1、第五节 势的叠加和多井干扰理论MM4M2M3M1M3M4M2M1MQQQ-Q413121213MMMMMMppp413121213MMMMMMpppBA压降叠加原理：多井同时工作时，地层中任一点的压降应压降叠加原理：多井同时工作时，地层中任一点的压降应等于各井单独工作时在该点造成的压降的代数和。等于各井单独工作时在该点造成的压降的代数和。dxdpkvpkdxdv0222222zpypxp0222222zyx（）pkdrdrhdrdprhkQ22drdrq2hQq Crqln2（4）Crqln2（5）24 rQv又又drdv则则drdrQ24CrQ4CrQ4Crqln21r=Re时，=e；r=R
2、w时，=w；则：cRqeeln2cRqwwln223weweRRqln)(2pk4weweRRppkqln)(2weweRRppkhQln)(25RRhQeeln)(2hRRQee2ln1CrQ2)11(2RRQwwwwRQ221=2得：得：weweRhRRhQln)(23hRRQee2lnq1q2q3qnr1r2r3rn1111ln2Crq2222ln2Crq3333ln2CrqnnnnCrqln2nM.321CrqrqrqrqnnMln2.ln2ln2ln2332211niiiCrq1ln21 ：任意点合成流动时的势；：任意点合成流动时的势；q qi i：第第i i口井产液强度；口井产液强
3、度；r ri i：i i井到任意点距离。井到任意点距离。利用势的叠加原理可求：利用势的叠加原理可求：已知各井井壁势（井底压力）求各井产量；已知各井井壁势（井底压力）求各井产量；已知各井产量，求井壁处的势已知各井产量，求井壁处的势。求出渗流场的等势线分布或流线分布后，用渗流速度与等求出渗流场的等势线分布或流线分布后，用渗流速度与等势线的正交关系确定渗流速度方向。大小可由下式计算：势线的正交关系确定渗流速度方向。大小可由下式计算：LppkLv2121iiirqv2nMvvvvv.321n井同时生产：井同时生产：1、物理模型：、物理模型：无限大均质地层等产量一源一汇无限大均质地层等产量一源一汇 由势
4、的叠加原理，地由势的叠加原理，地层中任意点的势为：层中任意点的势为：CrrqCrqrq2121ln2)lnln(21（1）由（由（1）式知，）式知，r1/r2为常数时，势相等，则等势线方程为：为常数时，势相等，则等势线方程为：021Crr（2）C0=1时，时，r1=r2，即，即y轴轴是一条是一条等势线等势线。又又22222221)()(yaxryaxr代入（代入（2）整理得：）整理得：01122202022axCCayx配方得：配方得：220202222020)1(4)11(CCayaCCx（3）（3）是圆心在）是圆心在x轴的圆族方程，圆心为（轴的圆族方程，圆心为（），半），半径为径为2aC0
5、/（1-C02），即等势线为一系列圆。），即等势线为一系列圆。0,112020aCC21212212)1()(CCaCayx（4）（4）式表示流线是圆心在）式表示流线是圆心在y轴上的一轴上的一 系列圆，给系列圆，给C0不同不同的值可得不同的流线，且的值可得不同的流线，且x轴也是一条流线（轴也是一条流线（C1=0）。220202222020)1(4)11(CCayaCCx流线与等势线流线与等势线 如只如只A工作工作M点渗流速度为点渗流速度为v1，只，只B工作工作M点渗流速度为点渗流速度为v2，同，同时工作渗流速度为时工作渗流速度为v，因三角形，因三角形ABM与三角形与三角形MCD相似，则：相似，
6、则：122rvav2112121222rraqrrqarvav（5）稳定渗流时，液体质点运动轨迹与流线一致，由（稳定渗流时，液体质点运动轨迹与流线一致，由（5）式）式知，知，v与与r1r2的乘积成反比，在的乘积成反比，在x轴上轴上r1r2最小，液体质点沿最小，液体质点沿x轴轴运动速度最快，称运动速度最快，称x轴为主流线轴为主流线。在注水开发时，水质点沿在注水开发时，水质点沿x首先到达生产井井底，沿其首先到达生产井井底，沿其它流线运动的水质点以后相继突入井中，形成它流线运动的水质点以后相继突入井中，形成舌进现象舌进现象。水驱前沿进入生产井底后，由于这一通道渗流阻力小，水驱前沿进入生产井底后，由于
7、这一通道渗流阻力小，后继注入水会大量沿这一通道流入井底，使水驱效率变差。后继注入水会大量沿这一通道流入井底，使水驱效率变差。这是注水开发采收率低的重要原因。这是注水开发采收率低的重要原因。4、已知生产井和注入井势时的产量公式、已知生产井和注入井势时的产量公式由（由（1）式，把任意点取在注水井和生产井井壁：）式，把任意点取在注水井和生产井井壁：CRaqwi2ln2CaRqwp2ln2上两式相减有：上两式相减有：wwpiRaqRaq2ln)2ln(22wpiRaq2ln)(wpiRappkhQ2ln)(Crrq21ln21、物理模型：、物理模型：无限大均质地层等产量两汇无限大均质地层等产量两汇 C
8、rrqCrqrq1121ln2)lnln(21（1）由（由（1）式，）式，r1r2相等时，势相等，则等势线方程为；相等时，势相等，则等势线方程为；021Crr（2）22222221)()(yaxryaxr因因代入（代入（2）式配方得：）式配方得：0)(2)(204222222Caaxyyx（3）（3）式为四次曲线族方程，给）式为四次曲线族方程，给C0不同的值，得到不同不同的值，得到不同的等势线。的等势线。C0=a2/2、a2、3a2/2、2a2、3a2 022122axyCyx（4）v 给给C1不同的值得不同的流线。不同的值得不同的流线。v 当当C1等于无穷大时，（等于无穷大时，（4）式可转化
9、为）式可转化为x轴和轴和y轴方程，则轴方程，则y轴轴x轴均为流线。轴均为流线。v y轴具有分流性质，把两侧的液流分开，使液体不能穿过轴具有分流性质，把两侧的液流分开，使液体不能穿过分流线而流动，也叫分流线而流动，也叫分（中）流线分（中）流线。3、渗流速度分析、渗流速度分析NAB 在地层中任一点在地层中任一点N处，处，A、B两井单独工作时的速度分两井单独工作时的速度分别为：别为：12 rqvAA22 rqvBB两井同时工作时，两井同时工作时，N点速度为两速度矢量合。点速度为两速度矢量合。在在x轴上，轴上，N点速度为：点速度为：2122rqrqvvvBABA若若N为为平衡点平衡点，即，即v=0时：
10、时：21rrqqBAqA=qB时，时，r1=r2q 即两汇产量相等时，平衡点应在两井连线的中点，该点液即两汇产量相等时，平衡点应在两井连线的中点，该点液体流动速度为零，称体流动速度为零，称死油点死油点，平衡点附近形成死油区。，平衡点附近形成死油区。q 平衡点及死油区位置随两汇各自产量比值而改变，且总偏平衡点及死油区位置随两汇各自产量比值而改变，且总偏向产量小的井。向产量小的井。q两汇同时生产时必然出现平衡点，平衡点附近形成死油区，两汇同时生产时必然出现平衡点，平衡点附近形成死油区，通过改变两井产量比例，可使平衡点移动，以采出死油区内通过改变两井产量比例，可使平衡点移动，以采出死油区内原油，提高
11、采收率。原油，提高采收率。2122rqrqvvvBABA4、井产量、井产量任意点取在生产井壁：任意点取在生产井壁：CRaqww2ln2CRqee2ln2则产量公式：则产量公式：weweaRRppkhQ2ln)(22weweaRRq2ln)(22（5）aaRe两井同时生产单井产量小于一口井单独生产时产量：井间干扰两井同时生产单井产量小于一口井单独生产时产量：井间干扰 实际油气田中，在生产井或注水井附近往往存在各实际油气田中，在生产井或注水井附近往往存在各种边界：定压边界或不渗透边界。种边界：定压边界或不渗透边界。边界的存在对渗流场的等压线分布、流线分布和井边界的存在对渗流场的等压线分布、流线分布
12、和井产量都会产生影响，这种影响称为产量都会产生影响，这种影响称为边界效映边界效映。解决思路：解决思路：镜像反映镜像反映+势的叠加势的叠加一、直线供给边沿附近一口井的反映一、直线供给边沿附近一口井的反映 直线供给边缘直线供给边缘附近存在一口生附近存在一口生产井时，直线供产井时，直线供给边缘为一条等给边缘为一条等势线，液流从供势线，液流从供给边缘流向井底，给边缘流向井底，流线与等压线如流线与等压线如图。图。aMr2r1 等产量一源一汇时，等产量一源一汇时，y轴是一条等势线，轴是一条等势线，y轴以右的生轴以右的生产井区域渗流场与直线供给边缘附近一口生产井时的渗流产井区域渗流场与直线供给边缘附近一口生
13、产井时的渗流场完全一致。场完全一致。由此，在供给边缘附近（由此，在供给边缘附近（a，0）处存在一口生产井时，）处存在一口生产井时，可设想成以直线供给边缘（选作可设想成以直线供给边缘（选作y轴）为镜面，在其对称位轴）为镜面，在其对称位置（置（-a，0）处反映出一口等产量的注水井在作用，则虚拟）处反映出一口等产量的注水井在作用，则虚拟井与生产井在无穷地层中进行势的叠加所形成的渗流场的井与生产井在无穷地层中进行势的叠加所形成的渗流场的生产井部分，与供给边缘附近一口井的渗流场图完全一样。生产井部分，与供给边缘附近一口井的渗流场图完全一样。这种用一个这种用一个“异号像异号像”的作用来代替直线供给边缘的的
14、作用来代替直线供给边缘的方法，叫方法，叫汇源反映法汇源反映法。通过汇源反映后，写出地层中任意点的势的表通过汇源反映后，写出地层中任意点的势的表达式，在将已知条件取在直线供给边缘和生产井达式，在将已知条件取在直线供给边缘和生产井井底去掉常数，得井产量公式为：井底去掉常数，得井产量公式为：wweRappkhQ2ln)(2 直线不渗透边界附近存在一口生产井时，液体不能穿过直线不渗透边界附近存在一口生产井时，液体不能穿过不渗透边界（断层）而流动，断层起分流作用，为分流线。不渗透边界（断层）而流动，断层起分流作用，为分流线。aMr2r1 不渗透边界附不渗透边界附近一口井的渗流近一口井的渗流场图，刚好是等
15、场图，刚好是等产量两汇时的渗产量两汇时的渗流场图的一半，流场图的一半，并以并以y轴为对称轴。轴为对称轴。直线断层附近（直线断层附近（a，0）存在一口生产井时，可将断层看）存在一口生产井时，可将断层看作镜面，在其对称位置映射出一口等强度的汇（生产井的作镜面，在其对称位置映射出一口等强度的汇（生产井的像），从而成为无限地层中两口井生产。两口井势的叠加像），从而成为无限地层中两口井生产。两口井势的叠加的结果在真实生产区形成的渗流场与直线断层和一口生产的结果在真实生产区形成的渗流场与直线断层和一口生产井产生的渗流场完全一致。井产生的渗流场完全一致。这种反映为这种反映为汇点反映汇点反映。写出任意点势后，
16、将任意点取在供给边缘（不是断层）写出任意点势后，将任意点取在供给边缘（不是断层）和生产井井底，有产量公式为：和生产井井底，有产量公式为：weweaRRppkhQ2ln)(221、边界对渗流场和井产量的影响可看成、边界对渗流场和井产量的影响可看成 以边界为镜面，在实际井的对称位置上存在虚拟井以边界为镜面，在实际井的对称位置上存在虚拟井“像像”的影响，实际井与虚拟井势的叠加形成的渗流场与的影响，实际井与虚拟井势的叠加形成的渗流场与边界对井影响形成的渗流场完全相同。边界对井影响形成的渗流场完全相同。镜像反映理论：把位于边界附近井的问题转化为无限镜像反映理论：把位于边界附近井的问题转化为无限地层多井同
17、时作用的问题，然后用势的叠加原理求解。地层多井同时作用的问题，然后用势的叠加原理求解。2、反映法的基本原则、反映法的基本原则 不渗透边界不渗透边界是是同号同号等产量反映，反映后等产量反映，反映后不渗透边界不渗透边界保持为分流线保持为分流线；供给边界供给边界是等产量是等产量异号异号反映，反映后反映，反映后供给边界必须供给边界必须保持为等势线保持为等势线。三、镜像反映法的推广三、镜像反映法的推广（一）复杂断层的镜像反映法（一）复杂断层的镜像反映法 镜像反映法的目的是取消边界，其镜像反映法的目的是取消边界，其基本准则基本准则是是反反映后原渗流边界性质不变映后原渗流边界性质不变。对复杂边界，要求：对复
18、杂边界，要求：对井有影响的边界都必须进行映射；对井有影响的边界都必须进行映射；对其中一个边界映射时必须把井和其他边界一同映对其中一个边界映射时必须把井和其他边界一同映射到边界的另一侧；射到边界的另一侧；有时需要多次映射才能取消边界。有时需要多次映射才能取消边界。多边界映射实例：多边界映射实例：+q+q+q+q+q+q+q+q+q-q-q直角断层直角断层混合边界混合边界45度断层度断层平行断层平行断层+q+q+q+q+q1 23 4ln2MrrqCr rMeC 222ln22(2)(2)wwRaqCaaa 2()8lnewwKh PPQaR1、物理模型：、物理模型：圆形供给边界一口偏心井圆形供给
19、边界一口偏心井 2、镜像反映：、镜像反映：无限大地层一源一无限大地层一源一汇的平面渗流场中，等势线为一系汇的平面渗流场中，等势线为一系列与井点相差一定距离的圆。如选列与井点相差一定距离的圆。如选取一等势圆为供给边缘，其半径为取一等势圆为供给边缘，其半径为Re，圆心与井点距离为，圆心与井点距离为d，此时生，此时生产井就为供给边缘内一口偏心井。产井就为供给边缘内一口偏心井。选择合适的等注入量虚拟注入井位选择合适的等注入量虚拟注入井位置，两井叠加的结果即可保持半径置，两井叠加的结果即可保持半径为为Re的圆周为等势圆。的圆周为等势圆。三、镜像反映法的推广三、镜像反映法的推广（二）圆形供给边界偏心井的反
20、映（二）圆形供给边界偏心井的反映3、确定虚拟井像的位置、确定虚拟井像的位置 无限地层一源一汇时无限地层一源一汇时r1/r2相等的点势相等，则半径为相等的点势相等，则半径为Re的圆周上的的圆周上的M1和和M2点应满足下式：点应满足下式：21)()(2121MMrrrrdRadRdRadReeee2)(2即即ddRae222（1）eeeMRddRadRrr)(2)(121（2）有虚拟井后地层中任意点势为：有虚拟井后地层中任意点势为：Crrq21ln2aRrrwO2)(121（3）（1式带入）式带入）任意点分别取在供给边缘和生产井井底：任意点分别取在供给边缘和生产井井底：将任意点分别取在供给边缘和生
21、产井井底有：将任意点分别取在供给边缘和生产井井底有：weeweRRdRq22ln2weeweRRdRppkhQ22ln)(2偏心井产量公式为偏心井产量公式为5、地层中任意点势分布、地层中任意点势分布（4）由（由（2）式有：）式有：12ln2rRrdqee代入代入q有：有：weeeweeRRdRrRrd2212lnln)(（5）Crrq21ln26、偏心距对产量的影响、偏心距对产量的影响定义影响系数为：定义影响系数为：QQ（6）式中式中Q为偏心井产量；为偏心井产量；Q为圆心井产量。则：为圆心井产量。则：weeweRRdRRR22lnln（7）计算表明，计算表明，Re=100m,d/Re=0.75时，偏心井的产量增时，偏心井的产量增加了加了13。当偏心距小于地层半径之半，则影响较小。当偏心距小于地层半径之半，则影响较小。7、圆形地层两口等产量偏心井、圆形地层两口等产量偏心井 转化为无限地层两源两汇问题转化为无限地层两源两汇问题 作业：作业：11、12、13、14、15
