为零，,则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。若dLMdt质点的角动量定理r mv例：质点做匀速直线运动中，对0点角动量是否守恒？pmvrLOArsinrmvoLrm v例.试利用角动量守恒定律:1)证明关于行星运动的开普勒定律:任一行星和太阳之间的联线,在相等的时间内扫过的面积相等,即掠面速度不变.(2)说明天体系统的旋转盘状结构.(1)行星对太阳O的角动量的大小为sintsmrLlimt0sinmvrprL其中是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.s表示t时间
3、内行星所走过的弧长,则有2sinsrsrr表示从O到速度矢量 v 的垂直距离,则有OAvBrSr用证明dtdmtmLlim0t22 时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积,如图中所示.其中 是tdtdmtmLt22lim0 d/dt 称为掠面速度.由于万有引力是有心力,它对力心O的力矩总是等于零,所以角动量守恒,L=常量,行星作平面运动,而且常量mLdtd2这就证明了掠面速度不变,也就是开普勒第二定律.OA1vCDB2v1rS2r1r2r(2)角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构天体系统的旋转盘状结构5.2 质点系的角动量定理mimjm1iFjFjifijfOirjr质点系角动量1()niiii
4、LLrp第i个质点角动量的时间变化率()iiiijijdLrFfdt()iiiijiiijdLrFrfdtMM外内M外iiirFM内()iijiijrf0dLMdt外质点系的角动量定理0M外时质点系的角动量守恒iiLL常矢量例.两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮绳子的两端。一个孩子用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。若滑轮的质量和轴上的摩擦都可忽略，哪一个小孩先到达滑轮？两个小孩重量不等时情况又如何？hhm1m2 解：把每个小孩看成一个质点，以滑轮的轴为参考点，把两个小孩看成一个系统。此系统的总角动量为)(21vvmRLv1左边孩子向上的速度；v2右边孩子向上的速度；此系统所受外力矩：只有两个小孩
5、所受重力矩，彼此抵消。（内力矩不改变系统角动量。）因此整个系统角动量守恒。R设两个小孩起初都不动，即0,002010tLvv 以后，虽然 v1,v2 不再为零，但总角动量继续为零，即v1,v2 随时保持相等，所以他们将同时到达滑轮。若两个小孩重量不等，即21mm 系统所受外力矩,)12gRmmM（外系统总角动量RvmvmL)(2211仍设起初两个小孩都不动，0,002010tLvv由角动量定理,)(12dtdLgRmmM外若0,0:21LdtdLmm有212211,0vvvmvm轻的升得快；)(21vvmRLhhm1m2R例.光滑水平桌面上放着一质量为M的木块,木块与一原长为L0,劲度系数为k
6、的轻弹簧相连,弹簧另一端固定于O点.当木块静止于A处时,弹簧保持原长,设一质量为m的子弹以初速 v0水平射向M并嵌在木块中.当木块运动到 B(OBOA)时,弹簧的长度为L.Mm0LLAOB0vBv求木块在B点的速度 vB的大小和方向.解:(1)m和M相撞时,系统的动量守恒AvMmmv)(0(2)AB,只有弹力作功,机械能守恒2021221221)()()(LLkvMmvMmBA(3)AB,弹力对O点的力矩为零,对O点角动量守恒sin)()(0LvMmLvMmBA2/1202022)()(MmLLkvMmmvB212020200)()(arcsinmMLLkvmLvmLk5.3 刚体的定轴转动(
7、1)平动:在运动过程中刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置都相互平行ABABB A刚体的平动任意质元运动都代表整体运动(2)定轴转动 刚体所有质元都绕一固定直线（定轴）做圆周运动1.刚体的平动和定轴转动用质心运动代表刚体的平动（质心运动定理）2 用角量描述转动1)角位移 :在 t 时间内刚体转动角度2)角速度 :0limtdtdt 3)角加速度 :220limtddtdtdt z刚体定轴转动角速度的方向按右手螺旋法则确定vra切向分量 tdvdarrdtdt法向分量 22nvarrzvOP 线量与角量关系rdSr dddS匀变速直线运动ddtddtdSvdtdvadt0vvat2012Sv t
8、at2202vvaS匀变速定轴转动0t2012tt22025.4 定轴转动刚体的角动量定理 角动量守恒dLMdt外质点系的角动量定理Z轴分量zdLMdtz:im质元iF对O点的力矩ioiiMrFoiioiizrFrF（垂直z轴）?oiiiiizirFrFrFirirzMiOizFiFiFzOoirimiivizr（垂直z轴）izMMzsiniiirF?zizLLiir FsiniziiiMrF1.刚体对转轴的力矩和角动量ioii iLrmvoiirvii oiiLm r v siniziLLiLizLsini oi imr vizi iiLm rv sinioirrim质元到转轴的垂直距离ii
9、vr2()i im r 刚体到转轴的转动惯量2zi iiJmr2()zi iiLmrzdLMdtz?zzdLdMJdtdtz对固定轴MJirirzMiOizFiFiFzOoirimiivizrzJ2.刚体对定轴的角动量守恒角动量定理1 质点由微分式M dtdL积分式221121tLtLM dtdLLL2 质点系由dtLdM外微分式M dt dL外积分式221121tLtLMdtdLLL外3 定轴转动刚体zd JdLdMJdtdtdtz(轴)积分221121ttMdtJdJJ轴这里iiLL定轴转动刚体角动量守恒0M轴合外当时21JJ恒量dLMdt若转动惯量有变化，则有：2211JJ恒量1.刚体定
10、轴转动定律MJ轴外与牛顿第二定律对比amF外刚体到转轴的转动惯量2i iiJmr 转动惯量的物理意义:(1).刚体转动惯性大小的量度(2).转动惯量与刚体的质量有关(3).J 在质量一定的情况下与质量的分布有关(4).J与转轴的位置有关对比刚体的角动量和质点的动量LJmvp 与对应mJ5.5 定轴转动刚体的转动定律 转动中的功和能2.转动惯量的计算2i iiJm r称为刚体对转轴的转动惯量对质量连续分布刚体dmrJ2线分布 dxdm面分布dsdm体分布dvdm是质量的线密度是质量的面密度是质量的体密度例:一均匀细棒长 l 质量为 m1)轴 z1 过棒的中心且垂直于棒2)轴 z2 过棒一端且垂直
11、于棒求:上述两种情况下的转动惯量OdxxZ 1dxdm解:设棒质量的线密度2222121)11mldxxJllZ20231)22mldxxJlz12zzJJ所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义2l2lxdxdmdx OZ 2l 有关转动惯量计算的几个定理1）平行轴定理2mhJJczh式中式中:关于通过质心轴的转动惯量cJm 是刚体质量,h 是 c 到 z 的距离zJ是对平行于质心轴的一个轴的转动惯量zC2）转动惯量叠加，如图CBAzJJJJ式中:是A球对z轴的转动惯量AJBJ是B棒对z轴的转动惯量cJ是C球对z轴的转动惯量3）回转半径任意刚体的回转半径 mJRG式中:J 是刚体关于某一轴的
12、转动惯量,m 是刚体的质量是刚体的质量)(2GRmJ ACzBo2zGR2l2312mlJZmJRZG2例:73.1312lmmlG 不是质心CG 转动惯量的计算例:求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量 如下图:解:2RmdmrJz2dsrR02Rrdrr022RrdrRmr0222221mRRrdsZ质量面密度刚体定轴转动定律的应用Rm1m2am1gm2gT解：11m gTma22Tm gm a1212()m gm gmm a1212mmagmm对否？T1T2T12TT否则滑轮匀速转动，而物体加速运动T1T2111m gTma222Tm gm a12TR TR
13、JaR转动定律线量与角量关系212JMR121212mmagmmMM例1：质量为M，半径为R的均匀圆盘形定滑轮上绕一轻绳，绳的两端分别悬挂质量为m1和m2的物体，m1 m2，滑轮与轴间无摩擦，绳与滑轮间无相对滑动。求物体的加速度a。l例2.已知：匀质杆m，长 一端O固定，当由水平位置自由下落到时求：?F?F 解：mgC1cos2Mmgl质心运动定理MJ21cos213mglml3 cos2glddtddddtdd3 cos2gl003 cos2gddl 3 singl转动定律1F2F1sinnFmgma2costmgFma212nal3 sin2g2tla3 cos4glmOl15sin2Fm
14、g21s4Fmgco2212FFF2199sin14mg21cos10sinFtgF质心运动定理1sinnFmgma2costmgFma212nal3 sin2g2tla3 cos4gmgC1F2FlmOlF例3:一半径为R，质量为m的匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间的摩擦系数为。令圆盘以0绕中心轴旋转后，问经过多少时间才停止转动？2Rmrrmd2dmgrMzddmgR32解:RzrgrM02d2043gRtRg34 0?0?摩擦力的和?MJvOlMm0v?例4.已知：匀质杆M，长 一端悬挂于固定点O，子弹m，水平速度 ,射入不复出l0v求：?解：对M，m系统0M轴外系统角动量守
15、恒2013Mmv lmvlJmvlMlvl033vmmM l射入后瞬间cos|FdrcosFrdOdrFvP|drcosMFr21dJddt21Jd22211122JJ刚体的刚体的转动动能转动动能212kEJ定轴转动动能定理定轴转动动能定理dAF drdA Md21kkA EE力矩作功力矩作功212KiiiEmv21()2iiimr221()2i iimr212J21AMd3.转动中的功和能例：质量为m，长为 l 的均匀直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，可以在竖直平面内运动。初始时，棒静止在水平位置。求它由此自由下摆角时的角速度和角加速度。COxyzgm解:定轴转动定律1cos2Ml m gM
16、Jd3 cosd2gl动能定理2221126kEJml3 cos2gl23 singld3cosd2gtl23 singl01dsin2AMmgl0kkEE22106ml *5.6 进动据刚体的角动量定理有:MdtLdLd同方向M重力矩式中:cr是陀螺质心的位置矢量,与自转轴同向,与之平行 L时间内,L的变化为:角动量L顶端绕一水平圆周运动把自转轴绕一竖直轴的这种转动,称为旋进或进动.zr sinMgm rcLzL sinM d(a)(b)(c)与cMrmgdtdLMdtdLLdL 结束语结束语当当你尽了自己的最大努力你尽了自己的最大努力时时，失败失败也是伟大也是伟大的，所以不要放弃，坚持的，所以不要放弃，坚持就是正确的。就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End谢谢谢谢大家大家荣幸荣幸这这一路，与你同行一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way演讲人：演讲人：XXXXXX 时时 间：间：XX年年XX月月XX日日
