1、全国初中数学优秀课一等奖作品全国初中数学优秀课一等奖作品 教学设计，课例点评精品模板（一）教学设计，课例点评精品模板（一） 目目 录录 用配方法推导一元二次方程的求根公式课例点评用配方法推导一元二次方程的求根公式课例点评 用配方法推导一元二次方程的求根公式是公式法解一元二次方程的必备知 识，是本章基本内容之一。根据课标要求，本课例教师恰当地选择了“问题式” 教学， 突出体现了新课程所倡导的学习方式，在学习活动中学生不仅获得了知识 技能、思想方法，还培养了学生学习的自信心。这样的设计既符合九年级学生的 认知规律，又符合数学学科的特点。 1.注重研究思路、研究方法的教学注重研究思路、研究方法的教学
2、 学生通过类比用配方法解数字系数的一元二次方程的基本思路， 知道研究配 方法字母系数的一元二次方程的基本思路；通过对公式结构的探讨，既为公式的 学习起到引领的作用，又为学生的学习积累了经验。在对配方法解法的复习，公 式法的总结及公式的推导过程中， 体会研究方程及数学通式通法的基本思路和基 本方法。 2.教学环节清晰，教学过程完整教学环节清晰，教学过程完整 整节课从思维递进的角度可分为五个环节： 配方法解方程的基本步骤推导 公式的必要性得出公式欣赏公式公式的应用。环节设计、层次安排，符合 学生认知规律， 环环相扣。 教学环节清晰， 层层递进其中， 既有配方的技能培养， 也有转化等基本数学思想的渗
3、透，既有程序性知识的学习，也有化新问题为旧知 识的策略方法的获得，使学生不但学会了用配方法推导一元二次方程求根公式， 而且掌握了（感受到）一些探究新知的方法。 3.关注数学思想、数学方法的教学关注数学思想、数学方法的教学 通过将一元二次方程一般形式配方求解，对字母部分的符号讨论，进一步提 高学生的抽象概括能力和语言表达能力； 通过将一元二次方程配方得到一元一次 方程，进而求解，体会转化思想. 4.教师认真钻研课标，研读教材内容教师认真钻研课标，研读教材内容 对教材的研究意义在于， 它源于学习内容， 又高于学习内容、 活于学习内容。 就求根公式推导的各种方法而言，并不是少数尖子生的专利，于是在难
4、点解决的 同时，一个探究性活动的设计伴随而生。这样可谓是一箭双雕：从教材组织的角 度弥补了教材留下的空白，从教学设计的角度表现为探究性学习。充分挖掘教材 所蕴含的具有创新教育的内容，对教材内容做进一步地研究和推广，并提出异于 教材中的处理方法，是教师提高自身素质和不断提高创造性教学能力，合理选择 猜想、 讨论、 变式推广、 多角度思考、 批判反思等方法进行有效教学的重要途径。 用配方法推导一元二次方程求根公式评析 评析人：孟庆贵 张丽 用配方法推导一元二次方程的求根公式这节课意在通过学生配 方，感知一元二次方程中系数与根之间的联系。课标中只要求学生会 解数字系数的方程，对字母系数的方程没有要求
5、。另外，分式运算、 二次根式化简也是学生感到困难的地方。因此，不少老师会把这节课 讲成“老师讲，学生听，从而被动接受求根公式”的授课模式。 吴颖老师这节课让学生充分的参与课堂教学， 真正把课堂还给学 生，注重求根公式的推导过程。从学生已有的知识结构和认知结构入 手，进行教学设计。问题设计由简到繁、由易到难、由具体到抽象， 使不同层次的学生在课上都能获得成功的喜悦。 一、一、 结合诊断分析，合理设计教学结合诊断分析，合理设计教学 在讲授这节课之前，首先对已经学习求根公式的学生进行了调 研，发现绝大多数学生不会用配方法推导一元二次方程求根公式，对 学习求根公式的意义不理解。只觉得背求根公式麻烦，容
6、易记混淆， 因此在解题时部分学生不愿意用求根公式解题。 吴颖老师在调研的基 础上，进行了详细的分析，发现了学生学习中存在的主要问题，同时 对所任教班级学生的基础知识、思维特点、探究意识等方面进行了认 真的分析，根据学生的具体情况和教学内容特点合理设计教学。学生 动脑、动手，感受学习求根公式的意义，让学生知道“为什么学？” 。 教学环节的设计以及教学问题的提出符合学生的知识结构和认知规 律，符合因材施教原则。 二、二、 抓住数学本质，提升数学素养抓住数学本质，提升数学素养 数学教学的根本是公理化和程序化， 本节课是将一元二次方程的 求解过程程序化。 教学中吴老师引导学生不断将一元二次方程系数一
7、般化。首先让学生自己编写一个数字系数的一元二次方程，小组合作 确定求解，然后小组展示交流，让学生体会编写题目的系数不同，求 解的结果就不同，甚至有的题目无解。感受方程系数直接影响方程根 的情况。然后带领学生把方程系数逐步一般化，使方程中出现一个字 母系数、两个字母系数直至三个字母系数的情况。为了不增大难度， 吴老师把其他系数规定为 1。然后把题目分成一星、二星、三星, 让学生自由选择用配方法解题。 使不同层次的学生都能获得成功的喜 悦。同时也为方程中含有 a、b、c 三个字母的一般方程配方推导做好 铺垫。 整个教学设计由易到难， 由简到繁， 有具体到抽象， 层层深入。 教师不断引导学生认识到程
8、序化的优势，减少做重复性的工作， 使学生逐步认识学习求根公式的必要性和价值，抓住了数学的本质， 提升了学生的数学素养和思维品质。 三、三、 教师甜美亲和，教学自然流畅教师甜美亲和，教学自然流畅 这节课整体感觉是教师在不断与学生沟通交流中完成教学任务 的。吴老师自始至终是在组织、倾听、质疑、提问。教师的教学状态 甜美，语言非常具有亲和力。在尊重学生人格的基础上更加尊重学生 的思维。小组合作学习落到实处，有“民主”有“集中” ，突出学生 的主体地位。为了使每个同学都积极地，有效地参与到学习中去，使 本来枯燥乏味的教学内容变得有趣。 教师在教学中设计了学生自己编 题与小组为单位自主选题，然后展示、交
9、流相结合。激发学生学习的 主动性，提高学生数学学习的兴趣，发挥学生的主体作用。 总之这节课的设计符合新课标的教学理念， 关注了学生的认知规 律，调动了学生数学学习的主动性。 用配方法推导一元二用配方法推导一元二次方程的求根公式课堂教学设计说明次方程的求根公式课堂教学设计说明 沈阳市第七中学沈阳市第七中学 韩丽坤韩丽坤 一、教学内容解析 2011 版课标指出：理解配方法、能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元 二次方程； 能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等； 了解一 元二次方程根与系数的关系。 一元二次方程的解法具有多样性和复杂性， 需要针对不同的问 题，选择
10、不同的方法，简洁有效地完成方程的求解，这对培养学生数学思维的合理性、深刻 性和灵活性，都具有重要的作用。 我认为引导学生自主推导一元二次方程求根公式是十分必要的， 因为所有的一元二次方 程都可以用配方法求解，所以这是一个通法，有规律可循如果我们不抽象、概括出一个数 学模型，那么每次都要做重复性的工作。抽象、概括正是数学学习留给学生的数学思维品质 和方法求根公式的推导运用了配方法，其基本思想是降次，通过配方法转化为可直接开平 方的形式，推导过程中还涉及分类讨论、化归的数学思想。另外推导求根公式的教育价值也 是突出的。 在本课教学设计中我将教学内容定位为运用从一般到特殊的研究问题的方法， 引导学生
11、 类比于数字系数的一元二次方程自主探索一元二次方程的求根公式。 在对公式进行推导时加 强推理的严谨性， 发展学生的逻辑思维能力同时注重学生对基本数学思想分类讨论、 化 归的思想的理解。 基于教学内容特殊的地位和作用， 本节课的教学重点确定为： 一元二次方程求根公式的 推导及其简单运用。 二、教学目标设置 对教学内容的重新整合和思考，我将本节课的教学目标设置为： 1.利用配方法解一元二次方程为基础， 推导并掌握一元二次方程的求根公式。 会运用求 根公式进行求解一元二次方程简单的计算。 2.经历由配方法推导求根公式公式的推导、表述的过程，体验“从特殊到一般”的研究 问题的方法，体会转化、分类、类比
12、的数学思想。 3.培养学生数学推理的严密性和逻辑性以及主动探究的精神与积极参与的意识。 感受公 式的对称美、简洁美。让学生敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解 决问题的成功体验， 有学好数学的自信心； 并能培养学生良好的个性品质， 包括“大胆猜想， 勇于探索，合理表达”的创新精神。 三、教学问题诊断分析 1.对于 ax 2+bx+c=0（a 0)配方法配成 或者 acbbax4）2（ 22 的形式,在的形式中需要先将二次项的系数化为 1 后，再继续配方。 而 acbbax4）2（ 22 则需要先将一般式两边先乘以 4 后，再进行配方。这里体现了 配方的形式不唯一性，但是解相同
13、。也就是说，一般式不同的方程解可以相同。此处注意引 导学生思考问题的全面性和灵活性，培养学生的发散思维。 2.在开平方得时非负数开方时的双解问题， 对于 刚入九年级的学生来说是一个易错点 ，尤其是加以分类讨论学生们就更是含混不清了，注 意区分平方根与算术平方根。而此题中的绝对值外加正负号，由 a 的正负，结果共有四种情 况，综合后有两种相同的结果。强调理解的来历，必要时提示学生，易于学生的理解。 3.或 acbbax4）2（ 22 ，在开平方时不分类讨论。对于九 年级的学生来讲，用数字的时候还是多余字母，尽管他们在七年级学习了代数式，但是思想 中，还是把数理解为小学时根深蒂固的正整数，对于分数
14、能理解的好一点，对于负数总是他 们思维的一个截点，难于跨越。运用开方时，学生们总会理所当然的认为被开方数是正数， 此时要一道更正孩子们的做法。 4.在求根公式进行深入理解时，学生考虑不全面。 分步骤运用公式法 （1）首先确定 a，b，c 的值 。是指要求化成一般式后再确定。但一般是不唯一，常用 较为简洁的形式。它向我们展现了数学的简洁美。 （2）计算 acb4 2 ， 由此判断方程是否有根。 （3）当有根时，运用求根公式求解，有根一定是两个，相同或者不同的 两个根；无根时，直接写此方程无解。 综上所述，确定本节课的教学难点是公式的推导。 四、教学支持条件分析 1. 教学方法的选择 本节课我将采
15、用“启发探究式”及“合作交流学习”的教学方法，由初中学生的心理 特点确定自主探索式的学习方式。 2. 教学情境的设计 一元二次方程公式的推导是通过配方的方式， 所以本节课的导入情景是设计了用配方法 解方程。所出示的题目用配方法解起来较为复杂，进而给学生抛出问题，有没有更简单的方 法解这样的方程，导入新课。 3. 教学中的问题设计 从直接开平方解一元二次方程出发，先提问形如 ax 2 的方程，解是什么情况的。又 提问配方法解方程的步骤， 最后追问你是否能用配方法求解的 根？ 4. 教具的设计和使用：计算机、投影。 五、教学过程设计 （一）创设情境，引入新课 问题 1. 你能快速说出方程的解吗？
16、问题 2.用配方法解下面的方程： （1）6x 2- 7x+1=0 （2）2x 2- 4x+3=0 问题 3.通过解上述两方程，你觉得配方法有哪些优势和不足？你发现了哪些问题？ 设计意图设计意图 1. 复习用配方法解数字系数的一元二次方程的相关知识，这为后续公式的分类讨论打 3x3( 0 x (2) 31x1 2 2 2 ） ）（ )0(0 2 acbxax 下基础，同时引导学生经历总结归纳的过程。 2. 与公式法有实质性联系的内容是前一节所学的配方法，教师以此为新知识生长点呈 现练习题： 用配方法解上述两方程， 既激活了学生头脑中与新知识密切相关的已有知识经验， 又巩固了配方法。 使学生认识到
17、每一个数字系数的一元二次方程都可用配方法来求解， 并且 用配方法解具体一元二次方程的思路及步骤都相同， 同时体验到配方法的局限性， 即形如 （1） 的一元二次方程，一次项系数不是 2 的倍数或数字较大时配方运算较繁琐、用起来不方便。 方程（2）配方后完全平方式为负数，原方程无实数根却花费时间配方，由此产生疑难和困 惑，感悟到具体的配方法已经不够用了。 （二）交流对话，探索新知 1.公式的推导与发现 问题 3.能否有更简便和更一般的方法求一元二次方程的根？ 问题 4.对一般形式的一元二次方程如何配方？你打算如何思考？能否类比前面的研究 方法？请用配方法自主探索一元二次方程的求根公式。 师生活动：
18、学生自主探究，尝试推导。两名学生板演，教师巡视。 设计意图设计意图 1.在使学生体验到一般形式配方必要性的基础上，类比数字系数的一元二次方程的配 方法，引导学生对一般形式进行配方； 2.在学生未考虑判别式的符号直创设教学情境，引发数学命题学习的需求得到求根公 式时，教师运用启发性提示语给予暗示，从而形成恰当程度的认知冲突，使学生产生了新的 疑难和困惑，引发其深层思维和探索兴趣，并认识到对 b2- 4ac 需要进行分类讨论。同时使 求根公式由潜在发展水平转化为学生的现有发展水平， 又为一元二次方程根的判别式与根的 关系这一新的潜在发展水平做了铺垫，使学生进入新的最近发展区。 2.公式的理解 问题
19、 5.观察公式你有哪些发现，从数学的角度谈一谈？对今后解一元二次方程有什么 帮助? 师生活动：学生讨论交流，教师适时点拨。 设计意图设计意图 通过讨论加深对求根公式的理解，一元二次方程 )0(0 2 acbxax 的根由方程的系 数 a，b，c 确定，同时让学生进一步感受到数学公式、方法的简洁美和统一美。理解一元 二次方程求根公式中各字母代表的意义及条件， 把握公式的结构特征， 突出数学问题的本质。 （三）应用新知，体验公式 1.试一试 用求根公式解前面的方程：6x 2- 7x+1=0. 设计意图设计意图 回到情境中的练习，运用求根公式解方程 6x2- 7x+1=0，使学生体会到求根公式的优越
20、 性，感悟科学的研究方法是发现问题、提出问题和解决问题。 2.解一解 （1）6y 2+13y+6=0 （2）5x+2=3x 2 （3）x(x- 2)=5- 8x 思考： 由以上解方程的过程，你能总结一下使用公式法解方程的步骤吗？ 设计意图设计意图 1.使学生进一步体味求根公式的实质，并归纳用求根公式解一元二次方程的基本思路， 即先化简为一元二次方程的标准形式再运用求根公式。 2.概括出在用求根公式解一元二次方程时可先确定判别式的值再代入求根公式，从而丰 富和优化学生的认知结构。. （四）梳理小结，盘点收获 （1）回顾公式的探究推导过程，我们经历了怎样的思考过程？ （2）公式法的优点是什么？ （
21、3）使用这个公式的步骤有哪些？ 建立开平方法、 配方法与求根公式法的内在联系， 使学生感悟化归思想和分类讨论思想。 求根公式法 配方法 开平方法 用公式时先考虑判别式的符号 化归的目标为降次 设计意图设计意图 引导学生建立知识之间的内在联系，概括本节课的核心知识及运用的数学思 想和研究方法，旨在使学生生成组织良好的数学认知结构网络。 （五）延伸思考，提升层次 编一编 请每组尝试编出一两个一元二次方程， 并探讨它的解法， 然后大家评价一下看谁编出的 题更具有数学味道，具有数学思维价值。 （六）推荐作业，巩固拓展 （1）基本作业：从课本习题中自选取6道题求解。 （2）开放作业：选取一种方法练习推导
22、求根公式。 六、目标检测设计 本节课我设计了两个层次的进行目标检测， 第一层次：解方程（1）6y 2+13y+6=0（2）5x+2=3x2 （3）x(x- 2)=5- 8x 设计意图设计意图 强化学生运用公式法解一元二次方程。 提示学生方程的未知数不一定都是 x,这里的未知 数就变成了 y.同时运用公式法就要知道 a,b,c 的值，对于不是一般形式的一元二次方程要转 化成一般形式的一元二次方程，从而确定 a,b,c 的值。同时强化学生运用公式进行计算的能 力，并注意书写的规范性。 本组三道题是通过小组竞赛的方式进行的， 这样的设计既激发了学生的学习兴趣， 又巩 固当堂所学，课堂效果很好。 第二
23、层次：编一编 请每组尝试编出一两个一元二次方程， 并探讨它的解法， 然后大家评价一下看谁编出的 题更具有数学味道，具有数学思维价值。 设计意图设计意图 师生共同编题，使用了有效的激励手段，有的题目可以用多种方法来解，本活动具有归 纳总结、承上启下的作用。 “用频率估计概率（第用频率估计概率（第 1 1 课时）课时）”课例点评课例点评 点评人：学校数学教研组、县数学名师、专家 总体评价： 整堂课教师以自己独到的处理教材的见解和方法为基础， 以多媒体课件为辅 助教学手段，以教师的组织、引导、参与为依托，以学生的积极动手、动口及合作交流为主 线来构建本课时的教学模式，引导学生探索，启发学生思维，注重
24、学法指导，促进学生的有 效学习，表现出教师独特的教学风格和教学智慧，达到了预想的教学效果，是一节成功的课 例。 具体说来，本节课具有以下几个突出优点： 一、本节课，教师能对教材进行“深加工” ，创造性的使用教材，体现了用“用教材教” 而不是“教教材”的理念。比如情境问题的创设、历史数据折线统计图的呈现、方法设计、 达标习题的选择等无不体现这一点。 二、本节课四维目标明确，教学脉络清晰，重点突出。这样的教学设计能使学生深刻的 意识到： 你想知道随机事件发生的概率吗？你就去反复实践吧！ 通过大量的重复试验你就会 找到它发生的规律。无形中教给学生一种求随机事件发生的概率的方法。 三、在新课引入中，教
25、师注重问题情境的创设，通过学生熟悉的天安门广场的图片，以 国庆旅游为背景，集中了学生的注意力，激发了学生的学习兴趣，又自然、贴切的引出了问 题，引发了学生的数学思考。 四、本堂课，教师能以“问题串”为导向来设计教学环境，不断地向学生提供参与数学 活动、数学思考的机会；能走到学生中去，及时地在操作方法、思维方式和思路拓展上帮助 学生进行有效的合作学习；能舍得给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，使 教学活动成为师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，很好体现了“学为主体，教为主 导”的教学理念。 五、 过程与结果的关系处理恰当。 为了使学生明白大量的重复试验频率趋近于理论概率 这一事实
26、，教师能根据学生已有的经验和认知基础，设置恰当的试验过程，发动全体学生积 极参与，动手实验，收集数据，引导学生对试验数据进行分析、发现、归纳和辨析，不仅关 注试验的结果，更关注了结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法，符合学生的认知规律。 六、处理预设和生成的关系处理合理，显示了一定的教学智慧。能大胆放手，给学生广 阔的思考空间，对学生的新思想，没有盲目否定，没有只停留在学生的表达层面；针对一个 问题，教师能巧妙地将学生的不同看法、不同角度观点融合到一起，使学生感觉到最好的答 案有他的智慧结晶，让每一个学生都感到自己在学习中的重要，调动了学生的参与意识。 七、本节课能恰当使用多媒体，有效地改进教与
27、学的方式，借助历史数据绘制的折线统 计图，直观、清晰地向学生呈现出，大量的重复试验时，随着试验次数的增加，频率趋近于 理论概率的规律，很好地突破了教学中的难点。 八、本节课 ，渗透了“从特殊到一般” 、 “数形结合” 、 “类比-猜想-归纳” 、 “模型思想” 等数学思想，渗透了数学史的教育，有利于提高了学生的数学素养。 九、能给学生看书的机会，利用课本培养学生数学阅读能力和自学能力，真正将课本作 为了学生学习材料的来源，而不是仅作为教师自己讲课材料的来源。 十、注重学生个性发展。练习设计能承认学生的个体差异，注意练习梯度，使得不同层 次的学生都能获得成功的体验；利用板面和练习本进行当堂检测，
28、组长检查反馈问题、落实 效果也是本节课的一大亮点。在课堂上完成对所学内容的检测，减轻了学生的课业负担。 当然，本节课也有一些缺憾，有两点建议可供交流： 一、有些语言，还不够干练，还需课前认真组织。 二、 本节教学还存在着很多需要板书的知识点而没有板书， 原因是本节知识点不利于板 书，所需时间较长，需课前充分预设。但并不影响这堂课整体的美，因为教学永远是一种缺 憾的艺术。每个人都是在不断追求完善、不断在生成的缺憾中逐渐走向成熟，走近完美的。 “用频率估计概率（第用频率估计概率（第 1 1 课时）课时）”教学设计教学设计 甘肃省武威市民勤县蔡旗乡蔡旗中学 李达荣 一、内容和内容解析一、内容和内容解
29、析 内容：人教版义务教育教科书数学九年级上册“25.3 用频率估计 概率”第一课时。 内容解析： 不确定现象大量存在于自然界和人类社会中，概率正是对这种现象的一种 数学描述，它能帮助我们更好地认识不确定事件，并对生活中的一些不确定情况 做出决策。从数学课程标准（2011 版）看，概率初步这章属于“统计 与概率”领域。对于该领域的内容，一方面概率与统计相对独立，另一方面概率 又以统计为依托。本章自成体系与初中数学的前后联系不多，但有关概率教学的 三个部分：随机事件与概率、用列举法求概率、利用频率估计概率，他们相互依 托，关联性强。“用频率估计概率”是 “概率初步”这一章的第三节，是在学 生初步了
30、解概率的意义及会用概率的古典定义求一些简单等可能事件的概率之 后对概率的进一步研究。概率的古典定义相对简单，所涉事件的概率有确定的结 果， 学生易于接受， 而概率的统计定义其内涵更为深刻。 相对于概率的古典定义， 用频率估计概率的方法不受列举法求概率的两个条件的限制， 更具一般性与普遍 性，适用范围更广。大量重复试验的频率趋近于理论概率这一规律，将为以后利 用试验估计一些复杂的随机事件的概率起到承上启下的作用。 概率内容比较抽象，试验的不确定性、概率结果的唯一性，常常使学生感 到困惑。从随机现象中寻找规律，这对学生来说也是一种全新的观念，如果缺乏 对随机现象的丰富体验，学生很难建立起这一观念。
31、因此，教材设计了“抛掷硬 币”这样一个实验活动，意在丰富学生逐步对随机现象规律性的体验的同时，通 过抛硬币的实验表明：随机事件的发生既有随机性，又存在统计规律性，且其统 计规律体现在： 随机事件的频率-此事件发生的次数与实验总次数的比值具有 稳定性，即总在某个常数附近摆动，这个常数就叫做这个随机事件的概率。从而 对概率的认识和理解从感性认识向理性认识过渡； 从而在这个充满探索和自主体 验的过程中，学生将逐步学会数学的思想方法和如何用数学解决问题，获得了成 功的体验。 教学重点：对用频率估计概率的必要性和合理性的理解和应用。 二、二、学情解析学情解析 学生在小学对事件发生的可能性大小已经有了初步
32、的认识，有了在具体环境 中对可能性的体验。在七年级时学习了用全面调查、抽样调查的方法收集数据， 用简单的统计图表整理和描述数据，对统计活动的基本过程已经比较熟悉，有能 力开展试验活动、统计分析试验数据。在本章前两节的学习中，学生们也已经接 触了概率的古典定义， 能够在“结果有限和各种结果出现的可能性相等”的前提下 计算一些简单事件发生的概率。 学生已有的统计与概率知识为本节课的学习打下 了较好的认知基础。 在前两节的学习中，学生对概率的古典定义及其应用已经有了较为清晰的认 识，也感受到概率古典定义的适用面较窄。但是，如何去研究不能用列举法计算 的随机事件的概率，学生没有这方面的学习经历，这就需
33、要教师来引导。通过大 量的重复试验，可以把稳定在某个常数附近的频率作为事件发生的概率。 教师需 要引导学生体会统计概率的本质是估计，用频率估计概率的目的是为了解释现 象、解释生活，而不是为了得到一个准确的数值。 三、目标和目标解析三、目标和目标解析 （一）目标：了解用频率估计概率的必要性和合理性，初步理解概率的统 计定义； 能通过对事件发生频率的分析， 估计事件发生的概率并应用其解决问题； 培养学生的动手能力和处理数据的能力，培养学生的理性精神。 （二）目标解析： （1）知识技能： 理解每次试验可能的结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等 时， 利用统计频率的方法估计概率；知道大量重
34、复试验时频率可作为事件发生概 率的估计值。 （2）数学思考： 通过试验，使学生明白，在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事 件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率，进一步发展 概率观念；通过用频率估计概率的学习，认识数学在社会生活中具有重要作用。 （3）问题解决： 通过生活实例，进一步明晰频率与概率的区别与联系，了解用频率估计概率 的方法与列举法求概率的区别，能够通过对事件发生频率的分析，估计事件发生 的概率。 （4）情感态度： 在经历利用频率估计概率的学习过程中，培养学生的动手能力、处理数据的 能力，进一步增强统计意识、发展概率观念，同时培养学生实事求是的态度、勇
35、于探索的精神及交流与协作精神。 四、教学问题诊断分析四、教学问题诊断分析 （一）由于学生初学概率，且在此之前面对求概率的随机事件都是等可能 事件，对于一些结果不是等可能的随机事件（如：认为抛掷一枚啤酒瓶盖的结果 “凸面向上” 和“凹面向上”是等可能的）会仍然采取列举法，这类现象产生 的原因是对用列举法求概率的两个条件理解不够， 对事件发生的可能性大小分析 不透彻，受惯性思维的影响所致。 （二）频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性大小，频率既有随 机性（每人每次试验都是变化的），又有规律性（也就是稳定性），试验前不能 确定， 无法从根本上刻画事件发生可能性的大小， 只有在大量重复试验的条
36、件下， 可以近似地作为这个事件的概率。 概率是是频率在理论上的期望值，它是一个 确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关。频率与概率是从量变到质变，是 对立统一的. 初学统计概率的学生常常无法理解概率与频率的内在联系与区别， 有时会把两者混淆。 （三）容易忽略“大量重复试验”这个用频率估计概率前提条件。这一问题 的出现也是对概率思想的内涵把握不够所致。概率是针对大量重复试验而言的， 如果试验次数太少，试验频率可能会与理论概率值产生较大的偏差，进而不能合 理的估计概率。 （四）由于频率的随机性，试验计算的频率有可能明显地偏离了理论计算出 的概率值。 教学难点：对大量重复试验的频率趋近于理论概率规
37、律的理解，对频率与概 率之间关系的理解。 五、教学支持条件分析五、教学支持条件分析 （一）在本节教学时，教师不能过分强调结果的获得，教师应根据学生的认 知基础，设置恰当的试验过程，在试验的过程中逐渐体会到大量重复试验中，随 机事件发生的频率具有稳定性，可以用频率的稳定值作为概率的估计值，加深对 概率统计意义的理解。 为了尽可能减小用频率估计概率的误差，需要进行大量的 重复试验，课堂上运用模拟实验软件的统计功能提高试验数据分析的有效性， 使 学生感受结果的真实性，提高对知识的可信度，让学生明白概率这一概念是建立 在频率这一统计量的稳定性之上的,从而达到理解概率内涵的目的。 （二）教师在教学活动中
38、要设计和提出有效的问题，以问题为载体，给学生 提供学习思考的空间，来引导学生理解概率与频率的关系。加强对“大量重复试 验” 这个用频率估计概率前提条件的认识和对用频率估计概率的必要性和合理性 的理解。 （三）数据偏离太明显时，一方面，教师需要从试验的条件入手，引导学生 反思用频率估计概率的使用要求:在相同条件下；另一方面，教师还需要说明出 现这种情况是正常的，这正是随机事件随机性的体现，事实上，对试验结果的频 率与理论概率的偏差的理解也是形成随机观念的一个重要环节。 （四）在教学中，为促进学生的有效学习，学生的学法本节课倡导“合作探 究学习”，以小组试验与合作交流、归纳为主，注重学生的经历、感
39、受和体验； 教师采用点拨启发式、归纳总结式教法组织教学。 六、教学过程分析六、教学过程分析 （一）引入课题，明确目标 问题 1：问什么要用频率估计概率？ 复习旧知： 1.请用列举法计算下列两个随机事件的概率： 抛掷一枚质地均匀的硬币一次，正面向上。 抛掷一个质地均匀的骰子一次，向上的点数是 1。 2.用列举法计算随机事件的概率时,需要满足什么条件? 【设计意图】复习前两节的知识与方法，为本堂课的学习做铺垫。 引入课题： 出示天安门广场的图片。 师：国庆长假想不想身临其境去看看？。 引出问题：国庆期间，妈妈正好单位组织活动要去北京，张华和张明都闹着 要跟着去，但单位规定只能带一人，怎么办？于是，
40、妈妈想用抛掷啤酒瓶盖的办 法决定。抛掷一次，如果“凸面向上” 则带张华去，如果“凹面向上”则带张 明去。你觉得这样公平吗？为什么？ 学生先思考、讨论并动手抛掷一下啤酒瓶盖体验一下，然后发表看法。 学生充分交流后，老师对不同说法进行适当的评价，并借机强调用列举法求 概率的条件，引导学生分析“凸面向上”与“凹面向上”的可能性不相等，不能 用列举法来求概率. 师：那究竟有没有其它的办法求出凸面向上的概率呢？ 屏幕上闪烁显示： 做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖 1000 次，经过统计得“凸面向上”的频 率约为 0.44， 由此可以估计出抛掷这枚啤酒瓶盖出现 “凸面向上” 的概率为 0.44。 师：“频率
41、约为 0.44”是怎么算出的？ 师点出：由“凸面向上”的频率估计出 “凸面向上”的概率，这种方法实 际上就是用频率估计概率，引出课题。 【设计意图】从学生熟悉事物和实际出发引入，引发联想和类比，创设有助 于学生自主学习的问题情境，充分调动学生的学习积极性，大大的激发了学生学 习的热情；由啤酒瓶盖落地“凸面向上”与“凹面向上”的可能性不相等，不能 用列举法求概率，引发认知冲突，激起学生的探究欲导入新课。 引导学生明确学习目标。 【设计意图】以目标为导引，引领学生参与课堂学习，激发学生学习动机， 推动和促进学习活动，并能对自己的学习现状进行反馈，以便做出正确的评价和 适当的反馈。 （二）小组合作，
42、试验探究 问题 2：怎样用频率估计概率？ 师：抛掷一枚硬币正面（有数字的一面）向上的概率是 0.5，这个概率能 否通过统计很多次抛掷硬币的结果来得到呢？只做一次试验行不行？2 次行不 行？3 次呢？到底要做多少次呢？ 【设计意图】已知概率的情况下进行抛硬币试验，基于以下原因：（1）抛 掷硬币试验所需条件容易实现，可操作性强；（2）硬币试验历史上积累了大量 数据，更有利于问题的说明；（3）以学生熟悉的知识入手，通过这样一系列问 题： 用频率去估计概率这种方法是否可靠？是否合理？到底要做多少次试验，频 率值才能呈现出稳定性，用于估计概率时误差才比较小？引发学生思考，激发学 生试验探究的欲望和热情。
43、 掷硬币试验： （1）分组试验：把全班共分 9 个小组，每小组 4 人，每两人为一个试验小组 抛掷 35 次，每个试验小组有一位同学抛掷硬币，另一名同学做记录，抛掷完毕 组长统计本组正面向上的频数填入表 1。 （2）明确要求：抛掷时请将书本文具收入课桌内；两人合作，一人抛掷 一人画“正”记数，抛掷一次划记一次，“正面向上”一次划记一次；抛掷的 高度要达到自己坐姿的头顶高度，若硬币掉在地上，本次不作记录。 （3）小组统计：每个小组统计本组的试验结果，填在黑板表 1 中，统计全班 的试验结果，填在表 2 中。 （4）数据累加：根据表 2 填写表 3,将第 1 组数据填在第一列，第 1、2 组的 数
44、据之和填在第二列，9 个组的数据之和填在第 9 列，用计算器计算。 【设计意图】明确抛掷要求，强调“在相同条件下”使数据更真实有效； 合理分组， 分工明确， 可以减少劳动强度， 加快试验速度， 同时培养团队意识； 使用计算器既加快了统计进度又保证了结果的正确性， 同时为后续难点的突破 争取了时间。 根据上表的数据，在下图中标注出对应的点。 【设计意图】 图表的给出可以正确有效地引导学生在有限的课堂时间内高效 率地收集试验数据及整理描述数据，为分析数据做准备。试验的整个操作过程均 由学生参与完成，主动试验，收集数据，整理数据，分析结果，为寻求问题解决 主动与他人合作，知识的构建过程中促进了教学目
45、标的达成，整个过程真正实现 了“将课堂还给学生，把学习的主动权还给学生”的教学理念，将教师的主导地 位、学生的主体地位体现得自然而贴切。教师参与其中，关注学生的投入程度 能否积极、主动地从事各项活动，向同伴解释自己的想法，听取别人的建议与 意见；关注学生在活动中表现出的实践能力、思维水平、团队意识，真正成了学 生“学习的组织者、引导者与合作者。” （三）分析数据，构建新知 问题 3：分析试验结果及史上数学家大量重复试验数据，大家有何发现？ 分析数据： 全班在图 1 中标注对应点时，教师在黑板上绘制折线图，完成后教师提问： 随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在哪个数字的附近摆动？ 随着抛掷次
46、数的增加，摆动幅度如何变化的？ 史料佐证： 师：增加试验次数，又有什么新的发现，历史上有许多数学家为了弄清其 中的规律，曾坚持不懈的做了成千上万次的掷硬币试验.请打开课本我们一起来 看一些结果。（见课本 P143） 随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率变化趋势是什么？ 学生阅读、分析、交流、汇报、补充。 【设计意图】通过阅读、观察、分析历史数据，以史料佐证，为学生更清楚 的发现规律、总结规律提供帮助，让学生明白规律的呈现需大量的重复试验为前 提条件； 利用课本培养学生数学阅读能力和自学能力，真正将课本作为了学生学 习材料的来源，而不是仅作为教师自己讲课材料的来源。 多媒体出示历史数据绘制的折
47、线图（图 2）。 师：你发现的规律和折线图呈现的规律一致吗？ 【设计意图】 通过对历史数据统计表的分析再到用历史数据绘制的折线图进 行验证，数形结合，使学生感受到结果的真实性，提高对知识的可信度，从而提 高试验数据分析的有效性，让学生明白大量重复试验是频率估计概率的前提条 件，概率这一概念是建立在频率这一统计量的稳定性之上的,从而达到理解概率 内涵、突破难点的目的。 生总结。 学生总结：可以发现，一般的，随着抛掷次数的增加，频率呈现出一定的 _，在 0.5 附近摆动的幅度会越来越小。即：正面向上的频率_ 于 0.5。 你们认为出现的规律与试验次数有何关系？ （试验次数越多频率越接近 0. 5，
48、即频率稳定于概率.） 数学家为什么要做那么多试验？ 当“正面向上”的频率逐渐稳定到 0. 5 时，“反面向上”的频率呈现什么 规律？概率与频率稳定值的关系是什么呢？ 学生思考、汇报、补充。 师小结：至此，我们用计算频率的方法来得到硬币“正面向上”的概率. 【设计意图】问题串的设计，循序渐进，在头脑中再现了知识的形成过程， 让学生在真实的数据分析中形成数学思考，在讨论交流中达成知识的主动构建， 促使学生对概率的认识和理解从感性认识向理性认识过渡。 （四）合作释疑，揭示新知 问题 4：为什么可以用频率估计概率？怎样用频率估计概率？ 学生以小组为单位思考、讨论、交流、汇报。 【设计意图】引发学生的再思考，在头脑中再现了知识的形成过程，避免单 纯地记忆，使学习成为一种再创造的过程。 师总结：对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加， 一个事件出现的频率也总在一个固定数附近摆动，显示出一定的稳定性。 师：最早阐明了随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近的是瑞士的一位 数学家。 引出瑞士数学家雅各布
