1、第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程7.1 随机过程的高阶统计量的定义和性随机过程的高阶统计量的定义和性质质7.2 非平稳过程的非平稳过程的 Wigner-Ville时频谱分时频谱分析析7.3 循环平稳过循环平稳过程程7.4 二阶循环平稳过程的循环相关函数与循环谱二阶循环平稳过程的循环相关函数与循环谱 7.5 高阶循环平稳过程的循环累积量与循环高阶循环平稳过程的循环累积量与循环谱谱习习题七题七第7章 非平稳随机过程在实际应用中，人们常常假设信号或噪声是宽平稳过程，从而仅利用了过程的二阶统计量信息。但是，平稳过程只是随机过程的一种类型，而在实际工作中，我们常常面临大量非平稳过程。对非平稳
2、过程来说，二阶统计量只含其中一部分信息，它不包含相位信息。高阶统计量便是解决非平稳过程的主要手段。高阶统计量给我们提供了前所未有的十分丰富的信息。第7章 非平稳随机过程非平稳过程很难有统一而完整的分析方法，常要根据问题的具体特性再确定具体的分析方法。本章只能简单介绍近年来正在引起研究者注意的随机过程的高阶统计量及其高阶谱，非平稳随机过程的 Wigner-Ville 谱分析和高阶循环平稳过程的循环统计量及其循环谱的概念和有关性质。第7章 非平稳随机过程7.1 随机过程的高阶统计量的定义和性质随机过程的高阶统计量的定义和性质平稳过程的自相关函数和功率谱密度只含有信号的二阶统计量中所包含的信息。因此
3、，自相关函数和功率谱密度足以完全地统计描述具有已知均值的平稳正态过程。但由于平稳过程的自相关函数和功率谱密度不包含该平稳过程的相位信息，而在实际应用中往往需要提取信号的相位信息。随机过程的高于二阶的统计量及其 Fourier 变换高阶谱则含有过程的相位信息和由于偏离高斯性的有关信息。第7章 非平稳随机过程所谓高阶统计量，通常应理解为高阶矩、高阶累积量以及它们的谱高阶矩谱和高阶累积量谱这四种主要统计量。一般来说，在信号处理等中利用高阶统计量和高阶谱具有以下三个方面的原因:(1)在检测、参数估计和信号重建问题中抑制未知谱特性的高斯噪声(双谱还能抑制具有对称概率密度函数的非高斯噪声);(2)重建信号
4、或系统的相位与振幅响应;(3)识别非线性系统或检测与刻画时间序列的非线性性。第7章 非平稳随机过程其中第一个原因的根据是只有正态过程的所有阶数大于 2 的高阶累积量恒为 0。若接收到的是伴有加性正态噪声的非正态信号，则在高阶累积量域中处理便可去掉噪声。可见，在类似这样的信号处理应用中，在观测数据的高阶谱域中进行检测与估计信号参数，便有某些优势。特别地，高阶谱域可以变为高信噪比(SNR)域，因此在高阶谱域可以进行检测、参数估计，甚至于整个信号的重建。第7章 非平稳随机过程第二个原因是因为高阶谱保持了信号的真实相位特性。由于二阶统计量一般是由最小二乘优化准则得到的，故对于信号处理问题中的时间序列数
5、据的处理几乎毫无例外地使用了二阶统计量。然而，自相关域中相位信息受到抑制，在自相关域(或功率谱域)中进行准确的相位重建仅对最小相位信号才能实现。另一方面，由于多谱既保持了正确的振幅信息，也保持了正确的非最小相位信息，因此可在高阶谱域内进行非最小相位信号的重建或系统识别。第7章 非平稳随机过程最后，高阶谱对于我们识别在随机输入工作下系统的非线性性是非常有用的，高阶谱在利用输出数据来检测和刻画系统的非线性性中起着至关重要的作用。本节简要介绍复随机过程的高阶统计量的定义及性质。第7章 非平稳随机过程7.1.1 矩与累积量矩与累积量设 X=X(t)，t T 为一复随机过程，由于其每个随机变量都有共轭和
6、非共轭两种选择，因此其 k 阶矩和其 k 阶累积量有 2k种形式。为使之具有一般性，我们定义第7章 非平稳随机过程分别为 X 的 k 阶矩和 k 阶累积量，其中而X(1，2，k)=E exp j(1 X(0)(t)+2 X(1)(t+1)+k X(k-1)(t+k-1)为 k 维随机向量(X(0)(t)，X(1)(t+1)，X(k-1)(t+k-1)的特征函数(也称为矩生成函数)，其对数 ln X(1，2，k)通常称为 k 维随机向量(X(0)(t)，X(1)(t+1)，X(k-1)(t+k-1)的第二特征函数(或累积量生成函数)。第7章 非平稳随机过程高阶累积量和高阶矩之间可以互相转换，这就
7、是如下著名的累积量矩(CM)公式和矩累积量(MC)公式，它们对累积量的估计、计算及应用有着重要的意义:累积量矩(CM)公式:第7章 非平稳随机过程矩累积量(MC)公式:式中 I=0，1，k-1，I 1，I 2，I q 为 I 的一种分割(Partition)，求和符号示对 I 所有可能的分割求和。第7章 非平稳随机过程利用(MC)公式知，复严平稳过程 X(t)的一、二、三和四阶累积量(假设存在)分别为第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程特别地，若 X(t)为实的严平稳过程，则在(7.1.6)式中取 =0 得此即为过程 X(t)的方差;同样，在(7.1.7)式中取 1=2=0 得第7章
8、非平稳随机过程称之为过程 X(t)的偏度;而(7.1.8)式中取 1=2=3=0 得称之为过程 X(t)的峰度。注意到正态过程的偏度和峰度都为零，故偏度和峰度可以用来衡量零均值实平稳过程偏离正态的程度。累积量有许多重要的性质，在此，我们列出其主要性质。第7章 非平稳随机过程性性质质 7.1.1 (线性性)设 i，i=1，2，n 为复常数，X i，i=1，2，n 为复随机变量，则性质性质 7.1.2 如果 X ik，i=1，2，m k，k=1，2，n 为复随机变量，则第7章 非平稳随机过程性质性质 7.1.3 (可加性)如果 X ik，i=1，2，m，k=1，2，n 为独立复随机变量，则可加性是
9、累积量的一个非常重要的性质，但这一性质对高阶矩并不成立。第7章 非平稳随机过程性质性质 7.1.4 (盲高斯性)设(X 1，X 2，X n)为 n 维复高斯随机变量，且 n 2，则该性质是累积量的另一个重要性质，它对高阶矩也不成立。第7章 非平稳随机过程性质性质 7.1.5 如果复随机变量 X i(i=1，2，n)的一个子集与其余的随机变量独立，则这一性质对高阶矩也不成立。性质性质 7.1.6 设 i，i=1，2，n 为复常数，X i，i=1，2，n 为复随机变量，则第7章 非平稳随机过程7.1.2 多谱多谱(累积量谱累积量谱)如果平稳过程 X=X(t)，t T 的 n 阶累积量函数 cnX(
10、1，n-1)绝对可积，即则 cnX(1，n-1)的 n-1 维 Fourier 变换存在且连续，称之为 X 的 n 阶谱或 n-1 谱，即一般地，对 n 2，CnX(1，n-1)是复的，它存在振幅和相位。第7章 非平稳随机过程累积量谱还是一个周期为 2 的周期函数:我们设功率谱、双谱和三谱为累积量的特例，具体说明如下:(1)功率谱:n=2，则其中 c2 X()为 X 的协方差函数。第7章 非平稳随机过程(2)双谱:n=3，则其中 c3 X(1，2)为 X 的三阶累积量函数。第7章 非平稳随机过程(3)三谱:n=4，则其中 C4 X(1，2，3)为 X 的四阶累积量函数。第7章 非平稳随机过程7
11、.1.3 线性非正态过程线性非正态过程设线性时不变系统 L 的输入和输出分别为平稳过程 X=X(t)，t (-，)和 Y=Y(t)，t (-，)，且线性时不变系统 L 是稳定的，即其脉冲响应函数绝对可积，若输入过程 X 的 n 阶累积量谱存在，则输出过程 Y 的 n 阶累积量谱也存在且为其中 H()为线性时不变系统 L 的频率响应。第7章 非平稳随机过程特别地，若 X 为非正态的独立过程，则其 n 阶累积量谱为从而输出过程 Y 的 n 阶累积量谱为第7章 非平稳随机过程可见，Y 的 n 阶累积量谱与 n-1 阶累积量谱具有关系因此，除了一个常数因子外，可由非正态的线性过程的双谱得到其功率谱，即
12、由于高阶谱能够保持相位信息，因此可将之用于非最小相位系统的识别。第7章 非平稳随机过程7.2 非平稳过程的非平稳过程的 Wigner-Ville 时频谱分析时频谱分析在通信、雷达和水声等应用中，传输介质和目标散射的作用常作为随机时变空变的系统来处理，这时，即使被传输的信号是确定性的，其接收信号或回波也是随机时变的，甚至是非平稳的，通过对这种系统输出的 Wigner-Viller(WV)谱分析，可获得系统的时频分布的信息特征。因此，很有必要研究线性随机时变系统的 WV 谱。第7章 非平稳随机过程7.2.1 随机时变连续信号和非平稳随机过程的随机时变连续信号和非平稳随机过程的 WV 谱谱随机时变连
13、续信号和非平稳随机过程 X 的自相关函数为若用 t-(/2)代替上式中的 t，可得其对称型的自相关函数为(仍记为 R X(t，)第7章 非平稳随机过程与确定性连续信号的 Wigner-Ville 分布(WVD)定义相似(关于确定性连续信号的 WV 分布定义与性质，可参阅参考文献9)，随机时变连续信号和非平稳随机过程 X 的 WV 谱定义为第7章 非平稳随机过程与确定性连续信号的 WVD 定义相比，只是在上式中还需要取数学期望。将(7.2.2)式代入(7.2.3)式，得可见随机时变连续信号和非平稳随机过程 X 的 WV 谱是(7.2.2)式对称型自相关函数R X(t，)关于 的 Fourier
14、变换。第7章 非平稳随机过程WV 谱具有确定性连续信号 WVD 的很多性质，和其它谱表示(如周期图等)比较，WV谱不要求过程的能量有限，也不受分析时间的限制，因此，它特别适合随机时变和非平稳随机过程的分析。第7章 非平稳随机过程7.2.2 随机时变离散信号和非平稳随机序列的随机时变离散信号和非平稳随机序列的 WV 谱谱随机时变离散信号和非平稳随机序列 X(n)的自相关函数为在上式中先以 n-(m/2)代替 n，并令 k=m/2，可得对称型自相关函数为第7章 非平稳随机过程与确定性离散信号的 WV 分布定义相似(关于确定性离散信号的 WV 分布定义和性质可参阅参考文献9)，随机时变离散信号和非平
15、稳随机序列的 WV 谱定义为同样，它和确定性离散信号的 WVD 定义相比，只是在上式中还需取数学期望。将(7.2.6)式对称型自相关函数代入(7.2.7)式 WV 谱，得它们的关系为这种 WV 谱也具有确定性离散信号 WVD 的很多性质。第7章 非平稳随机过程7.2.3 线性随机时变系统输出的线性随机时变系统输出的 WV 谱谱由上述研究可知，只要对线性非随机时变系统输出的 WVD 式中有关量取数学期望即得线性随机时变系统输出的 WV 谱。因此，若输入 x(t)是确定性信号，系统是线性随机时变的，则输出 Y 的 WV 谱定义为第7章 非平稳随机过程式中若定义随机时变系统的时变脉冲响应的对称型自相
16、关函数为第7章 非平稳随机过程则将上式代入(7.2.10)式得即随机时变系统的时变脉冲响应 WV 谱是对称型自相关函数 R h(t，t，)的二维 Fourier变换。第7章 非平稳随机过程随机时变系统统计特性的描述，除了用其时变脉冲响应 h(t，t)的对称型自相关函数外，还常用其广义传递函数 H(，t)的对称型自相关函数 R H(，t，?，):式中第7章 非平稳随机过程H(，t)的 WV 谱为它为 R H(，t，?，)对 的 Fourier 变换及对?的 Fourier 反变换。第7章 非平稳随机过程随机时变系统输出的 WV 谱为第7章 非平稳随机过程由于第7章 非平稳随机过程将(7.2.18
17、)式代入(7.2.17)式，得由(7.2.15)式有第7章 非平稳随机过程将上式代入(7.2.19)式，得第7章 非平稳随机过程随机时变系统有三种特殊情况:(1)在时域是宽平稳的，即其自相关函数在时域仅取决于时间差 t=t-t，而与绝对时间 t 和 t 无关;(2)在频域是宽平稳的，即其自相关函数在频域仅取决于频率差 =-，而与绝对频率 与 无关;(3)在时域与频域都是宽平稳的，这时，其自相关函数在时域取决于 t，同时在频域取决于 。对这些特殊情况下的各种自相关函数关系的讨论可参考文献10，不难将它们推广应用于随机时变系统输出的 WV 谱，这里就不再详细叙述了。第7章 非平稳随机过程7.3 循
18、环平稳过程循环平稳过程循环平稳过程也可分为严循环平稳过程和宽循环平稳过程两类。第7章 非平稳随机过程7.3.1 严循环平稳过程严循环平稳过程定定义义 7.3.1 设 X=X(t)，t T 是随机过程，如果存在正常数 T 0，使对任意 n 1，t 1，t 2，t n T 和 m，当 t 1+mT 0，t 2+mT 0，t n+mT 0 T 时，X(t 1)，X(t 2)，X(t n)与 X(t 1+mT 0)，X(t 2+mT 0)，X(t n+mT 0)有相同的联合分布函数，则称 X是一严(或强、狭义)循环平稳过程。第7章 非平稳随机过程严循环平稳过程描述的物理系统，其概率特征随时间的推移而呈
19、现周期性变化。由于上式不是对于每个 ，而仅对于 =mT 0 才成立，所以循环平稳过程不是平稳过程。然而对于任意的 ，离散时间过程 X(nt+)却是平稳的。这表明平稳过程与循环平稳过程之间有着密切的关系。事实上，我们有如下定理。第7章 非平稳随机过程定理定理 7.3.1 设 X 具有周期 T 0 的严循环平稳过程，为区间(0，T 0)内的均匀分布随机变量，且与 X 相互独立，则随机过程 Y(t)=X(t-)是严平稳的，且其 n 维分布函数为第7章 非平稳随机过程证明证明 只需证事件 A=Y(t 1+)y 1，Y(t n+)y n 的概率与 无关且等于定理中的积分即可。由于而第7章 非平稳随机过程
20、故第7章 非平稳随机过程7.3.2 宽循环平稳过程宽循环平稳过程定定义义 7.3.2 对二阶矩过程 X=X(t)，t T，如果存在 T 0，使得(1)对任意 t T，m X(t+mT 0)=m X(t);(2)对任意 s，t T，R X(s+mT 0，t+mT 0)=R X(s，t)。则称 X 为宽(或弱、广义)循环平稳过程。第7章 非平稳随机过程可见，广义循环平稳过程的相关函数 R(s，t)在 s，t 平面的对角线上呈周期性。应该指出，类似于平稳过程，广义循环平稳过程一定是二阶矩过程，而严循环平稳过程则不一定是二阶矩过程，从而也就不一定是广义循环平稳过程。当然，如果严循环平稳过程存在二阶矩，
21、则它一定是宽循环平稳过程，这可由严循环平稳过程的特点推得。宽循环平稳过程也不一定是严循环平稳过程。这是因为仅一、二阶矩循环平稳并不能确定分布循环平稳。对于正态过程，宽循环平稳性与严循环平稳性是等价的，这是因为正态过程的有限维分布完全由其均值函数和协方差函数所确定。第7章 非平稳随机过程定理定理 7.3.2 设 X=X(t)，t T 是具有周期 T 0 的广义循环平稳过程，为区间(0，T 0)内均匀分布的随机变量，且与 X 相互独立，则其位移过程 Y(t)=X(t-)是宽平稳的，且其均值和自相关函数分别为第7章 非平稳随机过程证明证明 因为 与 X 相互独立，且 m X(t+T 0)=m X(t
22、)，故类似地可求得第7章 非平稳随机过程例例 7.3.1 假定 f(t)是以 T 0 为周期的周期函数，且 X(t)=f(t)，则 X 是(确定性的)严格循环平稳过程，其均值函数为 f(t)，自相关函数为 f(s)f(t)，因此由定理 7.3.1 可知，位移过程 Y(t)=X(t-)是严平稳的，其均值为自相关函数为第7章 非平稳随机过程例例 7.3.2 (二元传输)设随机过程 X(t)在长度为 T 的区间 T n=(n-1)T，nT)内，以相等的概率取 1 为值，且在任意两个不相重叠的区间内的取值相互独立。则 X 是零均值的循环平稳过程。此外，仅当 s，t 处于同一区间 T n 内时，有 E
23、X(s)X(t)=1，否则 E X(s)X(t)=0，因此 试证 明，其 位 移 过 程 Y(t)=X(t-)的 自 相 关 函 数 为 三 角 波 函 数，即 R Y()=1-第7章 非平稳随机过程证明证明 由定理 7.3.2 可知，只需考虑 0 t T 即可。若 0，则仅当 T 和 t T-时，有 R(t，t+)=1。因此若 -T 和 t T+=T-|时，有 R(t，t+)=1。因此故结论成立。第7章 非平稳随机过程7.4 二阶循环平稳过程的循环相关函数与循环谱二阶循环平稳过程的循环相关函数与循环谱在许多信号处理问题中会碰到非平稳随机过程。复几乎循环平稳信号为具有几乎周期时变统计特性的复随
24、机信号，它对研究信息系统中的一些非高斯过程具有重要意义。对于雷达、声纳、通信和遥测系统所碰到的绝大部分人工信号，有些参数随时间周期变化，甚至于有随时间具有多个互不可约周期的参数。振幅、相位与频率调制系统中的正弦载波，数字调制系统中的振幅、相位或频率的周期键控，电视、传真与某些雷达系统中的周期扫描就是这样的例子。第7章 非平稳随机过程虽然在有些情况下信号处理器可以忽略这些周期性，但在检测、估计或信息提取等许多情形下了解和利用信号的周期性可大大增加信号处理器的效益。另外在波达方向估计、空域滤波和非平稳过程的检测等方面要用到复几乎循环平稳信号。本节将介绍二阶几乎循环平稳过程的二阶循环累积量和二阶循环
25、谱，并讨论它们的基本性质。为给出复几乎循环平稳过程的概念，先来引入连续几乎周期函数和离散几乎周期函数的概念。第7章 非平稳随机过程定义定义 7.4.1 称实数集 R 上的连续函数 f(t)为几乎周期函数，如果对任意的 0，存在数 T 0()0，使得在实直线 上的任意长为T 0()的区间内，至少存在一点，使得显然，具有周期 T 0 的周期函数是几乎周期函数，因为取 T 0 ()=T 0，则对任意长为 T 0的区间内，存在一点 =kT 0 ，这里 k 为某一整数，使得 f(t+)-f(t)0。几乎周期函数的一个重要且有用的性质为，它存在唯一的 Fourier 级数表示。第7章 非平稳随机过程第7章
26、 非平稳随机过程定义定义 7.4.3 对于固定的 ，若 c 11 X(t;)可表示为关于 t 的 Fourier 级数，则 Fourier 系数 C 11 X(;)称为 X(t)在循环频率 处的二阶循环累积量，称 11为几乎周期累积量的循环频率集。第7章 非平稳随机过程由几乎周期函数的性质，可知 11是可数集。另外，由于离散指数基函数是以 2 为周期的周期函数，故若 11，则对任意的整数 l，+2 l 也是循环频率，但只需考虑 0，2)中的 就足以描述离散 Fourier 级数。将时变累积量表示为 Fourier 级数的思想在于其 Fourier 级数的循环 Fourier 系数是时不变的，因
27、此可利用单次记录的估计量估计，有了这些循环系数，就有可能通过计算相应的Fourier 级数来合成所需要的统计量。在实际中单次记录非常重要且已经应用于许多信号处理的算法。第7章 非平稳随机过程如果 X(t)为一平稳的复过程，则 c 11 X(t;)=c 11 X()，因此 C 11 X(;)=c 11 X()()。可见 C 11 X(;)仅当 =0 时非零，且 C 11 X(0;)=c 11 X()。故循环频率的存在反映了统计量(关于时间)的变化，因而 =0 表示统计量的直流分量部分，而其它频率表示统计量的“起伏”部分，即 越大，则它随时间变化越快。循环域提供了利用循环频率分离信号的方法，并且由
28、于平稳过程的循环统计量为零，故循环平稳方法对于加性平稳噪声不敏感。第7章 非平稳随机过程类似于平稳信号情形，如果 c 11 X(t;)关于 绝对可和，则将 c 11 X(t;)对延迟 求Fourier 变换可得到下面的时变谱与循环谱概念。设 c 11 X(t;)对每一 t 关于 绝对可积，定义时变谱和循环谱如下。第7章 非平稳随机过程定义定义 7.4.4 复循环平稳过程 X(t)的二阶时变累积量谱和二阶循环累积量谱分别定义为第7章 非平稳随机过程利用定义 7.4.3 和定义 7.4.4，可以证明，第7章 非平稳随机过程图 71 所示的为 c 11 X、C 11 X、S 11 X、H 11 X之
29、间的关系，其中 FT 表示 Fourier 变换，FS表示 Fourier 级数。下面给出循环相关函数和循环谱的几个基本性质，它们为平稳过程相应结果的推广。第7章 非平稳随机过程图 71 时域、循环域和频域之间的相互关系第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程7.5 高阶循环平稳过程的循环累积量与循环谱高阶循环平稳过程的循环累积量与循环谱上一节讨论了复宽循环平稳过程的二阶循环相关函数和循环谱的定义及其性质，但有些随机过程不具有二阶循环平稳性，而具有高阶循环平稳性。例如，设 X(t)为一零均值的平稳的非高斯带限信号，若 X(t)通过一频率为 0 的
30、载波发射到具有加性高斯噪声的信道中，则接收信号为第7章 非平稳随机过程式中，vc(t)表示信道的未知协方差的(可能非平稳的)加性复高斯噪声;v I(t)为发射机产生的或故意发射的与信息具有相同频率的作为干扰的(可能非平稳的)加性复高斯噪声，且X(t)、v c(t)和 v I(t)相互独立。因此 Y(t)的二阶累积量为可见由于存在 c11 v I 和 c 11 v c，一般由 c 11 Y 得不到 c 11 X，这说明二阶循环方法受循环平稳噪声的影响。第7章 非平稳随机过程另一方面，Y(t)的三阶非平稳累积量为因此可以用 c(-1，1，1)3 Y(t;1，2)来估计 c(-1，1，1)3 X(1
31、，2)。这对于有关 X(t)的基于累积量的检测和参数估计是有用的。第7章 非平稳随机过程由于循环平稳过程的循环累积量，(1)对未知谱的(可能非平稳的)加性(实或复)高斯噪声是盲的，(2)保持了时变的相位信息，而二阶循环平稳方法缺少这两个特点，故有必要研究高阶循环平稳方法。本节简单介绍 k 阶几乎循环平稳的非平稳复过程的高阶循环累积量及高阶循环谱的定义和性质。正如 Brillinger 和 Rosenblatt 所指出的那样，对于复信号，由于在 k 阶累积量中复共轭的位置不同而有不同的 k 阶累积量，人们通常是根据问题的需要选择相应的 k 阶累积量。这里我们将各种定义作了统一的定义，它包括了所有
32、类型。第7章 非平稳随机过程设 X(t)为一离散时间的非平稳的复过程，其 k 阶矩与 k 阶累积量由式(7.1.1)和式(7.1.2)定义。复值过程 X(t)称为 k 阶几乎循环平稳的，如果它的一阶直到 k 阶累积量(假定存在)均为关于时间 t 的几乎周期函数。利用累积量和矩的关系，以及有限个几乎周期函数的和与积仍为几乎周期函数这一性质易见，k 阶复循环平稳过程的 k 阶矩关于 t 也是几乎周期函数。第7章 非平稳随机过程定义定义 7.5.1 对于固定的 和 ，若 ckX(t;1，k-1)可表示为关于 t 的 Fourier 级数:则 Fourier 系数 CkX(;)称为 X(t)在循环频率
33、 处的 k 阶循环累积量。(几处)周期的循环累积量的循环频率集 k是可数集。第7章 非平稳随机过程类似地，可定义 X(t)在循环频率 处的 k 阶循环矩。(几乎)周期的循环矩的循环频率集k也是可数集。由于离散指数基函数是以 2 为周期的周期函数，故若 k，则对所有整数 l，+2l也为循环频率，但我们只需考虑0，2)中的 ，就可完全描述离散 Fourier 级数，对 k有类似结论成立。假定 ckX(t;)对每一 t 关于 绝对可和，我们来给出时变多谱和循环多谱的定义。第7章 非平稳随机过程定义定义 7.5.2 设 =(1，k-1)，则复循环平稳过程 X(t)的时变累积量谱和循环累积量谱分别定义为
34、类似地，可定义复循环平稳过程 X(t)的时变矩谱和循环矩谱。利用定义 7.5.1 和定义7.5.2，可以证明第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程性质性质 7.5.3，及 i=1，2，k-1，有则第7章 非平稳随机过程证明证明 由累积量的多线性性，可得第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程习习 题题 七七1.设 X 是一个非零均值的严平稳过程，试利用 MC 公式将 X 的四阶累积量用 X 的矩表示。2.设 1，2，n 为 n 个相互独立的随机变量，试证明i 的第二特征函数为其中 i(t)为随机变量 1的第二特征函数。第7章 非平稳随机过程
35、 3.设 m r 和 c r 分别为随机变量 X 的 r 阶矩和 r 阶累积量，试证明:4.试证明服从参数为 的 Poisson 分布的随机变量 的所有阶累积量相同，并求 的偏度和峰度。第7章 非平稳随机过程 5.设 c k 和 c k 分别为两个相互独立的随机变量 和 的累积量，试证明和 =+的累积量 ck 等于 c k 与 c k 之和。6.设 X 是一个周期为 T 的实循环平稳过程，m(t)和 R(s，t)分别为 X 的均值函数和自相关函数，若当|时有 R(t，t+)m 2(t)，求证以概率 1 有第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第
36、7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章
37、非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳
38、随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过
39、程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7
40、章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非
41、平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程第7章 非平稳随机过程
