1、1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1） （2） 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“”号后，多项式
2、的各项都要变号。 解： （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，是在因式分解过程中常用的因式变换。 解： 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算 分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 解：原式 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组，求代数式的值。 分析：不要求解方程组，我们可以把和看成整体，它们的值分别是3和，观察代数式，发现每一项都含有，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有和的式子，即可求出结果。 解： 把和分别为3和带入上式，求得代数式的值是。 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n，一
3、定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 对任意自然数n，和都是10的倍数。 一定是10的倍数5、中考点拨： 例1。因式分解 解： 说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。 例2分解因式： 解： 说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。题型展示： 例1. 计算： 精析与解答： 设，则 说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转
4、化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。 例2. 已知：（b、c为整数）是及的公因式，求b、c的值。 分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比较麻烦。注意到是及的因式。因而也是的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。 解：是及的公因式 也是多项式的二次因式 而 b、c为整数 得： 说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式，从而简便求得。 例3. 设x为整数，试判断是质数还是合数，请说明理由。 解： 都是大于1的自然数 是合数 说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数
5、。【实战模拟】 1. 分解因式： （1） （2）（n为正整数） （3） 2. 计算：的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 已知x、y都是正整数，且，求x、y。 4. 证明：能被45整除。 5. 化简：，且当时，求原式的值。【试题答案】 1. 分析与解答： （1） （2） （3）原式 注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。 2. B 3. 是正整数 分解成 又与奇偶性相同，且 说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。 4. 证明： 能被45整除 5. 解：逐次分解：原式 当时，原式2、运用公式法进行因式分解【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：
6、平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 补充：欧拉公式： 特别地：（1）当时，有 （2）当时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】 1. 把分解因式的结果是（ ） A. B. C. D. 分析：。 再利用平方差公式进行分解，最后得到，故选择B。说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添
7、加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。 2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式有一个因式是，求的值。 分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出的值。 解：根据已知条件，设 则 由此可得 由（1）得 把代入（2），得 把代入（3），得 3. 在几何题中的应用。 例：已知是的三条边，且满足，试判断的形状。 分析：因为题中有，考虑到要用完全平方公式，首先要把转成。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。 解： 为等边三角形。 4. 在代数证明题中应用 例：两个连续奇数的平方差一定
8、是8的倍数。 分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。 解：设这两个连续奇数分别为（为整数） 则 由此可见，一定是8的倍数。5、中考点拨： 例1：因式分解：_。 解： 说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。 例2：分解因式：_。 解： 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。题型展示： 例1. 已知：， 求的值。 解： 原式 说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。 例2. 已知， 求证： 证明： 把代入上式， 可得，即或或 若，则， 若或，同理也
9、有 说明：利用补充公式确定的值，命题得证。 例3. 若，求的值。 解： 且 又 两式相减得 所以 说明：按常规需求出的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。【实战模拟】 1. 分解因式： （1） （2） （3） 2. 已知：，求的值。 3. 若是三角形的三条边，求证： 4. 已知：，求的值。 5. 已知是不全相等的实数，且，试求 （1）的值；（2）的值。【试题答案】 1. （1）解：原式 说明：把看成整体，利用平方差公式分解。 （2）解：原式 （3）解：原式 2. 解： 3. 分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三
10、边求得证明。 证明： 是三角形三边 且 即 4. 解 ，即 5. 分析与解答：（1）由因式分解可知 故需考虑值的情况，（2）所求代数式较复杂，考虑恒等变形。 解：（1） 又 而 不全相等 （2） 原式 而，即 原式 说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。3、三角形及其有关概念【知识精读】 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段： （1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质 （1）三
11、角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180 （3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。 4. 补充性质：在中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则。 三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形。实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究
12、它们。因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础。 5. 三角形边角关系、性质的应用【分类解析】 例1. 锐角三角形ABC中，C2B，则B的范围是（ ） A. B. C. D. 分析： 因为为锐角三角形，所以 又C2B， 又A为锐角，为锐角 ，即 ，故选择C。 例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定 分析：由于三角形的外角和等于360，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。 解：三角形的一
13、个外角等于160 另两个外角的和等于200 设这两个外角的度数为2x，3x 解得： 与80相邻的内角为100 这个三角形为钝角三角形 应选C 例3. 如图，已知：在中，求证：。 分析：欲证，可作ABC的平分线BE交AC于E，只要证即可。为与题设联系，又作AF/BE交CB的延长线于F。 显然EBCF，只要证即可。由可得证。 证明：作ABC的角平分线BE交AC于E，过点A作AF/BE交CB的延长线于F 又BE平分ABC，EBCABE FFAB，ABBF 又ABFBAF，即2ABAF 又 ，又 例4. 已知：三角形的一边是另一边的两倍。求证：它的最小边在它的周长的与之间。 分析：首先应根据已知条件，
14、运用边的不等关系，找出最小边，然后由周长与边的关系加以证明。 证明：如图，设的三边为a、b、c，其中， 因此，c是最小边， 因此，即 故最小边在周长的与之间。中考点拨： 例1. 选择题：如图是一个任意的五角星，它的五个顶角的和是（ ） A. 50B. 100C. 180D. 200 分析：由于我们学习了三角形的内角、外角的知识，所以需要我们把问题转化为三角形角的问题。 解： 所以选择C 例2. 选择题：已知三角形的两边分别为5和7，则第三边x的范围是（ ） A. 大于2B. 小于12C. 大于2小于12D. 不能确定 分析：根据三角形三边关系应有，即 所以应选C 例3. 已知：P为边长为1的等
15、边内任一点。 求证： 证明：过P点作EF/BC，分别交AB于E，交AC于F， 则AEPABC60 在中， 是等边三角形 题型展示： 例1. 已知：如图，在中，D是BC上任意一点，E是AD上任意一点。求证： （1）BECBAC； （2）ABACBEEC。 分析：在（1）中，利用三角形内角和定理的推论即可证出在（2）中，添加一条辅助线，转化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出。 证明：（1）BED是的一个外角， 同理， 即 （2）延长BE交AC于F点 即 例2. 求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45。 已知：如图，在中，是的外角，AF、BF分别平分EAB及ABD。 求
16、证：AFB45 分析：欲证，须证 AF、BF分别平分EAB及ABD 要转证EABABD270 又C90，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 问题得证 证明：EABABCC ABDCABC ABCCCAB180，C90 AF、BF分别平分EAB及ABD 在中，【实战模拟】 1. 已知：三角形的三边长为3，8，求x的取值范围。 2. 已知：中，D点在BC的延长线上，使，求和间的关系为？ 3. 如图，中，的平分线交于P点，则（ ） A. 68B. 80C. 88D. 46 4. 已知：如图，AD是的BC边上高，AE平分。 求证： 5. 求证：三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半
17、。【试题答案】 1. 分析：本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。 解：三边长分别为3，8，由三边关系定理得： 2. 解： 又 ，又 根据三角形内角和，得： 3. 解： 又BP、CP为B、C的平分线 4. 证明： AE平分BAC， 又ADBC， 又 5. 证明：如图，设的BAC和ABC的外角平分线交于点D 则 又 5、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】 对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。 对于二次三项（a、b、c都是整数，且）来说
18、，如果存在四个整数满足，并且，那么二次三项式即可以分解为。这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。 下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。【分类解析】 1. 在方程、不等式中的应用 例1. 已知：，求x的取值范围。 分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。 解： 例2. 如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。 分析：应当把分成，而对于常数项-2，可能分解成，或者分解成，由此分为两种情况进行讨论。 解：（1）设原式分解为，其中a、b为整数，去括号，得： 将它与原式的各项系数
19、进行对比，得： 解得： 此时，原式 （2）设原式分解为，其中c、d为整数，去括号，得： 将它与原式的各项系数进行对比，得： 解得： 此时，原式 2. 在几何学中的应用 例. 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足，求长方形的面积。 分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。 解： 或 又 解得：或 长方形的面积为15cm2或 3、在代数证明题中的应用 例. 证明：若是7的倍数，其中x，y都是整数，则是49的倍数。 分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。 证明一： 是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数） 是7的倍数 而2与7互
20、质，因此，是7的倍数，所以是49的倍数。 证明二：是7的倍数，设（m是整数） 则 又 x，m是整数，也是整数 所以，是49的倍数。4、中考点拨 例1.把分解因式的结果是_。 解： 说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。 例2. 因式分解：_ 解： 说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。5、题型展示 例1. 若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（ ） A. 1B. -1C. D. 2 解： -6可分解成或，因此，存在两种情况： 由（1）可得：，由（1）可得： 故选择C。 说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，
21、再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。 例2. 已知：a、b、c为互不相等的数，且满足。 求证： 证明： 说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。 例3. 若有一因式。求a，并将原式因式分解。 解：有一因式 当，即时， 说明：由条件知，时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是，分解时尽量出现，从而分解彻底。【实战模拟】 1. 分解因式： （1） （2） （3） 2. 在多项式，哪些是多项式的因式？ 3. 已知多项式有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。 4. 分解因式： 5. 已知：，求的值。【试题答案】 1. （1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 2.
22、解： 其中是多项式的因式。 说明：先正确分解，再判断。 3. 解：设 则 解得： 且 说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。 4. 解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。 设 比较同类项系数，得： 解得： 5. 解： 说明：用因式分解可简化计算。4、用分组分解法进行因式分解【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分
23、析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式分解因式，所得的结果为（ ） 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。 解：原式 故选择C 例2. 分解因式 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把，分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行
24、分解。 解法1： 解法2： 2. 在几何学中的应用 例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足 证明：以a、b、c为三边能构成三角形 分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” 证明： 3. 在方程中的应用 例：求方程的整数解 分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解 解： 4、中考点拨 例1.分解因式：_。 解： 说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。 例2分解因式：_ 解： 说明
25、：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。 例3. 分解因式：_ 解： 说明：分组的目的是能够继续分解。5、题型展示： 例1. 分解因式： 解： 说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。 例2. 已知：，求ab+cd的值。 解：ab+cd= 说明：首先要充分利用已知条件中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。 例3. 分解因式： 分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着的一个因式，因
26、此变形的目的是凑这个因式。 解一（拆项）： 解二（添项）： 说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？【实战模拟】 1. 填空题： 2. 已知： 3. 分解因式： 4. 已知：，试求A的表达式。 5. 证明：【试题答案】 1. （1）解： （2）解： （3）解： 2. 解： 说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。 3. 解： 4. 解： 5. 证明： 6、全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对
27、应角。2. 全等三角形的表示方法：若ABC和ABC是全等的三角形，记作 “ABCABC其中，“”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状
28、况，确定对应关系。通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折 如图（1），DBOCDEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直线AO翻折180得到的；旋转 如图（2），DCODDBOA，DCOD可以看成是由DBOA绕着点O旋转180得到的；平移 如图（3），DDEFDACB，DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移动而得到的。5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2） 推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是
29、，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。【分类解析】全等三角形知识的应用（1） 证明线段（或角）相等 例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出ACDABE，而BF和FC分别位于DBF和EFC中，因此先证明ACDABE，再证明DBFECF，既可以得到BF=FC.证明：在ACD和ABE中， ACDABE (SAS) B=C（全等三角形对应角相等
30、）又 AD=AE,AB=AC. ABAD=ACAE 即 BD=CE在DBF和ECF中 DBFECF （AAS） BF=FC （全等三角形对应边相等）（2）证明线段平行例2：已知：如图，DEAC，BFAC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：ABCD分析：要证ABCD，需证CA，而要证CA，又需证ABFCDE.由已知BFAC，DEAC，知DECBFA=90，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ABFCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证CA,进一步证明ABCD.证明： DEAC，BFAC （已知） DECBFA=90 （垂直的定义）在ABF与CDE中， ABFCDE（SAS
31、） CA (全等三角形对应角相等) ABCD （内错角相等，两直线平行）（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例3：如图，在 ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE. 求证：CD=2CE分析：()折半法：取CD中点F，连接BF，再证CEBCFB.这里注意利用BF是ACD中位线这个条件。证明：取CD中点F，连接BF BF=AC,且BFAC （三角形中位线定理） ACB2 (两直线平行内错角相等)又 AB=AC ACB3 （等边对等角） 32在CEB与CFB中， CEBCFB (SAS) CE=CF=CD （全等三角形对
32、应边相等）即CD=2CE （）加倍法证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.在AEC与BEF中，AECBEF (SAS) AC=BF, 43 (全等三角形对应边、对应角相等) BFAC (内错角相等两直线平行) ACB+CBF=180o,ABC+CBD=180o,又AB=AC ACB=ABCCBF=CBD （等角的补角相等）在CFB与CDB中， CFBCDB (SAS) CF=CD即CD=2CE说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.
33、(4)证明线段相互垂直例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ADC、BDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC，AOBC.证明：延长AO交BC于E,在ADO和CDB中 ADOCDB (SAS) AO=BC, OAD=BCD（全等三角形对应边、对应角相等） AODCOE （对顶角相等） COE+OCE=90o AOBC5、中考点拨：例1如图，在ABC中，ABAC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结
34、ED，并延长ED到点F，使DFDE，连结FC求证：FA分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中A、F不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EFAC，因此把A通过同位角转到BDE中的BED，只要证EBDFCD即可证明：ABAC，ACBB，EBED，ACBEDBEDACBEDABEEABDCD又DEDF，BDECDFBDECDF，BEDFFA说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。例2 如图，已知 ABC为等边三角形，延长BC到D，
35、延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED 分析：把已知条件标注在图上，需构造和AEC全等的三角形，因此过D点作DFAC交BE于F点，证明AECFED即可。证明：过D点作DFAC交BE于F点 ABC为等边三角形 BFD为等边三角形 BF=BD=FD AE=BD AE=BF=FD AEAF=BFAF 即 EF=AB EF=AC在 ACE和DFE中， AECFED（SAS） EC=ED（全等三角形对应边相等）题型展示：例1 如图，ABC中，C2B，12。求证：ABACCD分析：在AB上截取AEAC，构造全等三角形，AEDACD，得DEDC，只需证DEBE问题便可以解决证明：在AB上截取AEAC，连结DE AEAC，12，ADAD， AEDACD， DEDC，AEDC AEDBEDB，C2B， 2BBEDB即 BEDB EBED，即EDDC， ABACDC剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AEAC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，
