1、折叠结构折叠结构 【轴对称（折叠）思考层次全貌】 1. 全等变换：对应边相等、对应角相等 2. 对称轴性质：对称轴上的点到对应点的距离相等，对应点所连线段被对称轴 垂直平分 3. 组合搭配：矩形背景下常出现等腰三角形、两次折叠常出现直角，60 角、 折叠会出现圆弧等 4. 作图：核心是找到对应点，作对应点连线的垂直平分线 （折痕） ，补全图形 【要求】 读一读操作要领，按照操作要领去做题，思路受阻时回头再看操作要领，做完 题对照操作要领思考一步步是如何进行操作的； 做题时，需要执行读题标注（如目标、条件），观察特征，验证取舍等动作 【第一次训练】 操作要领： 遇折叠，考虑全等变换；找折痕（对称
2、轴），利用对应边相等，对应角相等对应边相等，对应角相等转移转移 条件，表达线段长，利用勾股定理条件，表达线段长，利用勾股定理（或相似、三角函数）（或相似、三角函数）建方程建方程；做题时常借 助背景图形提供的角度、线段长，对条件进行转移、表达 【例题 1】如图，将边长为 8cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中点 E 处，点 A 落在点 F 处，折痕为 MN，则线段 CN 的长为_cm N M F CBE DA 分析思路： 1. 读题标注、转化； 正方形，折叠，中点，目标，如右图所示 2. 背景图形； 边长为 8 的正方形； 3. 分析条件，组合特征； 折叠是全等变换-对应
3、边相等，对应角相等； EN=DN；_+NC=DN+NC=8， 转移，表达-设 CN=x，则 EN=DN=_ 4. 求解目标：勾股定理列方程 在 Rt_中，勾股定理列方程为_，解得 x=_即 CN=_cm 【配套小练习】 练习 1：如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，点 D 在 BC 边上，将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，点 C 恰好落在斜边 AB 上的点 E 处， 则线段 CD 的长为_ D E AB C F CB E D A 练习 2： 如图， 折叠长方形的一边 AD， 使点 D 落在 BC 边上的点 F 处， 若 AB=4cm， BC=5cm，则 EF 的
4、长为_ 【第二次训练】 操作要领： 折叠属于全等变换，找折痕，利用对应边相等，对应角相等转移条件，表达线 段长，利用勾股定理建方程； 上述思路进行不下去时，从“对称轴上的点到对应点的连线距离相等”，“对称轴上的点到对应点的连线距离相等”，从折 痕与背景图形的交点处入手，结合所求目标，连接对应线段，表达求解；或者考 虑 “折痕” 为对称轴， “对应点所连线段被对称轴垂直平分对应点所连线段被对称轴垂直平分” ，利用垂直平分 （题 目中会出现全等或相似）解题（这两条性质可以逐一尝试） 【例题 2】如图，将长为 4cm，宽为 2cm 的长方形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落 在 CD 边的中点 E
5、处，压平后得到折痕 MN，则线段 AM 的长为_ BC F A E N MD 分析思路： 1. 读题标注、转化； 长方形，折叠，中点，目标，如右图所示 2. 背景图形； 长为 4，宽为 2 的长方形，DE=EC=1，E 是定点； 3. 分析条件，组合特征； 折叠是全等变换-对应边相等，对应角相等； 上方：AM=MF，但 MF 所在的直角三角形无相关线段长信息，求解不出来； 下方：BN=EN；_+NC=BN+NC=4，在 Rt_中，勾股定理能够求 BN （NE，NC 等），但跟目标无关，先不进行计算； 4. 求解目标； 方式一：考虑折叠性质“对称轴上的点到对应点的连线距离相等” ，连接 MB 和
6、 ME，则 MB=ME，可以用来表达列方程求解；如图所示 转移表达-设 AM=x，则 DM=_；在 Rt_中， 2 BM _ （用含 x 的代数式表示） ；在 Rt_中， 2 ME _（用含 x 的代 数式表示） ；建立方程为_，解得 x=_，即 AM=_ 方式二： 考虑折叠性质 “对应点所连线段被对称轴垂直平分” ， 连接 BE， 则_ 被_垂直平分；如图所示 过点 M 作 MGBC 于点 G，则MGN_，且相似比为 1:2，由 CE 的 长，可求 GN 的长，结合 AM=BG=BN-GN，（BN 可通过第 3 条中的分析求出） 即可求出 AM 的长 中间用到一个很重要的结论：“十字结构”会
7、出现全等或相似而折叠中的垂直 平分经常会提供十字结构，以下是一般的“十字结构”的图形和结论 F E D C B A E A B C D F F E D C B A ABEBCF DCEABF ABEBCF 【配套小练习】-练习 3 和练习 4 均要求用折叠的两种性质解题（每种图中展 示一种方法） 练习 3：如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将该纸片折叠，使点 B 落在 CD 边上的点B处，点 A 的对应点为A，折痕为 MN若3BC ，则 AM 的长为_ B A N MD CB A B A N MD CB A 练习 4：如图，将正方形纸片 ABCD 沿 MN 折叠，使点 D 落
8、在边 AB 上，对应点 为D， 点C落在C处 若AB=6， AD=2， 则MN的长为 ， BN的长为 D C N M DC BA D C N M DC BA 练习 5：如图，在长方形 ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点 D 与 点 B 重合，折痕为 EF，则 EF 的长为_（要求用“对应点的连线被对 称轴垂直平分”解题，有其余方法可自行尝试） C ADE B C F C ADE B C F 练习 6：如图，长方形纸片 ABCD，AB=5，BC=10，CD 上有一点 E，ED=2，AD 上有一点 P，PD=3，过 P 作 PFAD 交 BC 于 F，将纸片折叠，使 P 点与
9、E 点 重合，折痕与 PF 交于 Q 点，与 AD 交于点 G，则 PQ 的长是（ ）（要求用 “对应点的连线被对称轴垂直平分”解题，有其余方法可自行尝试） A 5 2 B3 C13 4 D 7 2 Q G F E PD C B A G F E D CB A 练习 7：如图，将边长为 12cm 的正方形 ABCD 折叠，使得 A 点落在边 CD 上的 E点， 然后压平得折痕FG， 若GF的长为13cm， 则线段CE的长为_ 【第三次训练】 操作要领： 当上述两种思路都进行不下去的时候考虑背景提供的条件， 如考虑背景提供的条件， 如长方形中折叠会出长方形中折叠会出 现等腰三角形（以折痕为底）；现
10、等腰三角形（以折痕为底）；（原理是：平行+角平分线出现等腰三角形） 【例题 3】用长方形下的折叠会出现等腰三角形，快速求 BF 的长 如图，在长方形 ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点 D 与点 B 重 合，折痕为 EF，则 BF 的长为_ C ADE B C F BC F A E N MD 拓展：请在右上图中补全（例题 2）长方形下的折叠出现的等腰三角形，在图上 进行体现，并用此思路尝试求 AM 的长； 如图，将长为 4cm，宽为 2cm 的长方形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边的 中点 E 处，压平后得到折痕 MN，则线段 AM 的长为_ 【配套小练习】
11、练习 8：如图，长方形 ABCD 中，AB=15cm，点 E 在 AD 上，且 AE=9cm，连接 EC，将长方形 ABCD 沿直线 BE 翻折，点 A 恰好落在 EC 上的点 A处，则 AC=_cm A B A D C E A Q P D CO B A 练习 9： 已知一个长方形纸片 OABC， OA=6， 点 P 为 AB 边上一点， AP=2， 将OAP 沿 OP 折叠，点 A 落在点 A处，延长 PA交边 OC 与点 D，经过点 P 再次折叠纸 片，使点 B 落在边 OC 上的点 D 处，则 AB 的长为_ 练习 10：如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将该纸片折叠，
12、使点 B 落在 CD 边上的点B处，点 A 的对应点为A，折痕为 MN若3BC ，则 AM 的长为_（请用长方形下的折叠会出现等腰三角形，解题） B A N MD CB A 【第四次训练】折叠作图训练及计算求解 题目中给出已知的对应点，直接作垂直平分线，找折痕； 题目中没有直接给出的对应点，而是给出对应点满足的条件； 此时往往“折痕过定点”，题目往往会产生圆（圆弧），通过作圆弧找到对 应点的位置，再作垂直平分线找折痕 练习 11：如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB=12，AD=8，如果将矩形沿直线 l 翻 折后，点 A 落在边 CD 的中点 E 处，直线 l 分别与边 AB，AD 交于点
13、M，N，那 么 MN 的长为_ B A E C D B A E C D 练习 12：在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，点 P 在线段 AB 上若将DAP 沿 DP 折叠，使点 A 落在对角线 AC 上的 A处，则 AP 的长为_ D C B A D C B A 练习 13：如图，矩形 ABCD 中，AB=2，AD=6，AF=BE=2，点 G 是线段 AD 上 的动点，将矩形 ABCD 沿直线 EG 折叠当点 C 的对应点 C落在四边形 ABEF 对角线所在直线上时，求 AC的长为_ G E F D CB AG E F D CB A 练习 14：如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=8cm
14、，BC=20cm，O 是 BC 的中点，沿 过 O 的直线翻折.若点 B 恰好落在 AD 上，那么折痕的长度为_. A BC D O A BC D O 练习 15：在矩形 ABCD 中，BC=6，CD=8，点 P 在线段 AB 上(不含端点 A，B) 任意一点若将PBC 沿 PC 折叠，使点 B 的对应点 B落在矩形 ABCD 对角线上 时，BP 的长为_ D CB A D CB A 用你学到的内容，尝试用多种方法解题。 如图，矩形 ABCD 中，AB=12，BC=10，点 E 是 BC 上一点且 BE=2，点 F 是 CD 上一点且 CF=4，将矩形 ABCD 折叠，使点 E 和点 F 重合，折痕分别与 AD、BC 交于点 HG，则 AH 的长为_ H G F E D CB A H G F E D CB A H G F E D CB A 如图，在矩形 ABCD 中，AB=10，AD=6，沿过点 A 的直线折叠矩形 ABCD，使 得点 B 落在线段 CD 上，折痕交 CB 于点 F，则 AF=_ DC B A DC B A
