1、2023年9月18日理论力学CAI1第13章 动能定理 动量定理和动量矩定理是用矢量法研究动力学问题，而动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量动能和作用力的物理量功之间的联系，这是一种能量传递的规律。2023年9月18日理论力学CAI2221iivmT 1.质点的动能质点的动能2.质点系的动能质点系的动能221mvT 22222121)(2121CiiiMvMvvmvmT222221)(2121ziiiiJrmvmT定轴转动刚体定轴转动刚体平移刚体平移刚体2023年9月18日理论力学CA
2、I3mnmim1m2CmiCxyzOvCvCvri vivC定系定系Oxyz，动系动系C xyz应用速度合成定理，应用速度合成定理，任意质点任意质点mi的速度的速度riCivvv riCriCiiivvvvvvv 22223.柯尼希定理柯尼希定理2023年9月18日理论力学CAI4系统的总质量为系统的总质量为系统的总动能为系统的总动能为iiivmT221 iiriiCriiCivmvvmvm22i21)(21 iriCriCivvvvm)2(2122riCriCiiivvvvvvv 2222miCmiCxyzOvCvCvri vi2023年9月18日理论力学CAI5系统的总动能为系统的总动能为
3、 iiriiCriiCivmvvmvmT22i21)(2112i)(21TvmCi iriiTvm2221?vmviriiC 2023年9月18日理论力学CAI6rCiriirmrm 0 rCiriivmvm0 iriiCvmv iriiCiTTvmvmT2122i21)(21miCxyzOvCvri virirC2023年9月18日理论力学CAI7 iriiCivmvmT22i21)(21质点系的动能，等于系统随质心平移的动能与相质点系的动能，等于系统随质心平移的动能与相对于质心平移参考系运动的动能之和。对于质心平移参考系运动的动能之和。这一结论只有以质心为基点时是正确的，对于这一结论只有以
4、质心为基点时是正确的，对于任意点为基点的情形，上述结论一般是不正确的。任意点为基点的情形，上述结论一般是不正确的。2023年9月18日理论力学CAI8平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能 刚体的平面运动可以分刚体的平面运动可以分解为随质心的平移和相对于质心平移参考系的转动。解为随质心的平移和相对于质心平移参考系的转动。根据柯希尼定理根据柯希尼定理222121zCJmvT平面运动刚体的动能等于刚体随质心平移的动平面运动刚体的动能等于刚体随质心平移的动能与相对于质心平移参考系的转动动能之和。能与相对于质心平移参考系的转动动能之和。iriiCivmvmT22i21)(212023年9月18日理论力学
5、CAI9 求质量为求质量为m的匀质杆的功能，用角速度的匀质杆的功能，用角速度、质量质量m、杆长杆长L表示表示o302sinLvG 22222967122121 mLmLmvTG2023年9月18日理论力学CAI10P dmdmvT2121222222212121 pJdmdmT 试证明作平面运动的刚体的动能可根据其绕瞬试证明作平面运动的刚体的动能可根据其绕瞬心的转动表示为心的转动表示为量为刚体对瞬心的转动惯ppJJT221 2023年9月18日理论力学CAI1122222212121 pJdmdmT222222296716122121mLLmmLmlJTC2023年9月18日理论力学CAI12
6、已知滑块已知滑块A的质量为的质量为 m1，质点质点B的质量为的质量为m2,AB杆的杆的长度为长度为 l、不计质量，可以不计质量，可以绕绕 A点转动，滑块的速度为点转动，滑块的速度为v。求：系统的动能。求：系统的动能。2023年9月18日理论力学CAI13解：两个质点组成的质点系解：两个质点组成的质点系滑块作直线运动，速度为滑块作直线运动，速度为vA质点质点B以以A为基点，为基点，其牵连速度与相对速度其牵连速度与相对速度分别为分别为Avv e llvABBA cosBA lvx sinlvyBA 2023年9月18日理论力学CAI1421121AvmT 质点质点B的动能的动能22221BvmT
7、222)sin()cos(21llxm系统系统的总动能的总动能2222221cos)(21lmx lmxmmT2121xm 2023年9月18日理论力学CAI15rrvB22 rrrvrvDA32324 2203 22222221121212212121 mrJmvmrmvJTABB 例例13.1 图示行星轮机构由节圆半径图示行星轮机构由节圆半径r，质量均为质量均为m的的3个齿轮组成，曲柄以匀角速度个齿轮组成，曲柄以匀角速度 绕固定齿轮绕固定齿轮1的的轴转动时，带动齿轮轴转动时，带动齿轮2和齿轮和齿轮3运动，设曲柄相对转运动，设曲柄相对转动轴的转动惯量为，试写出系统的动能。动轴的转动惯量为，试
8、写出系统的动能。2023年9月18日理论力学CAI16rad/s 52.AB kg/m 2 已知：已知：求机构运动的动能求机构运动的动能ABBC ABBCCD 22233121ABABABT 22312121BCBCOGBCBCT 233121CDCDCDT J 1564 CDBCABTTTT2023年9月18日理论力学CAI17rad/s 4,rad/s 3,kg 15CDABCDABmm已知：已知：求图示位置总的动能求图示位置总的动能 J 868121212213121121212131212222222222r222.mLBCLLmmLmLvvmmLTCDCDABABCDBAB 2023
9、年9月18日理论力学CAI1813.2 13.2 力力 的的 功功力对质点的功的定义rF ddW21cosssCdsFdWrF力对质点系的功的定义niiiddW1rF niCiiidW1rF2023年9月18日理论力学CAI19jiFjiF2230222301xyyxbFyxxybF求下列两力分别沿直线轨线和抛物线轨线所作的功求下列两力分别沿直线轨线和抛物线轨线所作的功bFdxxbFydyxdxxybFdydxyxxybFdWbxyxyxy003302230223011212jijirFbFdxbxbFbxdxbxxdxbxxbFydyxdxxybFdWbbbxybxy002530022223
10、0/2230/11213222rF2023年9月18日理论力学CAI20jiFjiF2230222301xyyxbFyxxybFbFdxbxbxbFbxdxbxxdxbxxbFdyxyydxxbFdWbbbxybxy00364300222230/2230/2235172222rFbFdxxbFdyxyydxxbFdWbxyxy00330223022212rF2023年9月18日理论力学CAI213.3.几种常见力的功几种常见力的功常力的功0rrFrFrFCCddW与积分路径无关常力为重力kFmgzzmgmgW00rrk质点系的重力功kFgmiiPPniiiiniCiizzmgzzgmdWi01
11、01rF重力的功与质心运动的高度差成正比2023年9月18日理论力学CAI22弹性力的功弹性力的功rlrkrFrdrrddd 222rrrr22022022klrlrkdrlrkdrlrkdWCCCrrrF弹性力的功与弹簧变形的平方之差成正比2023年9月18日理论力学CAI23万有引力的功rrm rF20221111rrmdrrmdrrmdWCCCrrrF2023年9月18日理论力学CAI24p 套筒重套筒重W W 在光滑圆环上滑动。设弹簧原长为在光滑圆环上滑动。设弹簧原长为R R，当套筒从当套筒从A A运动到运动到B B时，求弹簧力所作的功以及重力所时，求弹簧力所作的功以及重力所作的功。作
12、的功。212222222s kRRRRkkWBAWRzzWWBAg2023年9月18日理论力学CAI254.4.刚体的内力和外力的功刚体的内力和外力的功v内力的功相互作用力的元功之和ijijijijijijjijiijjijijidddddddddWFrrFrrFrFrFrFrF ninijCijijijdW11F内力的功取决于质点之间的相对位移2023年9月18日理论力学CAI26v内力对刚体的功iCivriCidddrr dtddtdCC rv,ijijijijdddddrr 0ijijijijdddWFF 刚体作任意运动时，其内力的总功等于零2023年9月18日理论力学CAI27v外力对
13、刚体的功外力对刚体的功外力对刚体的元功 ddddddddWCCniiiCniiniiCiniii MrRFrFrFrF1111作用于刚体外力的元功等于外力的主矢与质心位移的标积，以及外力对质心的主矩与瞬时角位移的标积之和tCCdtW0MvR2023年9月18日理论力学CAI28FrMC 2023年9月18日理论力学CAI29计算滑轮顺时旋转一周外力所作的总功计算滑轮顺时旋转一周外力所作的总功 J 115417J 2250819421150819420.gRmMgrmWAB 2023年9月18日理论力学CAI3013.3 13.3 势力场和势能势力场和势能力场的定义：力场的定义：若质点在一空间区
14、域内的任意位置处，受到大小若质点在一空间区域内的任意位置处，受到大小和方向都单值确定的力的作用，则该区域称为和方向都单值确定的力的作用，则该区域称为力场。力场。例如：万有引力场、弹性力场例如：万有引力场、弹性力场 z,y,xF,z,y,xF,z,y,xFzyx势力场的定义势力场的定义：z,y,xU zUF,yUF,xUFzyx 力场称为力场称为势力场势力场，U称为力的称为力的势函数势函数有势力场保守力场2023年9月18日理论力学CAI31势能的定义UV 有势力场所做的功 00gradVVUUdUdrUdrWCCC 势力场对质点的功取决于起讫点的位置，而与质点运动的路径无关，与起讫点位置的势能
15、的改变量有关（相对势能）2023年9月18日理论力学CAI32定义零势能定义零势能 00000 z,y,xVVVUW 势能的物理解释势能的物理解释：质点在势力场中的势能等于质点从零势能位质点在势力场中的势能等于质点从零势能位置运动到所在位置过程中势力所作的功的负值。置运动到所在位置过程中势力所作的功的负值。2023年9月18日理论力学CAI33等势面等势面 const z,y,xV质点在等势面上运动，势力做功为零 00 VVW2023年9月18日理论力学CAI343.3.常见的势力场常见的势力场1.重力场重力场mgdzddUrFCmgzmgdzUCmgzV等势面为水平面将坐标z的基准点选在零势
16、面上mgzV 2023年9月18日理论力学CAI352.弹性力场弹性力场rlrkrFdrlrkddUrFClrkdU22rFClrkV22等势面是以弹簧的固定端等势面是以弹簧的固定端O点为中心的球面点为中心的球面选零势面选零势面lr 22 kV2023年9月18日理论力学CAI363.万有引力场万有引力场rrm rF2drrmddU2rFCrmdUrFCrmV定义无穷远为零势面定义无穷远为零势面rmV 2023年9月18日理论力学CAI3713.4 13.4 动动 能能 定定 理理1.质点动能定理质点动能定理Fv mdtdrFvFvvddtmdrF dmvd221Wmvmv 2022121质点
17、的动能改变等于运动过程中力对质点所作的功WTT 02023年9月18日理论力学CAI382.2.质点系质点系的的动能定理动能定理iiiiiiiWWWvmvmie2022121niiniiniiiniiiWWvmvm1i1e120122121WTT 0niiivmT1221niiivmT120021niiniiWWW1i1e 质点系动能的改变等于作用与质点系的所有外力功和内力功的总和。2023年9月18日理论力学CAI39质点系为刚体的动能定理质点系为刚体的动能定理WTT0 刚体动能的改变等于作用与质点系的所有外力功的总和。2023年9月18日理论力学CAI403.3.动能定理的微分形式动能定理
18、的微分形式功率的定义：功率的定义：vFrFdtddtdWP动能定理：动能定理：PdtdT 质点系动能关于时间的导数等于作用于质点系上所有外力和内力所作的功率之和。2023年9月18日理论力学CAI41力系力系作用于刚体的功率：作用于刚体的功率：iiiiiiiiPFvFvF00iiiiiFMFF0,MvF00P 力系对刚体所作的功率等于力系主矢与基点速度的点积以及力系对基点的主矩与刚体角速度的点积之和。2023年9月18日理论力学CAI42测试车辆从开始刹车到停止所滑过的距离。测试车辆从开始刹车到停止所滑过的距离。50km/h 100kg 10000.,v,m 0,21200TmvTmgxxFW
19、NWTT 0mgxmv20210m 7.78m 81.91600,3000,1002220gvx要保持车距200mxkm/h 1000v解：车辆从开始刹车到停止作平移解：车辆从开始刹车到停止作平移2023年9月18日理论力学CAI43例例 重重150N的均质圆盘与重的均质圆盘与重60N、长长24cm的均质杆的均质杆AB在在B处用铰链连接。处用铰链连接。系统由图示位置无初速地释放。系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置求系统经过最低位置B点时的速度。点时的速度。解解：（：（1）取圆盘为研究对象）取圆盘为研究对象;0)(FmB0 0BBBJ00B，圆盘平移。圆盘平移。2023年9月18日理
20、论力学CAI44（2 2）用动能定理求速度）用动能定理求速度 初始时初始时T T1 1=0=0，最低位置时：最低位置时：22222121BAvgWJT 221222163213121BBBvgWWvgWvgW )sinll)(WW()sinll(W)sinll(WW 3023030222121 WTT12)sinll)(WW(vgWWB 30206321221代入数据，得代入数据，得m/s 58.1Bv2023年9月18日理论力学CAI45m 210m/s 54kg 68000 L,v,m 航空母饯上的飞机降落止动装置为缆索装置。设缆索的航空母饯上的飞机降落止动装置为缆索装置。设缆索的张力在止
21、动过程中是一常值，要求降落滑行距离为张力在止动过程中是一常值，要求降落滑行距离为L，则缆索则缆索张力应为多少？张力应为多少？2023年9月18日理论力学CAI46m 210m/s 54kg 68000 L,v,m 航空母饯上的飞机降落止动装置为缆索装置。设缆索的航空母饯上的飞机降落止动装置为缆索装置。设缆索的张力在止动过程中是一常值，要求降落滑行距离为张力在止动过程中是一常值，要求降落滑行距离为L，则缆索则缆索张力应为多少？张力应为多少？021t200 T,mvT 222222220220dL/dTdxx/dxTdxcosTWLL N 248152242220 dL/dmvT2023年9月18
22、日理论力学CAI47求求电梯从静止开始下降电梯从静止开始下降30米后的速度米后的速度kg 200kg 1800kg 2000321 m,m,m柔索与圆盘之间的相互作用力（系统柔索与圆盘之间的相互作用力（系统内力）作功之和为零内力）作功之和为零2222321021221210vmrvrmvmT,T ghmghmW21 m/s 552232121./mmmghmmv 2023年9月18日理论力学CAI48222222102121421,0rvmvmvmTTs 5m/s 3m 450m 750kg 160kg 45002 ,v,.,.r,m,mPTT0 w364257.P 推土机总质量推土机总质量4
23、5004500kgkg，4 4个轮子个轮子单个质量为单个质量为160160kgkg，直径为直径为1.51.5m m，回回转半径为转半径为0.450.45m m，求推土机在求推土机在5 5秒钟将秒钟将车子从静止加速到车子从静止加速到3 3m/sm/s所需的功率。所需的功率。2023年9月18日理论力学CAI49FO 圆轮质量圆轮质量m,半径半径r2=2r1,转动惯量转动惯量JO，在平板上纯，在平板上纯滚动，平板质量滚动，平板质量M，受水平力，受水平力 F作用，作用，F为一常力，为一常力，平板置于光滑水平面上。求平板运动的加速度。平板置于光滑水平面上。求平板运动的加速度。2023年9月18日理论力
24、学CAI50 两匀质杆从图示静止位置开始运动，两匀质杆从图示静止位置开始运动，求当求当BCBC杆接触地面时杆接触地面时BCBC杆的角速度杆的角速度o60,m 1,kg 5lmsin22,000lmgVT0,3213212222VmlmlTBCABBCABrad/s 5253.sinlg 2023年9月18日理论力学CAI51 AB杆与圆盘杆与圆盘O组成的组合体，组成的组合体，杆和圆盘质量都为杆和圆盘质量都为m,AB=2r。圆盘在地面上作纯滚动。圆盘在地面上作纯滚动。求（1）AB从垂直位置无初 运动到水平位置时的角速度；（2）此位置地面对圆盘的约束力。2023年9月18日理论力学CAI52OAB
25、C2023年9月18日理论力学CAI53方法一、方法一、动能定理求角速度，动能定理求角速度，刚体平面运动微分方程求角加速度及约束力，刚体平面运动微分方程求角加速度及约束力，还需用基点法建立运动学补充方程。还需用基点法建立运动学补充方程。2023年9月18日理论力学CAI54OABCmgFfFN2023年9月18日理论力学CAI55方法二、方法二、动能定理求角速度，动能定理求角速度，刚体平面运动微分方程求约束力，刚体平面运动微分方程求约束力，还需用基点法建立运动学补充方程。还需用基点法建立运动学补充方程。任意位置求导得出角加速度；任意位置求导得出角加速度；2023年9月18日理论力学CAI56O
26、ABCmgFfFN2023年9月18日理论力学CAI57刚体平面运动微分方程的形式刚体平面运动微分方程的形式方法三、方法三、动能定理求角速度，动能定理求角速度，刚体平面运动微分方程求角加速度及约束力，刚体平面运动微分方程求角加速度及约束力，2023年9月18日理论力学CAI58OABCmgFfFN2023年9月18日理论力学CAI594.4.机械能守恒定律机械能守恒定律 00VVWTT 00VTVT 机械能守恒定律：在有势力场中质点系的动能与势能之和为一恒量对于保守系统对于保守系统 机械能：系统的动能与势能的代数和机械能：系统的动能与势能的代数和（仅在有势力作用下的系统）（仅在有势力作用下的系
27、统）2023年9月18日理论力学CAI60q求求木块撞向墙头时的速度木块撞向墙头时的速度kg 800mcos,000mglVTmglVmvT,21200VTVTcos212mglmglmv m/s 8212.cosglv 2023年9月18日理论力学CAI61 求匀质杆从铅垂静止位置转动到求匀质杆从铅垂静止位置转动到水平位置时端点水平位置时端点C C的速度。已知弹簧的速度。已知弹簧原长原长3.93.9m m，匀质杆质量匀质杆质量2 2kgkg。2000212/,0kmglVT22221,321kVlvmlTC m/s 249226220 kmglmvC2023年9月18日理论力学CAI62q质量为mA的质点A从静止沿1/4光滑圆弧轨道滑下，质量为mB的物体B可在光滑水平面上自由滑动。求当A滑到圆弧底时A和B的速度。gRmVTA00,00,212122VvmvmTBBAA机械能守恒定律gRmvmvmABBAA222121动量守恒定律（沿水平方向）0BBAAvmvm2023年9月18日理论力学CAI63作业：131，132，13 12，13 16，13 17，13 18，1320
