1、机械控制工程基础补充材料 拉普拉斯变换第一节 拉普拉斯变换的概念一、 主要应用1、 建立传递函数概念，以便于分析系统的动静态特性2、 求解系统的微分方程，得出时间响应。二、 拉普拉斯变换的数学表达式 定义：设函数当时有定义，且广义积分在s的某一区域内收敛，则由此积分确定的参数为s的函数叫做函数的变拉普拉斯换，记作函数F（） 也可叫做的像函数。若F（s）是的拉氏变换，则称是F（s）的拉氏逆变换（或叫做的原函数），记作说明：一般控制系统的数学模型均能满足拉氏变换条件。（1） t在内，0（2） 在t0的任意有限区间内，是分段连续的（3） 函数的积分形式存在并收敛 即 例1 求指数函数（是常数）的拉氏
2、变换。解 有 此积分在s时收敛，有所以例2 求单位阶梯函数 的拉氏变换。解 此积分在时收敛，且有所以 例3 求（为常数）的拉氏变换。解 例4 求正弦函数的拉氏变换。解 同样可算得余弦函数的拉氏变换 下面我们给出狄拉克函数的拉氏变换。在许多实际问题中，常常会遇到一种集中在极短时间内作用的量，这种瞬间作用的量不能用通常的函数表示。为此假设 其中是很小的正数。当时，的极限叫做狄拉克函数，简称函数。 的图形如图11-1所示。显然，对任何，有 所以规定 工程技术中常将叫做单位脉冲函数。例5 求狄拉克函数的拉氏变换。解 先对作拉氏变换的拉氏变换为 用罗必达法则计算此极限，得 所以。 第二节 拉氏变换的性质
3、本节介绍拉氏变换的几个主要性质，它们在拉氏变换的实际应用中都很重要。这些性质都可由拉氏变换的定义及相应的运算性质加以证明，这里不再给出。性质1（线形性质或迭加性质） 若、是常数，且 则性质1表明，函数的线形组合的拉氏变换等于各函数的拉氏变换的线形组合。性质1可以推广到有限个函数的线形组合的情形。例1 求函数的拉氏变换。解 由性质1，有性质2（平移性质或位移定理） 若，则 性质2表明，像原函数乘以，等于其像函数作位移，因此性质2称为平移性质。例2 求及。解 由平移性质及 得 性质3（延滞定理） 若则 函数与相比，滞后了个单位，若表示时间，性质3表明，时间延迟了个单位，相当于像函数乘以指数因子，如
4、图11-2所示。例3 求函数的拉氏变换。解 由及性质3可得 例4 求如图11-3所示的分段函数 的拉氏变换。解 由得 性质4（微分性质） 若 ，则 性质4表明，一个函数求导后取拉氏变换，等于这个函数的拉氏变换乘以参数再减去这个函数的初值。性质4可以推广到函数的阶导数的情形。推论 若，则 特别地，若，则 （11-2）性质4使我们有可能将的微分方程化作的代数方程。因此性质4在解微分方程中有重要作用。例5 利用微分性质求。解 令，则， ， ， 由式（11-2）得 即 移项并化简，即得 例6 利用微分性质，求的拉氏变换。其中是正整数。解 由且 由式（11-2），有 而 即得 所以 性质5（积分定理）
5、若，则性质5表明，一个函数积分后取拉氏变换，等于这个函数的拉氏变换除以参数。性质5也可以推广到有限次积分的情形 除了上述五个性质外，拉氏变换还有一些性质，一并列于表11-1。另外，我们并不总是用定义求函数的拉氏变换，还可以查表求拉氏变换。现将常用函数的拉氏变换列于表11-2以供查用。例7 查表求。解 由表11-2的9得 再由表11-1的9得 例8 求。解 由得 查表， 所以 第三节 拉氏变换的逆变换前两节我们讨论了由已知函数求它的像函数的问题。本节我们讨论相反问题已知像函数，求它的原函数，即拉氏变换的逆变换。在求像原函数时，常从拉氏变换表11-2中查找，同时要结合拉氏变换的性质。因此把常用的拉
6、氏变换的性质用逆变换的形式列出如下。设 ， ， 1 线形性质 2 平移性质3 延滞性质例1求下列函数的拉氏逆变换：（1） （2）（3） （4）解 （1）由表11-2中的5，取得 （2）由表11-2中的7，取得 （3）由性质1及表11-2中的2、3得 （4）由性质1及表11-2中的9、10得 例2求的拉氏逆变换。解 在用拉氏变换解决工程技术中的应用问题时，经常遇到的像函数是有理分式。一般可将其分解为部分分式之和，然后再利用拉氏变换表求出像原函数。第四节 拉氏反变换的部分分式展开法讲述要点：1. D(s)含单根（包括共轭复根）的部分分式展开；2.D(s)含重根的部分分式展开。引言： 当进行反变换的
7、复频域函数并不刚好如表所列时，则需经过一定的处理（化大为小，各个击破），变换成如表中所列各式的线性组合。部分分式展开法：在电路理论中集中参数电路中的电压电流的象函数往往是s的有理函数，且一般为有理分式，如这类有理函数可按部分方式展开法处理，而避免按式 进行复变函数的积分设 N(s) ， D(s)为实系数多项式，1D(s)仅含单根则 其中 s1,s2,sKsn 为分母多项式D(s)的单根，又称为D(s)的单零点，当SSK时 F(s) 称为F(s)的单极点将F(s) 展开为部分分式 其中 A1,A2AkAn为待定系数为求Ak将上式两端同乘（s-sk）, (s-sk)F(s)=这个等式在s为任意数值
8、时均成立，然后令 s=sk则 左端表面上存在（s-sK），实际应与D(s)中的因式（s-sk）约去！将k从1算到n,便可确定所有的待定系数，于是 2 D(s)含有重根设 s1为一个单根, s2为q重根求A1： 与求单根时相同，即A1=(s-s1)F(s)求：与求单根类似，两端同乘 令 S = S2则 求：A2(q-1)可确定如下： 同样可得 进而 反变换 例3 求的拉氏逆变换。解 先将分解为部分分式之和 用待定系数法求得 所以 则有 例4求的拉氏逆变换。解 设 用待定系数法求得 所以 则有 例5求的拉氏逆变换。解 先将分解为部分分式之和设 用待定系数法，求得所以 于是 例6求的原函数f(t)解
9、: N(s)=4S+5 D(s)=s2+s+6=(s+2)(s+3) 则有 F(s)=D(s)的根为 s1=-2 , s2=-3则 故 例7：求 的反变换。解： mn 这是假分式应分子除以分母得到s 的多项式与其分式的和。用多项式除法可得 例8：求 的原函数f(t)解1: D(S)的根为 即D(s)=(s+25-j315)(s+25+j315) 则展开式为 ，待定系数为 A1 与A2 共轭，其原因是 N(s)的系数为实数。 欠阻尼衰减振荡解9： 当极点为可将分母多项式配成完全平方 查表反变换，序号19： 例10：已知 求原函数解： D(s)=s3(s+1)2 有三重根 s = 0 = 重根 s
10、 = -1设 其中 课堂练习：求 的原函数f(t)解： 通分 将分子整理后与N(S)比较系数可得 解得 A=1 C=-1 B=0 D=0与确定A，B，C，D类似，可确定E，F小结： (1)，其中N(S)和D(S)一般为S的多项式。当N(S)中S的最高次数等于或大于D(S)中S的最高次数时，则应该用多项式的除法将N(S)除以D(S)得到 (2)D(S)含有一个或一个以上关于变量S的二次三项式，且二次三项式的根为两个共轭复根时，例如其中当二次三项式的判别式 b2- 4 c 0 时，其根必为两个共轭复根，原函数必含振荡函数，此时可将二次三项式 S 2 + b S + C 配方为S+(b/2)2+C-
11、(b/2)2= S+(b/2)2+,然后根据拉普拉斯变换表中的“第12和13变换对”进行部分分式展开，例如 查表可得(3)如果D(S)中既含单根（包括含共轭复根）又含重根时，则应将上述几种处理方法综合应用才能得到部分分式展开式。线性动态电路微分（积分）方程的拉氏变换法求解讲述要点：1. 根据电路列出微分积分方程；2.应用线性组合定理，微分定理，积分定理等，对微分积分方程进行拉氏变换；3. 解复频域的代数方程。+i(t)uR(t)uL(t)uC(t)RLC例：用一个阶跃电压 激励一个RLC串联电路。已知u C(0-)=0，i(0-)=0，R=2，L=1H，C=0.2F ,求电流i(t) 解：列回路电压方程代入参数 直接应用微分定理，积分定理，进行拉氏变换由已知条件R=2, ,可见R 电路为欠阻尼，衰减震荡，解答具有 的形式。将分母多项式配成完全平方 查变换表倒数第四行，第17式 结论： 1、可直接对微积分方程进行拉氏变换，避免对高阶导数用微分定理；2、根据具体情况查变换表，并非所有的F(s)都要展为部分分式。18
