1、 河南省中原名校联盟河南省中原名校联盟 2020-2021 学年高三上学期第一次质量考评学年高三上学期第一次质量考评 数学（理）试题数学（理）试题 （考试时间：（考试时间：120 分钟分钟 试卷满分：试卷满分：150 分）分） 注意事项：注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5
2、 分分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题只有一项是符合题 目要求的）目要求的） 1已知集合lg(1)Ax yx，20Bx x，则AB （ ） A( 1,2) B( 2,1) C( 2, 1) D(1,2) 2已知复数 3 2 1 i z i ，则z的共轭复数z （ ） A1 i B1 i C1 i D1 i 3已知 3 sin 3 ，则sincos 44 （ ） A 1 3 B 1 6 C 1 8 D 1 12 4 34 (2) (2 )xyxy的展开式中 6 xy的系数为（ ） A32 B32 C64 D64 5已知 2 log 3a ， 0
3、.2 0.40 log,2b ， 1 lg3 c ，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） Aacb Bcab Cbac Dbca 6已知实数x，y满足不等式组 1 22 1 yx yx x ，则42zxy的最大值为（ ） A20 B18 C12 D4 7已知双曲线 C 的方程为 2 2 2 1(0) x yb b ，其离心率3e ，则双曲线 C 的上焦点 F 到其渐近线的距 离为（ ） A3 B2 C2 3 D2 2 8函数( )2sin1 4 f xxx 在0,2内的极小值为（ ） A 3 2 B 3 1 2 C1 D2 9已知函数 2 ,02 ( ) 2 22 ,2 x x f x xx
4、，若( )g x为偶函数，且0 x时，( )( )g xf x ，若( )g x在 ,3m (3)m 上的值域为4,0，则实数m的取值范围为（ ） A 3,3) B 3,0 C0,3) D 2,2 10在古代，正四棱台也叫“方亭” ，竖着切去“方亭”两个边角块，把它们合在一起是“刍甍” （如图 1 中的几何体 1111 ABCDABC D为一个“刍甍” ） ，图 1 是上底为a，下底为b的一个“方亭” ，图 2 是由 图 1 中的“方亭”得到的“刍甍” ，已知“方亭”的体积为 1 V， “刍甍”的体积为 2 V，若 51 2 a b （约 等于 0618，被称为黄金分割比例，且 51 2 恰好
5、是方程 2 10 xx 的一个实根，台体的体积公式 为 1 3 Vh SSSS） ，则 2 1 V V （ ） A 5 2 1 B 51 4 C 1 2 D 1 4 11已知抛物线 2 :2C ypx的焦点为 F，过 F 的直线l与 C 交于 A，B 两点（设点 A 在第一象限） ，分别 过 A，B 作准线的垂线，垂足分别为 1 A， 1 B ，若 1 AFA为等边三角形， 1 BFB的面积为 1 S，四边 形 11 AB BF的面积为 2 S，则 1 2 S S （ ） A 1 3 B 1 4 C 1 6 D 1 7 12 已知函数 2 ( )f xxxt（t为常数） 满足 2 ( )4ff
6、 xxx，( )2sin 2 6 g xx ， 若 f g x 在0, 2 上的最大值和最小值分别为m，n，则 2 4mnt的值为（ ） A5或 15 B9或 11 C11或 9 D5 或15 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分）分） 13函数 5 ( )lnf xxx的图象在1x 处的切线方程为_ 14已知非零向量a，b满足 22 3ba，且(32 )aab，则向量a与b的夹角为_ 15已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若2 cos2cBab，且ABC的面积为4 3， 则 22 3ac的最小值为_ 16已知正三
7、棱锥PABC的底面边长为 3，其外接球的球心在三棱锥PABC的内部，且外接球的表面 积为16，若 D 为 BC 中点，则异面直线 PD 与 AB 所成角的余弦值为_ 三、解答题三、解答题（本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a是等比数列，若 13 10aa，且 3 a， 2 15a， 5 a成等差数列 （1）求 n a的通项公式； （2）若 9192 2 loglog n nn b aa ，求数列 n b的前n项和 n S 18 （本小题满分 12 分） 如
8、图， S 为圆锥的顶点， O 为底面圆心， 点 A， B 在底面圆周上， 且60AOB， 点 C， D 分别为 SB， OB 的中点 （1）求证：ACOB； （2）若圆锥的底面半径为 2，高为 4，求直线 AC 与平面 SOA 所成的角的正弦值 19 （本小题满分 12 分） 在 5 月 31 日世界无烟日来临前夕，甲、乙两个单位随机抽取部分烟民进行调查，得到他们每月吸烟数 量（单位：盒）的茎叶图如下所示 （1）若规定每月吸烟不超过 10 盒称为“初级烟民” ，否则称为“非初级烟民” 试根据所给的茎叶图， 填写下列 22 列联表并分析是否有 95%的把握认为两个单位的烟民中的“初级烟民”所占比
9、例 有差别： 初级烟民 非初级烟民 合计 甲单位烟民数（单位：个） 乙单位烟民数（单位：个） 合计 （2）设吸烟盒数的平均数为x，方差为 2 s，若出现吸烟盒数不在(2 ,2 )xs xs内的烟民，则需要对 该烟民进行跟踪观察， 根据所给数据分析在乙单位调査的烟民中， 是否有需要跟踪观察的烟民（参 考数据：59.67.72） 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中na b cd 2 0 P Kk 0.1 0.05 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20 （本小题满分 12 分
10、） 如图，直线 1: lykx与椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 交于 M，N 两点，与直线 2: 20lxya交 于点 P，且椭圆 E 的离心率为 3 2 （1）若点 M 在第二象限，且|PMON的最小值为2 2（其中 O 为坐标原点） ，求椭圆 E 的方程； （2）若椭圆 E 的方程为（1）中所求方程，且 3 8 k ，求 | | OP MN 的取值范围 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 22 ( )3ln (0)f xxaxax a （1）若( )f x的极小值为 2 2a，求实数a的值； （2）若2a，求证：( )(6)ln8f xxx 【选考题】【选考题】 请
11、考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答注意注意：只能做所选定的题目只能做所选定的题目如果多做如果多做，则按所做的第一个则按所做的第一个 题目计分题目计分 22 （本小题满分 10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为 2 2cos 2sincos x y （为参数） ，以原点为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为() 6 R （1）求直线l被曲线 C 截得的弦长； （2）设点 P 的直角坐标为(3, 1)，直线与曲线 C 交于 A，B 两点，求 11 |PAPB 23 （本小题满分 10
12、分） 【选修 4-5:不等式选讲】 已知函数( ) |1|24|f xxx的最小值为m （1）求m的值； （2）若0a，0b，且2abm ，求证： 22 9 5 ab 中原名校中原名校 20202021 学年上期质量考评一学年上期质量考评一 高三理科数学全解全析高三理科数学全解全析 1 【答案】B 【解析】由题意得10(,1)Axx ，( 2,)B ，故( 2,1)AB 故选 B 2 【答案】C 【解析】由题意， 3 222 (1)22 1 11(1)(1)2 iiiii zi iiii ，故1zi 故选 C 3 【答案】B 【解析】 11 sincossin 2cos2 44222 2 11
13、11 12sin12 2236 ，故选 B 4 【答案】C 【解析】由题意，展开式中含 6 xy的项为： 22404303336 3434 (2 )()(2 )(2 ) ()(2 )64CxyC xyCxyC xyxy，故所求系数为 64故选 C 5 【答案】C 【解析】由对数函数的质可得 222 log 2log 3log 4， 即12a；又 0.40.4 log0.2log0.41， 故 0.2 0.4 0log0.21 ，即01b； 33 3 1 log 10log 92 lg ，即2c ，故bac故选 C 6 【答案】A 【解析】不等式组 1 22 1 yx yx x 表示的平面区域如
14、下图的阴影部分所示， 平移直线420 xy可知，42zxy在点 A 处取得最大值 由 22 1 yx yx ，可得(3,4)A， 故42zxy的最大值为4 3 2 420 故选 A 7 【答案】B 【解析】设双曲线 C 实轴长为2a， 由题意，得1a ，3 1 cc e a ，即3c ， 所以 222 3 12bca ，上焦点(0, 3)F，双曲线 C 的方程为 2 2 1 2 x y ， 所以双曲线 C 的渐近线方程为 2 2 yx ，即20 xy 故上焦点 F 到渐近线的距离为 |23| 2 12 故选 B 8 【答案】A 【解析】 22 ( )2sin12sincos1 422 f xx
15、xxxx sincos1xxx， ( )cossin12sin1 4 fxxxx ， 令( )0fx，得 2 sin 42 x ， 由(0,2 )x，得 9 , 444 x ， 5 44 x 或 7 44 x ，即x或 3 2 x 令( )0fx，得 2 sin 42 x ， 结合(0,2 )x，得0 x或 3 2 2 x ； 令 0fx，得 2 sin 42 x ，结合(0,2 )x，得 3 2 x ， 当 3 2 x 时， f x取得极小值 323 21 222 f 33 11 22 故选 A 9 【答案】B 【解析】由题意，可以画出函数 g x的大致图象如下 由(0)0g，( 3)(3)
16、4gg ，结合图象可知30m ，故选 B 10 【答案】D 【解析】设“方亭”的高为h，则 22 1 1 3 Vh aabb， 222 21 11 22 226 ba VVa hh ahbaab ， 2 22 2 2 22 1 1 2 2 1 6 1 2 1 3 aa hbaab Vbb V aa h aabb bb 设 51 2 m ，则 2 10mm ，即 2 1mm， 2 2 2 1 2 112 11 2122 14 mm V Vmm 故选 D 11 【答案】D 【解析】由条件可得 11 60AFxAFAAFO， 11 30BFBOFB， 直线 AB 的方程为3 2 p yx ，与 2
17、2ypx联立， 消去y，整理得 2 2 3 350 4 p xpx，解得 6 p x 或 3 2 p x ， 故 3 , 3 2 p Ap ， 3 , 63 pp B ，则 1 2 | | 623 ppp BFBB， 则 1 BFB的面积为 2 1 133 26239 pppp S ， 四边形 11 AB BF的面积为 22 2 3137 3 3 9239 pp Sppp ， 故 2 1 2 2 3 1 9 77 3 9 p S Sp 故选 D 12 【答案】A 【解析】对于函数( )g x，由0, 2 x 可得 5 2, 666 x ， 故 g x的最大值为2sin2 2 ，最小值为2sin
18、1 6 ， 即 g x的值域为1,2 因为 2 ( )f xxxt，所以 2 ( ) ( )4 f xxxt f t ， 故 2 4ttt ，即2t 当2t 时， 2 ( )2f xxx， 故( )f x在 1 , 2 上单调递减，在 1 , 2 上单调递增， 故( ( )f g x的最大值为(2)mf，最小值为 1 2 nf ， 即 1 4(2)4 2 mnff 11 44211 42 ； 当2t 时， 2 ( )2f xxx， 同理可得 1 4(2)4 2 mnff 11 0429 42 综上49mn或 11，所以 2 45mnt 或 15，故选 A 13 【答案】650 xy 【解析】由
19、 5 ( )lnf xxx，得 4 1 ( )5fxx x ， 所以(1)5 16 f ，又(1)1ln11f ， 故所求的切线方程为16(1)yx ，即650 xy 故答案为：650 xy 14 【答案】 5 6 【解析】 因为(32 )aab，所以 2 (32 )320aabaa b，所以 2 3 | 2 a ba 又因为 22 3ba，所以|3|ba， 设a与b的夹角为，则0, ， 2 2 3 | 3 2 cos 2| |3| a a b aba ， 所以 5 6 故答案为 5 6 15 【答案】80 【解析】由2 cos2cBab及正弦定理可得2sincos2sinsinCBAB， 2
20、sincos2sin()sinCBBCB，即2sincossin0BCB， 又sin0B，故 1 cos 2 C ，故 2 3 C 因为ABC的面积为4 3，所以 1 sin4 3 2 abC ， 即 13 4 3 22 ab，故16ab， 由余弦定理可得 2222222 1 2cos2 1616 2 cababCabab ， 所以 22222 33acaab 22 1641641680abab， 当且仅当24 2ab时等号成立，故 22 3ac的最小值为 80 故答案为：80 16 【答案】 39 26 【解析】 由外接球的表面积为16，可得其半径为 2， 设ABC的中心为 O，则外接球的球
21、心一定在 1 PQ上， 由正三棱锥PABC的底面边长为 3，得 1 3AQ ， 在 1 RtAOO中，由勾股定理可得 2 2 1 2( 3)PO 2 2， 解得 1 1PO （舍去）或 1 3PO ， 又 222 11 PAPOAO，故932 3PA， 取 AC 中点 E，连接 PE，DE，则DEAB，故PDE即为异面直线 PD 与 AB 所成角， 在PDE中， 3 2 DE ， 2 339 12 22 PDPE ， 由余弦理可得 222 39939 39 444 cos 226393 2 22 PDDEPE PDE PD DE 故答案为 39 26 17 （本小题满分 12 分） 【解析】
22、（1）由 3 a， 2 15a， 5 a成等差数列，可得 352 30aaa， 设数列 n a的公比为q，则 3 222 30a qa qa，则 3 30qq， 设 3 ( )f qqq，则 f q在R上单调递增， 而(3)30f，故满足 3 30qq的q的值为 3 由 13 10aa得 2 1111 910aa qaa，故 1 1a ， 故 n a的通项公式为 1 3n n a （2）由（1）可得 1 919299 2 logloglog 3log 3 2 n nn nn b aa 811 8 11n nnn ， 1111111 81 223341 n S nn 18 81 11 n nn
23、18 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）由题意，得SO底面圆 O， 点 C，D 分别为 SB，OB 中点， CD SO，CD底面圆 O， OB 在底面圆 O 上，OBCD 60AOB，AOB为正角形， 又 D 为 OB 中点，OBAD， 又ADCDD，且 AD， CD平面 ACD， OB平面 ACD， AC 平面 ACD，ACOB （2）如图，以 D 为原点，DA，DB，DC 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则( 3,0,0)A，(0,0,2)C，(0, 1,0)O，(0, 1,4)S， 故(3,0,2)AC ，(3, 1,4)AS ，( 3,1,0)OA ，
24、设平面 SOA 的法向量为( , , )nx y z， 由 0 0 n AS n OA ，可得 340 30 xyz xy ， 令1x ，得(1,3,0)n 为平面 SOA 的一个法向量， 设直线 AC 与平面 SOA 所成的角为， 则 300 sin|cos,| | |1334 n AC n AC nAC 321 142 7 ， 即直线 AC 与平面 SOA 所成的角的正弦值为 21 14 19 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）填写的 22 列联表如下： 初级烟民 非初级烟民 合计 甲单位烟民数（单位：个） 8 4 12 乙单位烟民数（单位：个） 3 7 10 合计 11 11 2
25、2 所以 22 2 ()22 (8 74 3)88 2.9333.841 ()()()()11 11 12 1030 n adbc K ab cd ac bd ， 没有 95%的把握认为两个单位的烟民中的“初级烟民”所占比例有差别 （2）由所给数据可知，乙单位调查的烟民吸烟盒数的平均数为： 678 11 12 13 17222331 15 10 x ， 乙单位调查的烟民吸烟盒数的方差为： 22222222222 1 ( 9)( 8)( 7)( 4)( 3)( 2)2781659.6 10 s 59.67.72s ，230.44xs，而3130.44， 在乙单位抽取的烟民中，有需要跟踪观察的烟民
26、 20 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）设椭圆 E 的焦距为2c，由题意 3 2 c a ， 2222 3444acab， 22 4ba，2ab， 由椭圆的对称性可得| |OMON， 故| | |PMONPMOMOP， |OP的最小值为点 O 到直线 2: 20lxya的距离， 2 2 2 2 a ，故2a，1b，椭圆 E 的方程为 2 2 1 4 x y （2）由 2 2 1 4 ykx x y ，消去y，整理得 22 414kx， 即 2 2 41 x k ， 2 2 222 2241 |1 414141 k MNk kkk ， 由（1）知2a， 2: 40lxy， 联立 40
27、ykx xy ，解得 4 1 4 1 x k k y k ，即 44 , 11 k P kk ， 22 2 2 4441 | 11 (1) kk OP kk k ， 2 2 22 22 2 2 41 42183 (1)|41 |2121 41 41 k kkk kOPk MNkkkk k k 2 83 4 (1) k k ， 令83kt ，得 3 8 t k ，由 3 8 k ，得0t ， 222 8364 (1)1025 3 1 8 ktt ktt t ， 当0t 时， 2 64 0 1025 t tt ，此时， | 402 | OP MN ； 当0t 时， 2 6464 25 1025 1
28、0 t tt t t ， 25 102 25100t t ，当且仅当5t 时等号成立， 64 (0,) 25 10t t ，此时 | (2,) | OP MN 综上可知， | | OP MN 的取值范围是2,) 21 （本小题满分 12 分） 【答案】 （1）由题意， 22 ( )3lnf xxaxax的定义域为(0,)， 且 222 1 323()(23 ) ( )2(0) axaxaxaxa fxxax xxx ， 由( )0fx得0 xa，由( )0fx得xa， f x在区间0,a上单调递减，在区间, a 上单调递增， f x的极小值为 22222 ( )3ln23lnf aaaaaaa
29、a， 令 222 23ln2aaaa，得 2 3ln0aa ， 0a，ln0a ，1a （2）当2a时， 2 ( )212lnf xxxx， 设( )( )(6)lng xf xxx，则 22 ( )212ln(6)ln26lnlng xxxxxxxxxxx， 则 2 62ln6 ( )22ln1(0) xxxx g xxxx xx ， 设 2 ( )2ln6(0)h xxxxxx， 则( )41 (ln1)4lnh xxxxx ， 设( )4lnm xxx，则 141 ( )4(0) x m xx xx ， 由( )0m x可得 1 0 4 x，由( )0m x可得 1 4 x ， 即 m
30、x在 1 0, 4 上单调递减，在 1 , 4 上单调递增， 11 ( )1 ln12ln20 44 m xm ，即 0h x， h x在0,上单调递增 (1)30h ，(2)42ln20h， h x存在唯一的零点 0 x，且 0 (1,2)x 由 2 00000 2ln60h xxxxx ，得 00 0 6 ln21xx x ， 当 0 0,xx时，( )0h x ，即( )0g x， 当 0, xx时， 0h x ，即( )0g x， 2 000000 ( )26lnlng xg xxxxxx 2 0000 0 6 2621xxxx x 2 00 0 36 11xx x ， 易得 g x在
31、区间1,2上单调递减， 故 2 0 36 211 28 2 g x ， ( )( )(6)ln8g xf xxx ，即( )(6)ln8f xxx （解法二）当2a时， 2 ( )212lnf xxxx， 要证( )(6)ln8f xxx 只要证 2 212ln(6)ln8xxxxx， 即证 2 28(6)lnxxxx， 0 x，只要证 2 28 ln 6 xx x x ， 下面证明 2 28 62 xxx x ，且ln 2 x x， 22 216(1)15150 xxx， 22 24166xxxx， 结合0 x，得 2 28 62 xxx x ， 即当0 x时，成立； 令( )ln 2 x
32、h x ，则 112 ( ) 22 x h x xx ， 当02x时，( )0h x ，当2x时，( )0h x ， 函数( )h x在0,2上单调递减，在2,上单调递增， 函数 h x的最小值为 2 (2)ln21 ln2 2 h ， 又1 ln21 ln0e ， ( )0h x ， 成立 综合可知 2 28 ln 62 xxx x x ， ( )(6)ln8f xxx成立 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 【解析】 （1）由 2 2cos 2sincos x y ，得 1cos2 sin2 x y ， 故曲线 C 的普通方程为 22 (1)1xy 因为直线l的极
33、坐标方程为() 6 R， 所以直线的直角坐标方程为30 xy 所以圆心 C 到直线l的距离为 |1 0|1 21 3 ， 所以直线l被圆 C 截得的弦长为 2 1 2 13 2 （2）易知点 3, 1P 在直线l上，直线l的参数方程为 3 3 2 1 1 2 xt yt （t为参数） ， 代入曲线 C 可得 2 2 31 3111 22 tt ， 即 2 ( 34)2 340tt， 设 A，B 对应的参数分别为 1 t， 2 t， 则 12 34tt， 1 2 2 34tt ， 11|3452 3 | |22 34 PAPB PAPBPAPB 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式
34、选讲 【解析】 （1）由题意，得 33,2 ( ) |1|24|5, 21 33,1 xx f xxxxx xx ， ( )f x在区间, 2 上单调递减，在区间2,单调递增， ( )f x的最小值( 2)253mf （2） （解法一）由柯西不等式可得 22222 21(2)abab， 由（1）得3m，23b ， 22 59ab， 22 9 5 ab，当且仅当 2 a b且23ab，即 6 5 3 5 a b 时等号成立 （解法二）由（1）得3m，23ab， 两边平方，得 22 449abab， 22 42(2 )4ababab ， 222222 9445ababab， 22 9 5 ab，当且仅当 2 a b且23ab，即 6 5 3 5 a b 时等号成立
