1、 考纲展示 考情汇总 备考指导 圆锥曲线 了解圆锥曲线的实际背 景，了解圆锥曲线在刻画现 实世界和解决实际问题中的 作用 掌握椭圆的定义、几何图 形、标准方程及简单性质 了解双曲线、抛物线的定 义、几何图形和标准方程， 知道它的简单几何性质 理解数形结合的思想 了解圆锥曲线的简单应用. 2017 年 1 月 T6 2017 年 1 月 T19 2018 年 1 月 T13 2018 年 1 月 T16 2019 年 1 月 T15 2020 年 1 月 T19 本章的重点是圆锥曲线的 定义、方程与几何性质的 应用，难点是直线与圆锥 曲线的位置关系的综合应 用，解决本章问题，要注 意应用数形结合
2、的思想方 法，提升自己的运算求解 能力，并且对本章的习题 的选择不宜过难. 圆锥曲线的定义与方程 基础知识填充 1椭圆 平面内到两个定点 F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭 圆这两个定点 F1，F2叫作椭圆的焦点，两焦点 F1，F2的距离叫作椭圆的焦距 集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常 数； (1)若 ac，则集合 P 为椭圆； (2)若 ac，则集合 P 为线段； (3)若 ac，则集合 P 为空集 2双曲线 平面内到两定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的 点的集合叫作双曲
3、线这两个定点 F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离 叫作双曲线的焦距 集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a，c 为常数且 a0，c 0. (1)当 2a|F1F2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当 2a|F1F2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当 2a|F1F2|时，P 点不存在 3抛物线 平面内与一个定点 F和一条定直线l(l 不过 F)的距离相等的点的集合叫作抛物 线点 F 叫作抛物线的焦点，直线 l 叫作抛物线的准线 学考真题对练 1(2017 1 月广东学考)顶点在原点，准线为 x2 的抛物线的标准方程是 ( ) Ay28x By28x Cx2
4、8y Dx28y A 由准线方程 x2 可知焦点在 x 轴上，p 22p4，由 y 22px 可得 y28x. 2(2018 1 月广东学考)设点 P 是椭圆x 2 a2 y2 41(a2)上的一点，F1，F2 是椭圆 的两个焦点，若|F1F2|4 3，则|PF1|PF2|( ) A4 B8 C4 2 D4 7 B |F1F2|4 32cc2 3，a2c2b2(2 3)2416a4， |PF1|PF2|2a248，故选 B 1.求圆锥曲线的方程时多用定义法和待定系数法，利用定义确定形状时，一 定要注意定义的实质，如椭圆时 2a|F1F2|. 2求圆锥曲线标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程
5、是先定形，后定 量，即先确定焦点所在的位置，然后根据条件建立关于 a，b 的方程组如果焦点 位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了方便，也可设方程为 mx2ny21 的形 式 3对求抛物线的标准方程，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类 型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛 物线的标准方程 最新模拟快练 1 (2019 珠海市学考模拟)椭圆 x2 25y 21 上一点 P 到一个焦点的距离为 2， 则 点 P 到另一个焦点的距离为( ) A5 B6 C7 D8 D 设椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，|PF1|2， 结合椭圆定义|PF2|PF1|1
6、0，可得|PF2|8. 2(2019 深圳市学考模拟)若方程y 2 4 x2 m11 表示双曲线，则实数 m 的取值 范围是( ) A1m1 Cm3 Dm0，即 m1. 3(2019 韶关市高二期末检测)已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)，点 P(2,0)在 椭圆上，则椭圆的方程为( ) Ax 2 4 y2 31 Bx 2 4y 21 Cy 2 4 x2 31 Dy 2 4x 21 A c1，a1 2( 21 20 2120)2，b2a2c23， 椭圆的方程为x 2 4 y2 31. 4(2018 佛山市高二期末)动点 P 到点 M(1,0)，N(1,0)的距离之差的绝对值 为 2，则点
7、P 的轨迹是( ) A双曲线 B双曲线的一支 C两条射线 D一条射线 C |PM|PN|2|MN|，点 P 的轨迹是两条射线 5(2019 广州市学考模拟)以 F(1,0)为焦点的抛物线的标准方程是( ) Ax4y2 By4x2 Cx24y Dy24x D 抛物线焦点为 F(1,0)，可设抛物线方程为 y22px(p0)，且p 21， 则 p2，抛物线方程为 y24x. 6 (2018 广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)已知直线 x2 交椭圆x 2 25 y2 211 于 A，B 两点，椭圆的右焦点为 F 点，则ABF 的周长为 20 椭圆x 2 25 y2 211，所以 c 2a2b22
8、5214，又直线 x2 经过椭圆 x2 25 y2 211 的左焦点 F1，且椭圆的右焦点为 F，由椭圆的定义可知，ABF 的周长 为 AFBFABAFAF1BFBF14a4520. 圆锥曲线的几何性质 基础知识填充 1椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 性质 范围 axa byb bxb aya 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0) 轴 长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的
9、长为 2b 焦距 |F1F2|2c 离心率 ec a(0,1) a，b，c 的关系 a2b2c2 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 图形 性质 范围 xa 或 xa，yR xR，ya 或 ya 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(a,0)，A2(a,0) A1(0，a)，A2(0，a) 渐近线 y b ax y a bx 离心率 ec a(1，) 实虚轴 线段 A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a 叫作双曲 线的实半轴长
10、，b 叫作双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2a2b2(ca0，cb0) 知识拓展 巧设双曲线方程 (1)与双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为 x2 a2 y2 b2 t(t0) (2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2 m y2 n1(mn0) 3抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y22px (p0) y22px (p0) x22py (p0) x22py (p0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y0 x0 焦点 F p 2，0 F p 2，0 F 0，p 2 F 0，p 2 离心率 e1 准
11、线方程 xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 知识拓展 (1)抛物线 y22px(p0)上一点 P(x0， y0)到焦点 F p 2，0 的距离|PF|x0 p 2， 也 称为抛物线的焦半径 (2)y2ax 的焦点坐标为 a 4，0 ，准线方程为 x a 4. 学考真题对练 1(2019 1 月广东学考)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的长轴为 A1A2，P 为椭圆的 下顶点，设直线 PA1，PA2的斜率分别为 k1，k2，且 k1k21 2，则该椭圆的离心 率为( ) A 3 2 B 2 2
12、 C1 2 D1 4 B P(0，b)，A1(a,0)，A2(a,0)，k1 b0 0a b a，k2 b0 0a b a，k1k2 b 2 a2 1 2，令 a 22，b21，c2a2b21，ec a 1 2 2 2 . 2(2018 1 月广东学考)双曲线x 2 9 y2 161 的离心率为 . 5 3 由已知，得 a 29a3，b216， c2a2b291625c5，双曲线的离心率为 ec a 5 3. 3(2020 1 月广东学考)设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，过 F2作椭圆长轴的 垂线交椭圆于 A， B 两点， 若AF1B 为等边三角形， 则该椭圆的离心率为 3 3 设点 A
13、在 x 轴上方，坐标为 c，b 2 a ， AF1B 为等边三角形， 2a3b 2 a ，即 2a23(a2c2)， 故椭圆的离心率 ec a 3 3 故答案为 3 3 1.研究椭圆几何性质的关键 根据椭圆方程计算椭圆的基本量时，关键是将所给方程正确地化成椭圆的标 准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个轴上，从而求出 a，b，进而求出 椭圆的其他有关问题 2与双曲线几何性质有关的求法 (1)双曲线的离心率的求法 依据题设条件，将问题转化为关于 a，c 的等式，解方程即可求得 (2)双曲线的渐近线方程的求法 依据题设条件，求双曲线中 a，b 的值或 a 与 b 的比值，进而得出双曲线的渐 近
14、线方程 最新模拟快练 1(2019 佛山市学考模拟)双曲线 3x2y23 的渐近线方程是( ) Ay3x By1 3x Cy 3x Dy 3 3 x C 双曲线方程可化为标准形式：x 2 1 y2 31，a1，b 3，双曲线的渐 近线方程为 y b ax 3x. 2(2018 茂名市学考模拟)椭圆y 2 9 x2 41 的焦点坐标是( ) A(0， 5) B( 5，0) C(0， 13) D( 13，0) A c2945，故焦点坐标为(0， 5) 3(2019 广州市学考模拟)抛物线 y2x 的准线方程为( ) Ax1 4 Bx1 4 Cy1 4 Dy1 4 B 抛物线 y2x 的开口向右，且
15、 p1 2，所以准线方程为 x 1 4. 4(2019 河源市学考模拟)已知抛物线 x24y 上的一点 M 到此抛物线的焦点 的距离为 2，则点 M 的纵坐标是( ) A0 B1 2 C1 D2 C 根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为 y1，根据抛物 线定义，得 yM12，解得 yM1. 5 (2019 惠州市高二期末检测)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0)， 离心率等于3 2，则双曲线 C 的方程是( ) Ax 2 4 y2 51 Bx 2 4 y2 51 Cx 2 2 y2 51 Dx 2 2 y2 51 B 依题意得， c3， e3 2， 所以 a2，
16、 从而 a 24， b2c2a25， 故选 B 6(2020 广东学考模拟)点 M(2,0)到双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)渐近线的 距离为 1，则双曲线的离心率为( ) A2 B4 3 C2 3 3 D4 C 双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)渐近线方程为 y b ax，即 bx ay0， 点 M(2,0)到双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)渐近线的距离为 1， 2b a2b21，a 2b24b2， a23b23(c2a2)， 4a23c2，即 2a 3c， ec a 2 3 2 3 3 ，故选 C 7 (2018 广东省普通高中学业
17、水平测试数学模拟测试卷(考前压题篇)已知 F1， F2为椭圆 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，若|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则 C 的离心率为 . 1 2 |PF1|， |F1F2|， |PF2|成等差数列， 2|F1F2|PF1|PF2|2a， 即 4c2a， ec a 1 2. 圆锥曲线的综合问题 基础知识填充 圆锥曲线的综合问题 (1)直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元方程： ax2bxc0(或 ay2byc0) 若 a0，可考虑一元二次方程的判别式 ，有 .0直线与圆锥曲线相交； .0直线与圆锥
18、曲线相切； .0直线与圆锥曲线相离 若 a0，b0，即得到一个二元一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 E 相交， 且只有一个交点， .若 E 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； .若 E 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合 (2)圆锥曲线的弦长 设斜率为 k(k0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点， 则|AB| 1k2|x2x1|1 1 k2|y2y1|. 最新模拟快练 1(2018 珠海市学考模拟题)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ，短 轴一个端点到右焦点的距离为 2
19、. (1)求该椭圆的方程； (2)若 P 是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求PF1 PF2 的最大值与最小值 解 (1)设椭圆的半焦距为 c，由题意c a 3 2 ，且 a2，得 c 3，b1， 所求椭圆方程为x 2 4y 21. (2)设 P(x，y)，由(1)知 F1( 3，0)，F2( 3，0)， 则PF1 PF2 ( 3x，y) ( 3x，y) x2y23x2 1x 2 4 33 4x 22， x2,2，当 x0，即点 P 为椭圆短轴端点时， PF1 PF2 有最小值2；当 x 2，即点 P 为椭圆长轴端点时，PF1 PF2 有最大 值 1. 2(2019 深圳
20、市高二期末检测)已知定点 C(1,0)及椭圆 x23y25，过点 C 的动直线与椭圆相交于 A，B 两点，在 x 轴上是否存在点 M，使MA MB 为常数？ 若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 解 假设在 x 轴上存在点 M(m,0)，使MA MB 为常数设 A(x1，y1)，B(x2， y2) 当直线 AB 与 x 轴不垂直时，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y k(x1)， 将 yk(x1)代入椭圆方程 x23y25， 消去 y 整理， 得(3k21)x26k2x 3k250. 则 36k443k213k250， x1x2 6k2 3k21， x1x23k 2
21、5 3k21. 所以MA MB (x1m)(x2m)y1y2 (x1m)(x2m)k2(x11)(x21) (k21)x1x2(k2m)(x1x2)k2m2. 将上式整理，得MA MB 6m1k 25 3k21 m2 2m1 3 3k212m14 3 3k21 m2m22m1 3 6m14 33k21. 注意到MA MB 是与 k 无关的常数，从而有 6m140，解得 m7 3，此时 MA MB 4 9. 当直线 AB 与 x 轴垂直时，此时点 A，B 的坐标分别为 A 1， 2 3 ， B 1， 2 3 ， 当 m7 3时，亦有MA MB 4 9. 综上，在 x 轴上存在定点 M 7 3，0 ，使MA MB 为常数 抛物线焦点弦问题的解法 (1)由于抛物线的焦点弦过焦点，因此与焦点弦有关的问题要注意结合抛物线 的定义求解 (2)与焦点弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立，再结合根 与系数的关键求解 (3)求焦点弦的长度可以利用两点间的距离公式，也可以利用弦长公式，但由 于弦过焦点，结合抛物线的定义得出焦点弦长为 x1x2p，同时由弦长 x1x2p 2 x1x2p2p 知，通径是所有弦中最短的弦
