1、n9.0 引言引言n9.1 数字信号处理中的量化效应数字信号处理中的量化效应n9.1.1 量化及量化误差量化及量化误差n9.1.2 A/D变换器中的量化效应变换器中的量化效应n9.1.3 数字系统中的系数量化效应数字系统中的系数量化效应n 1.系数量化对系统频率特性的影响系数量化对系统频率特性的影响 n 2.极点位置敏感度极点位置敏感度n9.1.4 数字系统中的运算量化效应数字系统中的运算量化效应n9.2 数字信号处理技术的软件实现数字信号处理技术的软件实现n9.3 数字信号处理的硬件实现简介数字信号处理的硬件实现简介 12数字系统的实现方法：数字系统的实现方法：1、软件实现：按照设计的软件在
2、通用计算机上实现。、软件实现：按照设计的软件在通用计算机上实现。2、硬件实现：按照设计的运算结构（如结构流图、差分方程），利用、硬件实现：按照设计的运算结构（如结构流图、差分方程），利用加法器加法器、乘法器乘法器和和延时器延时器等组成等组成专用设备专用设备，完成特定的信号处理算法。或，完成特定的信号处理算法。或利用数字信号处理利用数字信号处理专用芯片专用芯片实现。实现。数字系统的一般设计与实现过程：数字系统的一般设计与实现过程：1、理论设计得到系统函数或者差分方程；、理论设计得到系统函数或者差分方程；2、设计一种具体算法，进行实现。、设计一种具体算法，进行实现。例如，第五章介绍的各种网络结构，
3、均代表一种具体算法，根据这些例如，第五章介绍的各种网络结构，均代表一种具体算法，根据这些具体算法才能设计软件或硬件进行实现。具体算法才能设计软件或硬件进行实现。网络结构的性能描述参数：网络结构的性能描述参数：存储量：存储量：为存储系统参数、中间计算结果以及输入输出信号值等为存储系统参数、中间计算结果以及输入输出信号值等 要求的存储量。要求的存储量。计算复杂性：计算复杂性：乘法次数、加法次数、来回取数存数次数以及两数乘法次数、加法次数、来回取数存数次数以及两数 之间的比较次数等。之间的比较次数等。处理速度：处理速度：与硬件本身的速度和计算复杂性有关。与硬件本身的速度和计算复杂性有关。还有还有计算
4、误差、设备成本计算误差、设备成本，等。，等。计算误差主要来源于计算误差主要来源于有限字长效应有限字长效应，它是数字信号处理实现中特，它是数字信号处理实现中特有的重要问题。有的重要问题。因此需要研究各种网络结构对有限字长效应的敏感程因此需要研究各种网络结构对有限字长效应的敏感程度，以及为给定的运算误差所需要的字长等。度，以及为给定的运算误差所需要的字长等。39.1.1 量化及量化误差量化及量化误差量化：量化：用有限位二进制数表示一个无限精度的量（如用有限位二进制数表示一个无限精度的量（如A/DC)；尾数处理尾数处理:数字信号处理实现时，信号序列值、运算结果及参加运算数字信号处理实现时，信号序列值
5、、运算结果及参加运算 的各个参数都必须用二进制的编码形式存贮在有限长的寄的各个参数都必须用二进制的编码形式存贮在有限长的寄 存器中，如果该编码长度长于寄存器的长度，需要进行存器中，如果该编码长度长于寄存器的长度，需要进行尾尾 数处理数处理；运算中，二进制乘法会使位数增多，也需要进行运算中，二进制乘法会使位数增多，也需要进行尾数处理尾数处理。尾数处理尾数处理也属于量化，其量化对象一般为精度更高的数据；也属于量化，其量化对象一般为精度更高的数据；而而 A/DC的对象一般为模拟量的对象一般为模拟量量化、尾数处理量化、尾数处理(截尾，四舍五入）截尾，四舍五入）量化误差量化误差量化误差量化误差是因为用有
6、限位二进制数表示序列值形成的误差，称为是因为用有限位二进制数表示序列值形成的误差，称为量化误差量化误差。量化误差量化误差产生的原因是用有限长的寄存器存贮数字引起的，因此也将这种误差引起的产生的原因是用有限长的寄存器存贮数字引起的，因此也将这种误差引起的 各种效应称为各种效应称为有限寄存器长度效应（有限字长效应）。有限寄存器长度效应（有限字长效应）。4 例如，例如，x=0.8012，用二进制表示为：（用二进制表示为：（0.1100110101），），用用7位二进制表示：（位二进制表示：（0.110011）,对应的十进制为：对应的十进制为：0.796 875，量化误差值为：量化误差值为：0.801
7、2-0.796 875=0.004325 数字信号处理技术实现中的量化效应：数字信号处理技术实现中的量化效应：A/DC中量化效应；中量化效应；数字网络中参数量化效应；数字网络中参数量化效应；数字网络中运算量化效应；数字网络中运算量化效应；FFT中量化效应等。中量化效应等。5 量化效应在数字信号处理技术实现时，都是很重要的问题，量化效应在数字信号处理技术实现时，都是很重要的问题，一直受到科技工作者的重视，并在理论上进行了很多研究。一直受到科技工作者的重视，并在理论上进行了很多研究。随着科学技术的飞速发展，主要是数字计算机的发展，计随着科学技术的飞速发展，主要是数字计算机的发展，计算机字长由算机字
8、长由8位、位、16位、位、32位位提高到提高到64位位；一些结合数字信号；一些结合数字信号处理特点发展起来的处理特点发展起来的数字信号处理专用芯片数字信号处理专用芯片近几年来发展尤其迅近几年来发展尤其迅速，不仅速，不仅处理快速处理快速，字长达到，字长达到32bit、64bit；另外，高精度；另外，高精度（如（如12位、位、16位位）的）的A/D变换器也已商品化。变换器也已商品化。随着计算字长的大大增加，量化误差大大减少了，因此，随着计算字长的大大增加，量化误差大大减少了，因此，对于处理精度要求不高，计算字长较长的一般数字信号处理技术对于处理精度要求不高，计算字长较长的一般数字信号处理技术的实现
9、时，可以不考虑这些量效应。的实现时，可以不考虑这些量效应。但是对于要求成本低（如但是对于要求成本低（如8位字长位字长），并用硬件实现，或），并用硬件实现，或者要求高精度的硬件实现时，这些量化效应问题亦然是重要问题。者要求高精度的硬件实现时，这些量化效应问题亦然是重要问题。6n用用b+1位二进制数表示（量化）信号值位二进制数表示（量化）信号值 1位表示位表示符号符号，b位表示位表示小数部分小数部分；量化阶（或量化步长）：量化阶（或量化步长）：b+1位二进制数能表示的最位二进制数能表示的最 小单位用小单位用q表示，表示，。对于超过。对于超过b+1位的部分进行位的部分进行 尾数处理尾数处理。尾数处理
10、的两种方法：尾数处理的两种方法：舍入法舍入法：将尾数第：将尾数第b+1位按逢位按逢1进位，逢进位，逢0不进位，不进位，b+1位以后的数略去；位以后的数略去；截尾法：截尾法：将尾数第将尾数第b+1位及其后的数码略去。位及其后的数码略去。显然这两种处理方法的误差会不一样。显然这两种处理方法的误差会不一样。72bq8)(nx)(nxQ)(ne)()()(nxnxQne)(nx)(ne()e n)(ne()x n/2emq 0222()()d/12eeqemp eeqbq 21b如果信号如果信号值量化后用值量化后用表示，量化误差用表示，量化误差用一般一般是随机信号，那么是随机信号，那么也是随机的，也是
11、随机的，为便于分析，一般假设为便于分析，一般假设是与是与均匀分布均匀分布特性的特性的白噪声白噪声。设采用定点补码制，截尾法和舍入法的量化噪。设采用定点补码制，截尾法和舍入法的量化噪声概率密度曲线分别如图声概率密度曲线分别如图9.1.1(a)9.1.1(a)和和(b)(b)所示。所示。，方差为，方差为舍入法的统计平均值为舍入法的统计平均值为0 0，方差也为，方差也为这里这里结论：结论：字长字长愈长，量化噪声方差愈小。愈长，量化噪声方差愈小。表示，表示，经常将经常将截尾法的统计平均值为截尾法的统计平均值为称为称为量化噪声量化噪声。不相关不相关的的平稳平稳随机序列，且是具有随机序列，且是具有2/12
12、q图9.1.1 量化噪声e(n)的概率密度曲线9量化的数学模型：量化的数学模型：rond/Q xqx q rond/x qrond()/qx nq式中，式中，round 为为MATLAB函数，函数，roundx表示对表示对x四舍五入后取整，四舍五入后取整，表示表示x包含量化阶包含量化阶q的个数，的个数，x可以是标量、向量和矩阵。可以是标量、向量和矩阵。将数取整的方法有将数取整的方法有四舍五入取整、向上取整、向下取整、向零取整，四舍五入取整、向上取整、向下取整、向零取整，对应的对应的MATLAB取整函数分别为取整函数分别为round(x)、ceil(x)、floor(x)、fix(x)。roun
13、d最常用，对应的最常用，对应的MATLAB量化语句为量化语句为xq=q*round(x/q)。例如，例如，x=0.8012，b=6，量化程序如下：，量化程序如下：x=0.8012;b=6;q=2-b;%计算量化阶计算量化阶qxq=q*round(x/q)%对对x舍入值量化舍入值量化e=x-xq%计算量化误差计算量化误差e运行结果：运行结果：xq=0.796875,e=0.004325所以所以就是量化后的数值就是量化后的数值。A/D变换器的功能原理图如图变换器的功能原理图如图9.1.2(a)所示，所示，图中，图中，量化编码后的输出量化编码后的输出 未量化的二进制编码用表示，未量化的二进制编码用表
14、示，那么量化噪声为：那么量化噪声为：因此因此A/D变换器的输出为变换器的输出为考虑考虑A/D变换器的量化效应，其统计模型如图变换器的量化效应，其统计模型如图9.1.2(b)所示。这样，所示。这样，由于由于e(n)的存在而降低了输出端的信噪比。的存在而降低了输出端的信噪比。10)(nx)(nx)()()(nxnxne)()()(nenxnxA/DC变换器功能原理图 统计模型 图9.1.2 A/DC功能原理图及统计模型（9.1.2）)(ne11)(txa)(nx)(ne)(txa2x)(ne2e22xeSN假设假设:A/DA/D变换器输入信号变换器输入信号不含噪声，不含噪声，中仅考虑量化噪声中仅考
15、虑量化噪声的的平均功率平均功率的平均功率的平均功率出信噪比出信噪比输出信号输出信号用用dB数表示数表示：则则，dBlg1022exNS（9.1.3a）)(ne0emA/DA/D变换器采用定点舍入法，变换器采用定点舍入法，的统计平均值的统计平均值的方差的方差beq2222121121将将2e代入式（代入式（9.1.3a9.1.3a），得到：），得到：（9.1.3b）1222210lg10lg10lg6.0210.79xexSbN（9.1.3c）),0(2xNV1V31x，代入式（，代入式（9.1.3c9.1.3c），得），得 此式表明：此式表明：（1）A/D变换器的位数变换器的位数b愈大，信噪比
16、愈高；愈大，信噪比愈高；（2）每增加一位，输出信噪比增加约）每增加一位，输出信噪比增加约6bB；（3）输出信噪比也和输入信号功率有关，为增加输出信噪比，应在）输出信噪比也和输入信号功率有关，为增加输出信噪比，应在A/D变换变换器动态范围中，尽量提高信号幅度。信号越小，器动态范围中，尽量提高信号幅度。信号越小，S/N越小。所以，工程上常用非越小。所以，工程上常用非线性量化，以提高小信号量化信噪比。如线性量化，以提高小信号量化信噪比。如A律量化等。律量化等。如果对输出端信噪比提出要求，根据如果对输出端信噪比提出要求，根据（9.1.3c）式可以估计对式可以估计对A/D变换器的变换器的位数要求。位数要
17、求。)(txa服从标准正态分布服从标准正态分布 设设)(txax3，A/D变换器的动态范围为变换器的动态范围为，我们知道，对于正态分布，我们知道，对于正态分布，的幅度落入的幅度落入以外的概率很小，以外的概率很小，可以忽略。可以忽略。为充分利用其动态范围，取为充分利用其动态范围，取 29.102.6bNS13dB60/NS10bdB80/NS13b如果要求如果要求，由上式计算出，由上式计算出，则，则 注意：注意：（1 1）增加）增加A/DA/D变换器的位数，会增加输出端信噪比，但变换器的位数，会增加输出端信噪比，但A/DA/D变换器的成变换器的成本也会随位数本也会随位数b b增加而迅速增加；增加
18、而迅速增加；（2）输入信号本身有一定的信噪比，过分追求减少量化噪声提高输出）输入信号本身有一定的信噪比，过分追求减少量化噪声提高输出信噪比是没有意义的。信噪比是没有意义的。因此，应根据实际需要，合理选择因此，应根据实际需要，合理选择A/D变换器位数。变换器位数。如果要求如果要求b位位A/D变换器的变换器的MATLAB量化函数量化函数quant：输入最大幅度为输入最大幅度为1V的的b位位A/D变换器，根据舍入量化模型式（变换器，根据舍入量化模型式（9.1.1），），可以写出可以写出b位位A/D变换器的变换器的MATLAB量化函数量化函数quant：function y=quant(x,b,V)i
19、f nargin3 V=max(abs(x);end%缺省缺省V，则默认，则默认V等于等于x的最大值的最大值ax=abs(x);%去掉负号去掉负号q=V/(2(b-1);%计算量化阶计算量化阶qxq=q*round(ax/q);%对对|x|舍入值量化舍入值量化y=sign(x).*xq;%加入负号，恢复带负号的量化值加入负号，恢复带负号的量化值y函数功能：函数功能：可以对带负号的数据可以对带负号的数据x进行进行A/D变换，变换，x可以是标量、向量和矩阵。可以是标量、向量和矩阵。应当注意：应当注意：上述上述A/DC采用的是线性量化，其缺点是小信号的量化信噪比低。为采用的是线性量化，其缺点是小信号
20、的量化信噪比低。为 了改善小信号的量化信噪比，实际中常常采用了改善小信号的量化信噪比，实际中常常采用非线性量化非线性量化。14 系统对输入信号进行处理时需要若干参数或者说系数，系统对输入信号进行处理时需要若干参数或者说系数，如系统如系统函数的分子分母多项式系数，差分方程系数。函数的分子分母多项式系数，差分方程系数。15NrrrMrrrzazbzH101)()()()(10inyainxbnyNiiMii系数系数 存储在存储在有限位数有限位数的寄存器中的寄存器中 系数的量化误差系数的量化误差 可能可能使系统函数的零、极点位置偏移使系统函数的零、极点位置偏移 会使系统的频率响应偏离理论设计的会使系
21、统的频率响应偏离理论设计的频率响应，不满足实际需要。频率响应，不满足实际需要。量化误差严重时，极点移到单位园上或者单位园外，造成系统不稳定。量化误差严重时，极点移到单位园上或者单位园外，造成系统不稳定。iiba 和166阶椭圆带通滤波器的阶椭圆带通滤波器的直接型结构直接型结构系数量化前后的零极点分布图和频响特性曲线分系数量化前后的零极点分布图和频响特性曲线分别如下图所示。别如下图所示。零极点分布图频响特性曲线 6阶椭圆带通滤波器的阶椭圆带通滤波器的级联型结构级联型结构系数量化前后的零极点分布图和频响特系数量化前后的零极点分布图和频响特性曲线分别如下图所示。二者量化字长相同。性曲线分别如下图所示
22、。二者量化字长相同。由图可见：由图可见：系数量化效应不但与系数量化效应不但与寄存器的长度寄存器的长度有关，而且和系统的有关，而且和系统的结构结构有关，有的有关，有的结构对系数的量化误差结构对系数的量化误差不敏感不敏感，有的却，有的却很敏感很敏感。所以，研究各种结构对系数量化误差的敏感度有重要意义，为我们在实所以，研究各种结构对系数量化误差的敏感度有重要意义，为我们在实际中选取系统结构提供理论指导！际中选取系统结构提供理论指导！17。零极点分布图频响特性曲线MATLAB表示数的精度：表示数的精度：用二进制双精度格式数表示一个数：用二进制双精度格式数表示一个数：8字节（字节（64位二进制数）。位二
23、进制数）。键入键入命令命令eps、realmin和和realmax，显示出，显示出MATLAB浮点制表示的：浮点制表示的：量化阶：量化阶：可以表示的可以表示的最大数：最大数：最小数：最小数：所以所以MATLAB的的量化误差量化误差可以可以忽略不计忽略不计，用，用MATLAB设计的滤波设计的滤波 器系数可以看成精确的理论值。器系数可以看成精确的理论值。工程实际中采用嵌入式的工程实际中采用嵌入式的DSP芯片（或专用数字硬件电路），芯片（或专用数字硬件电路），DSP 芯片（或专用数字硬件电路）的字长一般为芯片（或专用数字硬件电路）的字长一般为8、16、32 bit，采用采用定点定点或或浮点二进制表示
24、数。浮点二进制表示数。-52-16q=2=2.2204 10183082.2251 103080.7977 10工程实际中的滤波器设计与系数量化效果仿真：工程实际中的滤波器设计与系数量化效果仿真：1、用、用MATLAB设计滤波器设计滤波器 2、选定采用的嵌入式的、选定采用的嵌入式的DSP芯片（或专用数字硬件电路），芯片（或专用数字硬件电路），DSP 芯片（或专用数字硬件电路）芯片（或专用数字硬件电路）3、用实际系统的有效字长，对设计的滤波器系数进行量化仿真、用实际系统的有效字长，对设计的滤波器系数进行量化仿真检验。检验。当然，实际系统的有效字长越长，实际实现的性能越逼近当然，实际系统的有效字长
25、越长，实际实现的性能越逼近MATLAB设计结果。设计结果。MATLAB提供了定点运算仿真模块库（提供了定点运算仿真模块库（Fix-Point Blockset）有兴趣的读者请找相关书籍学习。有兴趣的读者请找相关书籍学习。191 1、系数量化对系统频率特性的影响、系数量化对系统频率特性的影响 20NrrrMrrrzazbzH101)(rrba和量化前的系数量化前的系数：量化后的系数量化后的系数：rrab和量化误差：量化误差：rrab和 rrraaarrrbbb (9.1.5)(9.1.6)量化后的实际的系统函数：量化后的实际的系统函数：NrrrMrrrzazbzH101)(9.1.7)显然，如果
26、存在系数量误差，则频率响应不同于原来设计的频率响应。显然，如果存在系数量误差，则频率响应不同于原来设计的频率响应。数字网络的系统函数数字网络的系统函数：例题例题 9.1.1 假设带通滤波器的系统函数如下式假设带通滤波器的系统函数如下式 用用b+1位二进制表示上式中的系数，位二进制表示上式中的系数，b=4，采用舍入法处理尾数，试分析，采用舍入法处理尾数，试分析系数量化误差对极点位置和频率响应特性的影响。系数量化误差对极点位置和频率响应特性的影响。量化后的系统函数为量化后的系统函数为 1,21,2()0.1000 0.9609H zppj的极点：21 21965.017.011)(zzzH121(
27、)10.20000.9333H zzz1,2()0.0850 j 0.9787H zp的极点：1,20.9823p1,20.9661p222 2、极点位置敏感度、极点位置敏感度 主要分析不同网络结构的系数量化误差对极零点位置的影响。为此，主要分析不同网络结构的系数量化误差对极零点位置的影响。为此，引入引入零极点位置灵敏度零极点位置灵敏度的概念。的概念。极点灵敏度：极点灵敏度：指每个极点对系数偏差的指每个极点对系数偏差的敏感程度敏感程度。零点灵敏度的零点灵敏度的分析方法相同。下面以系数量化对极点位置的影响为分析方法相同。下面以系数量化对极点位置的影响为例进行分析。例进行分析。01()()()1M
28、rrrNrrrb zB zH zA za z分母多项式分母多项式A(z)的极点：的极点：系数量化后的极点：系数量化后的极点：,1,2,-,kp kNkkkpppkp表示第表示第k个极点的偏差，对直接型结构，它应该和各个系数偏差个极点的偏差，对直接型结构，它应该和各个系数偏差都有关，它和各系数偏差的关系为都有关，它和各系数偏差的关系为iNiikkaapp1（9.1.8）23讨论：讨论：iNiikkaapp1ikapiakp,kkikkiiippappaaa对同样的越大，所以，称极点对系数 变化的灵敏度。kkpziikpzkazAappzA)()(kpzkiikpzAazAap/)(/)(NkkN
29、iiizpzazA111)1(1)(iizazA)(的大小直接影响第的大小直接影响第i个系数偏差个系数偏差 对第对第k个极点偏差个极点偏差的的“贡献贡献”极点灵敏度和极点的关系：极点灵敏度和极点的关系：上式中，上式中，1111()(1)()NNNllllkl kl kA zzp zzzpp 24 所以，所以，1 (9.1.13)()N ikkNiklll kppapp上式即是第上式即是第k个极点对系数个极点对系数 的的极点位置敏感度极点位置敏感度。将上式代入将上式代入(9.1.8)式，得到式，得到ia11 (9.1.14)()N iNkkiNiklll kppapp上式表示上式表示N个系数量化
30、误差引起的第个系数量化误差引起的第k个极点的偏差。由该式可以得到以下个极点的偏差。由该式可以得到以下结论：结论：1.极点偏移和系数量化误差大小有关。而系数量化误差大小与寄存器极点偏移和系数量化误差大小有关。而系数量化误差大小与寄存器 长度有关，因此为减小极点偏移，应加长寄存器长度。长度有关，因此为减小极点偏移，应加长寄存器长度。，25)lkpp lpkpkpkp2、分母多项式中（、分母多项式中（是极点是极点指向极点指向极点整个分母是所有极点（不整个分母是所有极点（不 包括包括极点极点）指向极点）指向极点如果极点密集在一起，极点间距短，那么极点对系数量化误差的敏如果极点密集在一起，极点间距短，那
31、么极点对系数量化误差的敏感度高，相应的极点偏差就大。感度高，相应的极点偏差就大。3、极点偏差与系统函数的阶数、极点偏差与系统函数的阶数N有关，阶数愈高，极点灵敏度高，极点有关，阶数愈高，极点灵敏度高，极点 偏偏 差也大。这样对于一些窄带滤波器，因为要求选择性高，势必要求差也大。这样对于一些窄带滤波器，因为要求选择性高，势必要求 阶数高，且几点密集，所以，极点的偏差会很大。严重时使极点移到阶数高，且几点密集，所以，极点的偏差会很大。严重时使极点移到 单位园上或者单位园外，引起系统不稳定。单位园上或者单位园外，引起系统不稳定。的矢量，的矢量，的矢量之积。的矢量之积。n综上所述，得出结论：综上所述，
32、得出结论：系统的结构最好不用高阶的直接型结构，而将系统的结构最好不用高阶的直接型结构，而将其分解成一阶或者二阶子系统，其分解成一阶或者二阶子系统，再将它们进再将它们进行并联或者级联，以便减小极点偏移量。行并联或者级联，以便减小极点偏移量。降低系数量化效应！降低系数量化效应！2627 图9.1.4（a）零极点分布图 （b）频响特性曲线28 图9.1.4（c）零极点分布图 （d）频响特性曲线n注意：注意：n观察图观察图9.1.4(a)和（和（c）发现，直接型结构和）发现，直接型结构和级联型结构系数量化前后的级联型结构系数量化前后的零点偏移都很小零点偏移都很小。n原因：原因：该滤波器的该滤波器的各零
33、点之间距离较大（不密各零点之间距离较大（不密集集）。而窄带带通滤波器的）。而窄带带通滤波器的极点分布密集极点分布密集，所，所以直接型结构的极点对系数量化误差的敏感度以直接型结构的极点对系数量化误差的敏感度高，相应的极点偏差大。本例的实验结果与理高，相应的极点偏差大。本例的实验结果与理论结论一致。论结论一致。29在数字网络的运算中的运算误差：在数字网络的运算中的运算误差：1、定点二进制乘法的结果尾数变长，对尾数进行截尾或舍、定点二进制乘法的结果尾数变长，对尾数进行截尾或舍入处理的误差；入处理的误差；2、定点加法运算中可能出现溢出，造成更大的误差；、定点加法运算中可能出现溢出，造成更大的误差；3、
34、浮点制运算中乘法和加法都可能使二进制的位数加长，、浮点制运算中乘法和加法都可能使二进制的位数加长，对尾数进行截尾或舍入处理的误差。对尾数进行截尾或舍入处理的误差。分析结果将证明：分析结果将证明：运算误差的大小除了和规定的二进制数的运算误差的大小除了和规定的二进制数的长度有关以外，还和网络结构有关。长度有关以外，还和网络结构有关。30 仅介绍定点制的乘法量化效应。仅介绍定点制的乘法量化效应。1、分析方法：分析方法：统计分析统计分析 由于输入信号是随机信号，差生的运算量化误差同样是由于输入信号是随机信号，差生的运算量化误差同样是随机的，所以，需要进行随机的，所以，需要进行统计分析统计分析。2、分析
35、条件：分析条件：假定运算量化误差具有以下统计特性：假定运算量化误差具有以下统计特性：（1）系统中所有的运算量化噪声都是平稳的白噪声；）系统中所有的运算量化噪声都是平稳的白噪声；（2）所有的运算量化噪声之间以及和信号之间均不相关；）所有的运算量化噪声之间以及和信号之间均不相关；（3）这些噪声的概率密度都是均匀分布的；）这些噪声的概率密度都是均匀分布的；（4）乘法支路的运算量化等效为其输出接点的加性噪声。）乘法支路的运算量化等效为其输出接点的加性噪声。313、乘法支路运算量化模型及其分析：、乘法支路运算量化模型及其分析：32)()(12navnv)()(12navQnv理想乘法支路输出节点变量：理
36、想乘法支路输出节点变量：经过量化后的输出节点变量：经过量化后的输出节点变量：)()()(21nvnavQne则则212()()()()v nQ av nv ne n系统中每个乘法支路都引入一个噪声源。系统中每个乘法支路都引入一个噪声源。考虑运算量化效应的一阶考虑运算量化效应的一阶IIR网络结构分析模型：网络结构分析模型：33)()()(21neEnhneEmf121212()()()()0 0EeemeeEh m e nmE e nmh mmmm因为采用舍入量化对定点舍入法，输出端噪声平均值和方差分别为对定点舍入法，输出端噪声平均值和方差分别为 )()()()(2221222neEneEneE
37、mneEffffff)(1nef)(2nef)(1ne)(2ne和分别表示和在输出端的输出 3422211100110020022022222200/12 ,2()()()()()()()()()()()()()11()()121212befmlmlemlemfeemmqqE enEh m e nmh l e nlh m h l E e nm e nlh m h lmlh mh mqh m 220()1bmh m根据帕斯维尔定理（根据帕斯维尔定理（2.5.29）式，也可以用下式计算：）式，也可以用下式计算：11212211)(zd)()(j21azbzzHzzHzHecef 我们通过一个二阶网
38、络的例子说明不同网络结构对输我们通过一个二阶网络的例子说明不同网络结构对输出噪声的影响。出噪声的影响。例例9.1.3 已知网络系统函数为已知网络系统函数为359.0|,72.07.112.04.0)(211zzzzzH网络采用定点补码制，尾数处理采用舍入法。试分别计网络采用定点补码制，尾数处理采用舍入法。试分别计算直接型、级联型和并联型结构输出噪声功率。算直接型、级联型和并联型结构输出噪声功率。111211110.40.20.40.215.65.2()1 1.70.721 0.9/1 0.81 0.91 0.8zzH zzzzzz下面分别计算这三种网络结构的输出信噪比下面分别计算这三种网络结构
39、的输出信噪比三种网络结构的运算量化效应分析模型三种网络结构的运算量化效应分析模型：36（1）直接型）直接型 式中式中37zzzHzHjqqnhnenenenenecffd)()(2121212121)()()()()()(122232102212111111527.5164.326161164.32899.28053.618.0),()(Re9.0),()(Red)8.01)(9.01(2.04.0)8.01)(9.01(2.04.021d)()(21qqqZHzHszHzHszzzzzzzzjzzzHzHjfcc（2）级联型）级联型38zzzHzHjqzzzHzHjqzHTZnhzzHnhn
40、enenenhneneccffd)()(21123d)()(21121)()(,8.011)()()()()()()()(122212221212232102222112211223.3752.77841164.32121778.28.0,)()(Red)8.01)(8.01(121)()(21qqqzzHzHszzzzjzdzzHzHjfcc（3）并联型）并联型 39222220022221222212111123211034.18.011619.01161)(2121)(2121)(8.0)(,)(8.011)()(9.0)(,)(8.011)()()()()()()()(qqqnhqnh
41、qnunhnhZTzzHnunhnhZTzzHnhnenenhnenenennfnnf结论：结论：（1）对同一个系统函数）对同一个系统函数 ，因乘法量化误差在输出端引起的量化，因乘法量化误差在输出端引起的量化噪声功率除了与量化位数噪声功率除了与量化位数b有关外，还与网络结构形式有关。有关外，还与网络结构形式有关。（2）量化位数愈长，输出量化噪声愈小；）量化位数愈长，输出量化噪声愈小；（3）较高阶的网络结构中，）较高阶的网络结构中，直接型直接型输出端量化噪声以输出端量化噪声以最大最大，级联型级联型次之次之，并联型并联型最小最小。（4）三种不同网络结构输出端的信号功率都是一样的。）三种不同网络结构
42、输出端的信号功率都是一样的。原因分析：原因分析：直接型直接型量化噪声通过全部网络，经过反馈支路有积累作用；量化噪声通过全部网络，经过反馈支路有积累作用；级联型级联型仅一部分噪声通过全部网络；仅一部分噪声通过全部网络；并联型并联型每个一阶网络的量化噪声直接送到输出端。每个一阶网络的量化噪声直接送到输出端。40)(zH输出信噪比计算：输出信噪比计算：41)(nx2x0 xmzzzHzHjnhncxxyd)()(21)(01222222fyNS设输入信号为设输入信号为方差为方差为，均值，均值输出端信号功率输出端信号功率输出信噪比输出信噪比结论：结论：（1）输出信噪比也同样随量化位数增加而增加；）输出
43、信噪比也同样随量化位数增加而增加；（2）网络结构中以并联型输出信噪比最大，直接型最差。）网络结构中以并联型输出信噪比最大，直接型最差。（3）对于定点制，输出信噪比还与输入信号功率有关，应在保证运算）对于定点制，输出信噪比还与输入信号功率有关，应在保证运算 中不发生溢出的前提下，尽量增大输入信号幅度。中不发生溢出的前提下，尽量增大输入信号幅度。1、原码与补码表示：原码与补码表示：在定点制网络系统中，补码二进制表示：设要表示十进制数在定点制网络系统中，补码二进制表示：设要表示十进制数 x 00120121ccc01201c20+1 (1)222 0.8125,1.18751.00110 bbbkk
44、kbbkkkxbxxxxxxxxx 时，原码、反码和补码的表示形式相同。二进制数：原码：表示符号，表示绝对值，对应的十进制数为补码：负数 的二进制补码 表示为：，二进制补码=表示的十进制数为：例如，则（）c2 0.110101.00110 xx 也可以将的原码逐位取反，末尾再加1得到（）42补码的特点：补码的特点：计算加减法方便，但乘法计算比原码复杂。计算加减法方便，但乘法计算比原码复杂。2、加法溢出概念：、加法溢出概念：加法不会产生量化误差，但却会产生溢出。加法不会产生量化误差，但却会产生溢出。例：例：2个补码二进制数相加：个补码二进制数相加：0.110+0.011=（1.001)2，其对应
45、的十进制数为其对应的十进制数为-1+1/8=-7/8，但实际值应是但实际值应是1/2+1/4+1/4+1/8=9/8。这样，由于加法进位，产生了溢出，形成了很大的误差。这样，由于加法进位，产生了溢出，形成了很大的误差。433、防止加法溢出的措施、防止加法溢出的措施：（1）定点制系统，数的动态范围小，一般采用限制输入）定点制系统，数的动态范围小，一般采用限制输入信号动态范围方法信号动态范围方法防止加法溢出防止加法溢出。（2）采用浮点制。）采用浮点制。4、定点制系统输入信号动态范围限制、定点制系统输入信号动态范围限制44i()ix nv到)(nhi设网络节点用设网络节点用表示，从输入节点表示，从输
46、入节点节点的单位取样响应为节点的单位取样响应为max00maxmax0()(),|()|()|1|()|iiiimmiiimh m x nmxh mxx nxh m其中，表示|的最大值。対定点制系统，保证节点 不溢出的条件为 例：例：一阶一阶IIR网络，单位取样响应为网络，单位取样响应为 45()(),|1nh na u na要求输入信号的动态范围为要求输入信号的动态范围为 max01|1|()|nnxaa u n 显然该动态范围与一阶网络的极点有关。极点愈靠近单显然该动态范围与一阶网络的极点有关。极点愈靠近单位圆，限制输入信号的动态范围就愈小。位圆，限制输入信号的动态范围就愈小。（9.1.1
47、7）n4、定点制系统输入支路加衰减器、定点制系统输入支路加衰减器0()()()my nAh m x nm46 如果输入信号幅度固定在一定范围中，可以在输入支路上加衰减因如果输入信号幅度固定在一定范围中，可以在输入支路上加衰减因子来防止溢出。子来防止溢出。例：例：在图中，为防止溢出，输入支路上加衰减因子在图中，为防止溢出，输入支路上加衰减因子 A Amaxmaxmax0|()|()|()|,0mx nxy nA xh mA设，则有，为防止溢出，要求为防止溢出，要求1|)(|ny，即，即max01|()|mAxh m对于该例，有对于该例，有max1|aAx 对于级联开型或并联型结构，可在每个基本节
48、的输入支对于级联开型或并联型结构，可在每个基本节的输入支路加衰减因子，如图所示。路加衰减因子，如图所示。12AA和47如果如果 ，图中，图中 均按下式均按下式计算，以保证每节输出接点不溢出：计算，以保证每节输出接点不溢出：1|maxx01|()|kkmAh m 对于基本节内部的加法可能有溢出，但理论可对于基本节内部的加法可能有溢出，但理论可以证明对补码加法，只要输出节点不溢出，网络内部以证明对补码加法，只要输出节点不溢出，网络内部的溢出不影响结果的正确性。的溢出不影响结果的正确性。（9.1.19）最后要指出的是按照（最后要指出的是按照（9.1.17）式或（）式或（9.1.19）式选择减）式选择
49、减因子比较保守。经常用下式计算：因子比较保守。经常用下式计算：481/2201|()|mAh m（9.1.20）5式中，式中，是大于是大于1 1的数，如果输入信号是方差为的数，如果输入信号是方差为1 1的白噪的白噪声，可选声，可选。1、按照差分方程求解系统输出的软件流程、按照差分方程求解系统输出的软件流程 49例：例：假设两个二阶网络的级联结构如图所示。假设两个二阶网络的级联结构如图所示。(),(1)0,(2)0 x nxx1234012345(1)0,(2)0,(1)0,(2)0,aaaabbbbbbwwyy系统参数：、初始条件：从从n=0开始加入信号开始加入信号要求设计求输出响应的软件流程
50、图。要求设计求输出响应的软件流程图。解：网络差分方程为解：网络差分方程为 求暂态解时，对于求暂态解时，对于N阶差分方程阶差分方程要给定要给定N个初始条件，本题中的个初始条件，本题中的2个个2阶网络的初始条件均已给定。阶网络的初始条件均已给定。根据差分方程可得到根据差分方程可得到软件流程图：软件流程图：501201234345()(1)(2)()(1)(2)()(1)(2)()(1)(2)w na w na w nb x nb x nb x ny na y na y nb w nb w nb w n2、线性时不变系统的、线性时不变系统的MATLAB实现实现51线性时不变系统的实现函数：线性时不变
