1、铜川市铜川市 2 202302320242024 学年度学年度高三高三第一次质量检测第一次质量检测理科数学参考答案第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1C2A3C4A5D6C7D8B9B10B11D12A二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)131sin21x（答案不唯一）1415811,813168答案详解：1【答案】C【解析】因为2|280|4Nx xxx x 或2x，所以2MN.故选：C.2【答案】A【解析】充分性：若1ab，则222i1 i12ii2i
2、ab；必要性：若2i2iab则222 222i2i+i=2i=2iabaabbabab，则22022abab，得11ab，或11ab ，故不满足必要性综上“1ab”是“2i2iab”充分不必要条件，故选：A3【答案】C【详解】如图，转动了45后，此时魔方相对原来魔方多出了 16 个小三角形的面积，显然小三角形为等腰直角三角形，设直角边x，则斜边为2x，则有223xx，得到3 232x，由几何关系得：阴影部分的面积为2113 2279 2(3)2242S，所以增加的面积为1279 21616()10872 242SS.故选：C.4.【答案】A【分析】求出展开式的第九项，令x的指数为 0，可以求出
3、 n，再将1x 代入即可求出系数和.【详解】8828882209122nnnnnxxTCC x，所以2200n，则10n,令1x，可得10210111221，所以展开式中的各项系数之和为1012故选：A.5.【答案】D【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断.【详解】方法一：因为202xx，即 220 xx，所以22x，所以函数 242log2xf xxx的定义域为2,2，关于原点对称，又 242()log2xfxxfxx ，所以函数 f x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B C,；#QQABbY6EggCAQBAA
4、ARgCAQHqCgAQkBCCAAoGgAAEsAAAwQFABCA=#当0,2x时，212xx，即42log02xx，因此 0f x，故排除 A.故选:D.方法二：由方法一，知函数 f x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B C,；又 211log 302f，所以排除 A.故选：D.6.【答案】C【分析】由正弦定理化边为角，结合二倍角的正弦公式即可求解；【详解】2 coscbB，则由正弦定理可得sin2sincossin2CBBB，23sin2sin32B，23C，0,3B，220,3B，23B，解得6B；7.【答案】D【分析】由距离公式结合勾股定理得出212 2APMP，进而由面积公式
5、得出四边形 MAPB 的面积最小值.【详解】圆 M：22(4)1xy的圆心0,4M到直线 l：3410 xy 的距离16 135d，故MP的最小值是 3，又因为1MA，则212 2APMP，故AMP的面积的最小值是11 2 222S ，故四边形 MAPB 的面积的最小值是2 2.故选：D.8.【答案】B【分析】由指数与对数的互化关系结合函数关系式计算即可.【详解】设人交谈时的声强为1x2/Wm，则火箭发射时的声强为7.8110 x，且1126010lg10 x，得6110 x，则火箭发射时的声强约为7.861.82101010/Wm，将其代入 1210lg10 xd x中，得1.81.8121
6、01010lg138dB10d，故火箭发射时的声强级约为138dB，故选:B.9.【答案】B【分析】由 202f可得4，由对称中心08A,可求得2，从而知函数 fx的解析式，再根据余弦函数的图象与性质，逐一分析选项即可.【详解】因为点20,2B在()f x的图象上，所以2(0)cos2f.又0，所以4.因为()f x图象的一个对称中心是08A,，所以842k，kZ，则28k，kZ.又010，所以2，则()cos 24f xx，A 正确.53cos082f，则直线58x 不是()f x图象的一条对称轴，B 不正确.当7 1188x,时，22,34x，()f x单调递减，C 正确.cos 2sin
7、822fxxx，是奇函数，D 正确.故选：B.10.【答案】B#QQABbY6EggCAQBAAARgCAQHqCgAQkBCCAAoGgAAEsAAAwQFABCA=#【分析】利用平面向量的线性运算推导出312xy，将代数式32xy与2xyxy相乘，展开后利用基本不等式可求得2xyxy的最小值.【详解】因为D是AB边上的点，满足2ADDB，则2ADDB，所以，23CDADACABAC ，因为E在线段CD上（不含端点），则存在实数0,1，使得23CECDABAC ，所以，22133AEACCEACABACABAC ，又因为,AExAByAC x yR ，且AB、AC不共线，则231xy，故31
8、2xy，因为0,1，则220,33x，10,1y，所以22112113413432882222xyxyxyxyxyxyxyyxyx42 3，当且仅当340,0312xyxyyxxy时，即当333312xy时，等号成立，故2xyxy的最小值为42 3.故选：B.11.【答案】D【分析】由椭圆的性质判断 A；由定义结合余弦定理、三角形面积公式判断 B；由余弦定理得出12F AF的最大角为锐角，从而判断 C；由基本不等式判断 D.【详解】对于：由22212 523abcaabc，解得6,2 5,4abc，则椭圆C的标准方程为2213620 xy，故正确；对于：由定义可知12|12AFAF，由余弦定理
9、可得2222212121212121212122cos22AFAFAF AFFFAFAFFFF AFAF AFAF AF2121212264122AF AFAF AF，解得12803AF AF，则1212121180320 3sin22323F AFSAF AFF AF，故错误；对于：当点A为短轴的一个端点时，12F AF最大，#QQABbY6EggCAQBAAARgCAQHqCgAQkBCCAAoGgAAEsAAAwQFABCA=#此时2221226681cos02 69F AF，12F AF为锐角，则不存在点A，使得122F AF，故错误；对于：12121221121|12|AFAFAFA
10、FAFAF21122|112132 2612|1|1422AFAFAFAF，当且仅当21122|AFAFAFAF，即12|2|AFAF时，等号成立，故正确；故选：D12【答案】A【分析】根据函数的奇偶性只需要考虑0 x 时的情况，利用导数求解函数单调性，构造函数 2sin,xxx lnxg xx，即可由导数求解单调性，利用函数单调性即可比较大小.【详解】易知 2cos(1)xxf xaaxxa是偶函数，ln2sinxxfxaaaxx，当0 x 时，因为1a，所以ln0,0 xxaaa.令 2sin,0 xxx x，则 2cos0 xx，所以 x单调递增，所以 00 x，所以 0,fxf x在0
11、,上单调递增.构造函数 lnxg xx，则 21 lnxgxx.令 0gx，得0ex，令 0g x，得ex，所以 g x在区间0,e上单调递增，在区间e,上单调递减.又ln2ln424，所以 4eggg，所以ln2ln4lnlne24e，所以111e22e，所以111ee2eeffff，即11e2efff.故选:A.第卷（非选择题共 90 分）二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13【答案】1sin 12x（答案不唯一）【分析】函数具有周期性，选项正弦型函数sinyAxB，由最小正周期求，由 2fxf x取0,1B，再由函数无零点选择合适的A，得函数解析式【详解】1s
12、in 12f xx的定义域为R，最小正周期为22T，1111sin1sin 1sin 1sin 122222fxf xxxxx ，因为1sin 1x，所以 1322f x，所以 f x无零点综上，函数 1sin12f xx符合题意故答案为：1sin 12x.14.【答案】【详解】对于，高三（2）班德智体美劳各项得分依次为 9.5，9，9.5，9，8.5，所以极差为9.58.51，正确；#QQABbY6EggCAQBAAARgCAQHqCgAQkBCCAAoGgAAEsAAAwQFABCA=#对于，两班的德育分相等，错误；对于，高三（1）班的平均数为9.59.259.599.59.355，（2）
13、班的平均数为9.58.599.599.15，故正确；对于，两班的体育分相差9.5 90.5，而两班的劳育得分相差9.258.50.75，错误，故填：15【答案】13 11,88【分析】结合两点间线段最短，只需求其中一个点关于直线的对称点，再求对称点与另一点的距离即可.【详解】由题可知,A B在30 xy的同侧，设点B关于直线30 xy的对称点为,B a b，则6230222116abba ，解得1,3,ab 即1,3B将军从出发点到河边的路线所在直线即为AB，又2,4A，所以直线AB的方程为7100 xy，设将军在河边饮马的地点为H，则H即为7100 xy与30 xy的交点，710030 xy
14、xy，解得138118xy，所以13 11,88H 故答案为：13 11,8816【答案】8【分析】利用棱锥的体积公式结合球的表面积公式计算即可.【详解】由题意可知AD为球 O 的直径，设 D 到面ABC的距离为d，易知等边ABC的面积为233 3344S，所以13232D ABCVd Sd，则球心 O 到面ABC的距离为 1，设OH 面ABC，易知 H 为等边ABC的外心，所以032221sin60AHBHAH，故222248AOOHAHSAO.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）（一）必考题（共 60 分）17(12 分）【答案】(1)11
15、2nna(2)213211 log 2134nnTn n【分析】（1）由132nnSaa可得数列 na为等比数列，公比为12，进而结合等差中项、等比中项、等比数列的前n项和公式求解即可；（2）分n为奇数和n为偶数两种情况结合等差、等比数列的前n项和公式分别进行求和，进而求解.【详解】（1）由132nnSaa，*nN，#QQABbY6EggCAQBAAARgCAQHqCgAQkBCCAAoGgAAEsAAAwQFABCA=#当2n时，11132nnSaa，两式相减得13nnnaaa，即112nnaa，所以数列 na为等比数列，公比为12.选，由1a，14，2a成等差数列，可得1211242aa，
16、即111122aa，解得11a，所以1111122nnna .选，由1a，21a，3a成等比数列，得21321aaa，即2211111122a aa ，解得11a，所以1111122nnna .选，由31311231412aS ，得11a，所以1111122nnna .（2）当n为奇数时，311333loglogloglog 211122nnnnbna，记前21n+项和21nT中的奇数项之和为T奇，则135213331 20242log 2log 21 log 22nnnTbbbbnn n 奇.（9 分）当n为偶数时，111122nnnb ，记前21n+项和21nT中的偶数项之和为T偶，则13
17、5212462111241111211122223414nnnnTbbbb 偶，故213211 log 2134nnTn n.18.(12 分）【答案】(1)证明见解析(2)144【详解】（1）连接1A B,因为四边形11AAB B为正方形，所以11ABAB在直三棱柱111ABCABC-中，平面11AAB B 平面111ABC，由ABAC得1111ACAB，又平面11AAB B平面11111ABCAB，所以11AC 平面11AAB B，又1AB 平面11AAB B，所以111ACAB，又1111ABACA，1AB 平面1ABD，11AC 平面1ABD，所以1AB 平面1ABD，又BD平面1AB
18、D，所以1ABBD.（2）以A为原点，AB，AC，1AA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AC2a，则0,0,0A，3,0,0B，0,2,0Ca，0,3Da，3,0,0AB ，0,2,0ACa，0,3ADa设,nx y zr为平面 ABD 的一个法向量，#QQABbY6EggCAQBAAARgCAQHqCgAQkBCCAAoGgAAEsAAAwQFABCA=#则00n ADn AB，即3030ayzx，得0 x，令za，则3y ，故0,3,na，由题意，22 333AC nana，解得1a，所以3,2,0BC ，0,1,3CD 设,ip q r为平面 BCD 的一个法向
19、量，则00i BCi CD ，即32030pqqr，令3q，则2p，1r，即2,3,1i，平面 ABC 的一个法向量为0,0,1j，设平面ABC和平面BCD的夹角为，则22212cos42311ijij，所以214sin1 cos4，所以平面ABC和平面BCD的夹角的正弦值为14419（12 分）【答案】（1）证明见解析（2）不可信【分析】（1）利用马尔科夫不等式的证明示例证明即可；（2）由题意可知治愈的人数为X服从二项分布，由二项分布计算均值与方差，再结合切比雪夫不等式说明即可.【详解】（1）法一：对非负离散型随机变量2XE X及正数2使用马尔科夫不等式，有22222E XE XD XP X
20、E XPXE X法二：设X的分布列为,1,2,iiP Xxp in其中1,(0,)(1,2,),1niiiip xinp，记E X，则对任意0，2222222111iiiniiiiiiixxxixD XP XPPxPxP .【详解】（2）设在 100 名患者中治愈的人数为X假设药企关于此新药有效率的宣传内容是客观真实的，那么在此假设下，100,0.8,1000.880,1000.810.816XBE XD X由切比雪夫不等式，有26080200.0420D XP XP X即在假设下，100 名患者中治愈人数不超过 60 人的概率不超过 0.04，此概率很小，据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可
21、信20（12 分）【答案】(1)221123xy(2)存在，(4,0)P【详解】（1）因为22312cbeaa，所以2ab所以椭圆C的方程为222214xybb因为点33,2在椭圆C上，所以2293414bb，解得23b，所以212a 所以椭圆C的标准方程为221123xy（2）存在定点(4,0)P，使OPAOPB.理由如下：由（1）知，21239c，则点(3,0)F.设在x轴上存在定点(,0)P，使OPAOPB 成立.当直线l斜率为0时，直线右焦点F的直线l即x轴与C交于长轴两端点，若OPAOPB，则2 3t，或2 3t 当直线l斜率不为0时，设直线l的方程为11223,xmyA x yB
22、xy，.#QQABbY6EggCAQBAAARgCAQHqCgAQkBCCAAoGgAAEsAAAwQFABCA=#由221,1233xyxmy消去x并整理，得224630mymy，则12122263,44myyy ymm 因为OPAOPB，所以0PAPBkk，所以12120yyxtxt，即12210yxtyxt.所以1221330ymytymyt，即121212230my yyyt yy，222261866(4)04444mmmtm tmmmm恒成立，即对m R，26(4)04m tm恒成立，则4t，即(4,0)P又点(4,0)P满足条件2 3t.综上所述，故存在定点(4,0)P，使OPAO
23、PB 21.（12 分）【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）对参数a分类讨论，根据不同情况下导函数函数值的正负，即可判断单调性；（2）利用导数判断 F x的单调性，求得0 x的范围，满足的条件，以及0F x，根据0 x的范围夹逼0F x的范围即可.【详解】（1）函数 f x的定义域为 0,1axafxxx，当0a 时，()0fx，函数 f x在0,上单调递增；当0a 时，由()0fx，得xa，由 0fx，得0 xa，所以，函数 f x在,a 上单调递增，在0,a上单调递减.综上，当0a 时，函数 f x在0,上单调递增；当0a 时，函数 f x在,a 上单调递增，在0,a
24、上单调递减.【详解】（2）当1a 时，112 eln4,1 e11 exxxF xxxxF xxxxx ，设 1exg xx，则 21exgxx，当0 x 时，0gx，所以 g x在0,上单调递增，又 1e20,1e 1 02gg ，所以存在11,12x，使得10g x，且当 110,0,0 xxg xxxg x；又当0,1,1 0;1,1 0 xyxxyx；故当10,xx，0Fx；当1,1xx，0Fx；当1,x，0Fx所以 F x在10,x上单调递增，在1,1x上单调递减，在1,上单调递增，所以当1xx时，F x取得极大值，故01xx，且001e0 xx，所以00001e,lnxxxx，00
25、000000000212 eln4452xxF xxxxxxxxx，又1yxx在1,12单调递减，所以001F x.【点睛】关键点点睛：本题考察含参函数单调性的讨论，以及导数中的隐零点问题；处理问题的关键是能够准确分析 F x的单调性，以及求得隐零点的范围以及满足的条件，属综合中档题.（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分分.请考生从请考生从 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.#QQABbY6EggCAQBAAARgCAQHqCgAQkBCCAAoGgAAEsAAAwQFABCA=#22.【选修【选修
26、4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程】【答案】（1）4cos（2）max2 7AB【分析】（1）先求出点Q的参数方程，化为普通方程，最后求出极坐标方程；（2）由点A、B的极坐标直接求两点间的距离，再由三角函数的最值求解.【详解】（1）设4 4cos,4sinP，,Q x y.则44cos,4sinOP，,OQx y.由12OQOP，144cos22cos,214sin2sin,2xy曲线2C直角坐标系方程为2224xy，由cossinxy曲线2C的极坐标方程为4cos.【详解】（2）设1,A，2,B 则14cos，22 3sin，124cos2 3sin2 7 sin6AB，当62时，m
27、ax2 7AB.23.【选修【选修 4-5：不等式选讲不等式选讲】【答案】（1）,43,x（2）,37【分析】（1）分2x，32x 和3x 三种情况求解不等式；（2）先利用绝对值三角不等式的性质可求出()f x的最小值5a，然后将问题转化为52a，从而可求出a的取值范围.【详解】（1）当0a 时，不等式 7fx，可化为：237xx当2x 时，不等式可化为；237xx ，解得：3x；当32x 时，不等式可化为：237xx，不成立；当3x 时，不等式可化为；237xx，解得：4x ；所以不等式 7fx 的解集为,43,x；【详解】（2）根据绝对值不等式的性质知 23235fxxaxxaxa，当且仅当(2)(3)0 xax时，等号成立，因为 2f x，所以52a，解得52a 或52a ，即7a 或3a，所以a的取值范围是,37#QQABbY6EggCAQBAAARgCAQHqCgAQkBCCAAoGgAAEsAAAwQFABCA=#
