1、双曲线中的斜率和（积）问题 x2y2例 1.（2022 新高考 1 卷）已知点A(2,1)在双曲线C:22直线l交C于P，1(a 1)上，aa 1Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为 0求l的斜率.（2）若tanPAQ 2 2，求PAQ的面积 x2解法 1：（设点解点）设直线AP的方程为y k(x2)1，与双曲线C的方程 y212222联立，消去y得到(12k)x 4k(2k 1)x8k 8k 4 0，根据韦达定理，得 8k28k 44k24k 22k24k 1xAxP，故xP，从而yP k(xP2)1.22212k2k 112k因为直线AP、AQ的斜率之和为0，所以直线AQ的方程为y k(x2
2、)1，同理，可4k24k 22k24k 1得：xQ，yQ.2k2112k22k24k 12k24k 122yP yQ12k12k 1 所以直线l的斜率为xP xQ4k24k 24k24k 22k212k21解法 2：设P(x1,y1),Q(x2,y2)，由点P,Q,A都在双曲线C上，得 2x12x222222 y11,y21，1 1，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得：222kPAy11x 2y21x221k，QA.因为直线AP、AQ的斜率之和为0，x122(y11)x222(y21)即kPA kQA，所以，y11x22 由得2(y1y2 y1 y21)(x1x22x12x24).x122(
3、y21)y21x12由得2(y1y2 y2 y11)(x1x22x22x14).x222(y11)由-，得y1 y2 x2 x1，从而kPQy1 y2 1，即l的斜率为1.x1 x2解法 3：（设而不求）将点A代入双曲线方程得2411，化简得a44a2 4 0，22aa 1x2故双曲线方程为 y21，由题显然直线l的斜率存在，设l:y kx m，设P(x1，a 2，2y1)Q(x2，y2)，则联立双曲线得：(2k21)x2 4kmx 2m2 2 0，故x1 x2 4km，22k 1y11y21kx1 m1kx2 m12m22，k k 0，x1x2APAQx12x22x12x222k21化简得：
4、2kx1x2(m 1 2k)(x1 x2)4(m 1)0，2k(2m2 2)4km故(m12k)()4(m1)0，2k212k21即(k 1)(m 2k 1)0，当m2k 1 0时，直线l:y k(x2)1过点 A，不合题意，舍去.,故k 1.方法 4.（同构双斜率）设过点A的直线方程为y k(x2)1，直线l的方程为y k0 xm，联立解得 22kk0k0mkm2k 1xxP,yP，代入双曲线C的方程 y21中，整理得k k0k k0242(2k0m)22k24(m1)k0(2k0 m)k0k(m1)24k02 0，这是关于k的一元二次方程，方程的两根k1、k2分别为直线AP、AQ的斜率.因
5、为直线AP、AQ的斜率之和为0，即k1k2 0，所以(m1)k0(2k0m)k0 0，整理后分解得(k01)(2k0 m1)0.因为直线l不经过点A，所以2k0m 1，从而k0 1，即l的斜率为1.方法 5（齐次化联立）双曲线方程为x y21，设Px1,y1,Qx2,y2，22AP,AQ 的斜率之和为 0，k1k2y11y21 0，x12x222x 2 2x22故将双曲线方程为 y21变形为：y 111，22且设直线l:mx2ny11，由式有：x22y14x2y1 0 22x22y14x2y1mx2ny1 0 4m1x24n2y14m4nx2y1 0 2222y 1 4m4ny 1 4m1 0
6、24n2,（两边同除以），x22x2x2即4n2k24m4nk 4m1 0，而k1,k2是此方程的两根.k1k224n4m1.0m n，故直线l斜率为4n2方法 6：（曲线系）点A处的切线方程为x y 1 0，设直线AP的方程为y 1 k1(x2)，AQ的方程为y1 k2(x2)，PQ的方程y kxb，则过这四条直线交点的二次曲线方程为(kx y b)(x y 1)k1(x1)y 1k2(x1)y 1 0.又因为双曲线过这些交点，比较xy的系数得k 1(k1k2)0.又由k1k2 0，所以k 1.这样的话，本文就展示了这道题目的 6 种解法，其实无所谓好坏之分，都是很好的方法，都体现了对运算对
7、象和运算规则较为精准的把握.但是，在考场时间如此紧张的条件下，又快又准的解题却是关键，方法 1,3 为通法，是多数考生的选择，这样的方法就是套路感强，我们练习的最多，但是过多的沉迷于这些方法会让我们对解析几何的理解就定位在“暴力运算”，我觉得，如果时间允许，去探寻思考方法 2 和方法 4 也是不错的选择.方法 5,6 就是所谓的“秒杀神技”，但是我个人觉得这两个方法还是有风险的，因为它们技巧性很强，可能对很多学生而言都很难想清楚这个平移坐标系究竟是个什么“梗”，这两个方法很多人都可能学个“四不像”，徒劳无功！所以，对解析几何运算的核心还在于去思考，理解运算对象，这个板块的特点就是翻译：几何问题
8、代数化，代数问题坐标化，不同的理解就会有不同的处理思路，我们要基于常见的二级结论，首先对问题有一个宏观认知，其次的关键就是理解，一些传统的几何问题正变着花样出现，比如 2020 年山东卷 22 题.给学生多一些动手练习，思考探寻不同解法的机会，让他们在探寻各种解法的过程中慢慢提升对解析几何的理解和热爱.把解析几何理解为一门关于运算的艺术，我想才是破解这个板块的核心密码！例 2.（2021 新高考 1 卷）在平面直角坐标系xoy中，已知点F1(17,0),F2(17,0)，且动点M满足：|MF1|MF2|2，点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线x 1上，过T的两条直线分别交C于A
9、,B两点和P,Q两点，且满足 2|TA|TB|TP|TQ|，求直线AB与直线PQ的斜率之和.解析：（1）因为MF1 MF2 2 F1F2 2 17，所以，轨迹C是以点F1，F2为左右焦点的双曲线的右支，设轨迹C的方程为x2y221a 0,b 0，则2a 2，可得a 1，b 17a2 4，所以，轨迹C的方程为2aby2x 1x 1.162（2）11设T(,n)，设直线AB的方程为yn k1(x),A(x1,y1),B(x2,y2)221yn k(x)12122222联立，化简得(16k1)x(k12k1n)xk1n k1n16 0，则 24x2y11612k1n2k1n161122k 2k1n|TA|1k(x),|TB|1k(x)故41112x1 x22,x1x2222k116k1162111(n212)(1k12)则|TA|TB|(1k)(x1)(x2)22k1216212(n212)(1k2)1设PQ的方程为y n k2(x)，同理|TP|TQ|2k2162217171k121k2122因为TA TB TP TQ，所以2，化简得12，k116k216k116k2162222所以k116 k216，即k1 k2因为k1 k1，所以k1 k2 0
