1、学生用动态几何学生用动态几何 App 探究“中点四边形”探究“中点四边形” - e e 数学实验室环境下的常态教学案例分析数学实验室环境下的常态教学案例分析 沈康沈康 北京九中初中部北京九中初中部 100043100043 一、指导思想与理论依据一、指导思想与理论依据 著名的荷兰数学家、数学教育家 Freudenthal 倡导数学“再创造”的教学原理，认为数学 更应该被看作为是活的、动态的、开放的、可能有错的活动，因此强调每个学生应尽可能有 机会经历数学知识再创造的过程，让学生体会到数学学习活动不是接受、记忆、模仿和练习， 而是自主探索、合作交流、动手操作、充满了创新思考的过程. 数学课程标准
2、的基本理念中指出：注重提高学生的数学思维能力，是数学教育的基 本目标之一。教师要鼓励与提倡学生解决问题策略的多样化，应该设计适当的学习活动，引 导学生观察、操作、尝试、归纳、类比、猜想和证明，要为学生“再创造”的过程提供足够 的材料和思维空间，在这个过程中发展学生的合情推理和演绎推理能力。 图形计算器作为一种现代手持技术，具有数据处理功能、函数功能、图形功能和编程功 能，可以快速计算，自动求解，直观地绘制各种图形，并进行动态演示、跟踪轨迹等。利用 图形计算器可以将数与形、动与静有机地结合，并相互印证，通过形象思维促进抽象思维， 达到形象思维与抽象思维能力的同步发展，图形计算器为学生数学“再创造
3、”提供了工具， 学生在“做”和“思考”的过程中不断积累、丰富数学活动经验，提高数学思维水平。 二、教学背景分析二、教学背景分析 1. 学习内容分析学习内容分析 本节课是北京版数学八年级下册第十五章四边形的探究学习内容。 中点四边形是 以平行四边形、特殊平行四边形的性质和判定，以及三角形中位线的知识为基础，是学生学 习平行四边形和三角形中位线知识的综合应用，它在教材中起着总结提升的作用。 2. 学习任务分析学习任务分析 3. 学生情况分析学生情况分析 学生能熟练地操作 HP Prime 的几何学应用程序，绘制三角形和四边形的相关图形，同时 已掌握了一些常见的数学思想方法：分类讨论思想、化归思想、
4、数形结合思想以及类比与归 纳的方法，熟悉并习惯小组讨论交流式的合作学习方式，学习热情比较高。 八年级学生已具备简单的经验型逻辑抽象思维能力，但是受年龄和数学学习经验的影响， 理论型逻辑抽象思维能力较弱，在对复杂数学问题的观察、分析、猜想、尝试、推理、概括、 判断、验证、探究等思维过程中，容易产生思维障碍，影响数学学习。 三、三、教学目标教学目标的制定的制定 1.能说出中点四边形的概念，能够利用三角形中位线定理判断中点四边形的形状；总结 出中点四边形的形状与原四边形两条对角线的位置与数量关系； 2.借助 HP Prime 的几何学应用程序，学生对四边形进行变形探究，在这个过程中感受图 形之间具有
5、动态联系和不变的数学规律，并运用逻辑推理的方法揭示出其中的数学道理，经 历一般到特殊再到一般的研究问题的方法，同时渗透转化、类比、分类讨论和数形结合思想。 3.在自主探究的学习过程中，养成细心观察、大胆猜想、从数学的角度发现问题、提出 问题、分析问题和解决问题的意识，通过自主探究、合作交流体验数学学习的乐趣，形成严 谨求实的科学态度. 教学重点教学重点：根据原四边形对角线的位置和数量关系探究其对应的中点四边形的形状 教学难点教学难点：探究四边形在连续变换的过程中，中点四边形不变的性质规律 四、教学过程解读四、教学过程解读 教学流程： （一）教学流程： （一）提出问题提出问题； （二）； （二）
6、由因导果由因导果（三）（三）执果索因执果索因（四）（四）类比探究类比探究（五）（五）追根溯源追根溯源 【探究一】提出问题【探究一】提出问题 例 1：已知：四边形 ABCD 中，J,K,L,M 分别是 AB,BC,CD,DA 的 中点，依次将 J,K,L,M 四点连接，猜想四边形 JKLM 是什么四 边形？ 设计意图设计意图 1、 学生用陌生的眼光看一个陌生的问题， 促使学生积极思考， 对未知进行探索，激发学生的学习动机； 2、 引出课题，明确学习目标，形成主动积极的学习内驱力； 3、 用 HP Prime 的几何学中的检验四边形形状的功能，验证猜想。 【探究二】由因导果【探究二】由因导果 任意
7、拖动四边形 ABCD 的一个顶点，我们发现，当四边形 ABCD 的形状发生改变时，中点 四边形 JKLM 的形状也随之变化，有时候中点四边形是平行四边形，但是有时候中点四边形会 变成矩形，菱形，或者是正方形，那么当四边形 ABCD 具有什么特点时，它对应的中点四边形 JKLM 会成为平行四边形以及特殊的平行四边形呢？ 活动一：活动一：你打算先从什么角度进行探究呢？ 活动二活动二：借助 HP Prime 的几何学应用程序，进行实验探究，并填写学案上的表格； 四边形 ABCD 中点四边形 JKLM 设计意图设计意图 1、 确定探究方案：对四边形 ABCD 的形状进行分类，由一般到特殊探究中点四边形
8、 JKLM 的形 状。 2、 学生体会解决问题的特殊化思想。 【探究三】执果索因【探究三】执果索因 当四边形 ABCD 具有什么特点时，它对应的中点四边形 JKLM 会成为特殊的平行四边形呢？ 活动三：活动三：除了以上讨论的特殊四边形，还有没有其他形状的四边形的中点四边形也是特殊的 矩形？菱形？或正方形？ 活动四活动四：四边形 ABCD 的什么元素决定和影响它对应的中点四边形 JKLM 的形状呢？ 活动活动五：五：请你利用探究到的结论，设计一个非正方形的四边形 ABCD，它的中点四边形是正方 形。 设计意图设计意图 1. 借助 HP Prime 的几何学应用程序，进行实验探究，将原四边形再次一
9、般化，猜想出一般 性结论； 2. 学生的思维经历从一般到特殊，再从特殊到一般的归纳方法，同时运用分类讨论思想不断 修正和完善猜想，培养学生思维的缜密性； 3. 学生借助 HP Prime 的几何学应用程序，从运动变化中感受不变的数学规律，再到运用逻 辑推理探究其不变的数学本质，数学思维水平发生飞跃； 【探究四】类比探究【探究四】类比探究 例 2：已知：四边形 ABCD 中，I,N,M,L 分别是 AB、AC、CD、 BD 的中点， 依次将 I,N,M,L 四点连接， 四边形 INML 是什么四 边形？ 1. 改变当四边形 ABCD 的形状， 其相应的四边形 INML 还会 是一般平行四边形或特
10、殊的平行四边形吗？ 2. 你能设计出四边形 ABCD，使四边形 INML 是特殊的平行 四边形吗？ 请仿照例 1 的探究过程，对例 2 展开探究，并把探究结果记录在学案上。 设计意图设计意图 1. 类比例 1 的探究过程，对例 2 提出猜想、验证猜想、修正猜想、得出结论，体验合情推理 的一般过程，培养学生科学研究的意识，提高学生数学素养. 2. 教师创设一个开放的学习活动，给学生足够的时间“做”和“思考” ，学生在数与形，数 与点的相互印证中，在静与动的巧妙结合中，促进形象思维与抽象思维共同发展，通过小 组成员间的独立思考和交流合作，完成对知识的自主建构，加深对知识理解。 【探究五】追根溯源【
11、探究五】追根溯源 例1和例2之间有什么联系？ 本节课你有什么收获？ 设计意图设计意图 1例 2 是例 1 的变式，通过 HP Prime 的几何学应用程序的动态演示，让学生意识到，例 1 和例 2 仅仅是点的位置发生改变，实质是一道题，因此结论也具有相似性。 2鼓励学生反思学习过程，体会细心观察、大胆猜想、勤于思考、勇于探索的学习历程，学 会透过现象看本质，从运动的观点发现题目之间的内在规律，从不同角度思考问题、创造性 的提出自己的问题，将数学学习提升到一个新的高度。 五五、教学教学的实施与的实施与反思反思 本节课因为 HP Prime 的技术手段，为学生提供了从数、形、动、静等多角度研究数学
12、 的广阔平台，能够使学生头脑中的“数学实验”变为现实，对培养学生数学思维品质的培养 起重要作用。 首先学生借助HP Prime的几何学应用程序， 不断尝试将例1中一般四边形ABCD特殊化， 不仅开拓了学生思维的广阔性， 还让学生感受到不变的数学规律， 促使学生继续更深入的思 考，对学生克服思维的肤浅性，理解其中蕴含的数学本质，培养思维的深刻性大有益处。 对于例 2 这道新问题，学生通过 HP Prime，自主探索、动手实践，一方面帮助学生将 头脑中的思维过程在图形计算器上得以显示和验证，即“思维可视化” ，另一方面，学生通 过 HP Prime 的操作，可以启发思维、促进思维、开拓思维，进而培养学生思维的创造性。 利用 HP Prime 充分的让图形动起来，是研究图形，获得发现的一种重要方法，图形的 运动将例 1 和例 2 联系在一起， 不仅让学生能直观的感受到图形之间的内在联系， 促使学生 不断产生新的思考，还培养了学生思维的灵活性。 科学合理地利用 HP Prime，可以充分发挥信息技术的优势，为学生开拓观察、思考、 归纳、 猜想的空间， 使学生有更多的时间和机会从事高水平数学思维、 理解数学本质的活动， 促进学生良好思维品质形成。
