1、 1 20192019- -20202020 学年九年级（上）期末数学试卷学年九年级（上）期末数学试卷 一选择题（共一选择题（共 1010 小题）小题） 1.在比例尺为 1：n 的某市地图上，A，B 两地相距 5cm，则 A，B 之间的实际距离为（ ） A. 1 5 n cm B. 1 25 2 ncm C. 5cm D. 25 2 ncm 【答案】C 【解析】 【详解】设 A、B 之间的实际距离为 xcm，则 1：n=5：x，解得 x=5ncm，故选 C 点睛：本题考查了比例尺的性质，解题的关键是根据比例尺的性质列方程，解方程即可，注意统一单位 2.如图，是由四个完全相同的小正方形组成的立体
2、图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案 【详解】解：从上边看第一层一个小正方形，第二层在第一层的正上方一个小正方形，右边一个小正方形， 故选 B 【点睛】简单组合体的三视图从上边看得到的图形是俯视图 3.有三张正面分别写有数字 1，2，3的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽 取一张，记录卡片上的数字，然后放回卡片，再将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，记录卡片上 的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（ ） 2 A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 5 9 【答案】D
3、【解析】 【分析】 可用列树状图的方法分析出共有几种情况，再找出符合题意的情况即可得出答案. 【详解】根据题意画图如下： 由树状图知，共有 9 种等可能结果，其中两个数字乘积是正数的有 5种， 则记录的两个数字乘积是正数的概率是 5 9 ； 故选：D 【点睛】本题考查的是概率的问题，能够画出树状图分析出具体情况是解题的关键. 4.若菱形的一条边长为 5cm，则这个菱形的周长为（ ） A. 20cm B. 18cm C. 16cm D. 12cm 【答案】A 【解析】 【分析】 根据菱形的性质可知菱形四边都相等，继而可求周长. 【详解】菱形的四条边都相等， 其边长都为 5cm， 菱形的周长452
4、0cm 故选：A 【点睛】本题考查的是菱形的性质和周长，能够知道菱形四边都相等是解题的关键. 5.一元二次方程 2 x616可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x64，则另一个 3 一元一次方程是【 】 A. x64 B. x64 C. x64 D. x64 【答案】D 【解析】 将 2 x616两边开平方，得x64 ，则则另一个一元一次方程是x64 故选 D 6.如图，ABC中，D、E分别在AB、AC上，下列条件中不能判断 ADEACB的是（ ） A. ADEC B. AEDB C. ADAE ACAB D. ADDE ACBC 【答案】D 【解析】 【分析】 根据相似三角形的判
5、定定理对各选项进行逐一判断即可 【详解】解： A.ADE=AC，A=A，则可判断 ADEACB，故此选项错误； B. AEDB ，A=A，则可判断 ADEACB，故此选项错误； C. AD AE ACAB ，且夹角A=A，能确定 ADEACB，故此选项错误； D. AD DE ACBC ，不能判定 ADEACB，故此选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键 7.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图） ，原空地一边减少了 1m，另 一边减少了 2m，剩余空地的面积为 18m2，求原正方形空地的边长设原正方
6、形的空地的边长为 xm，则可 列方程为（ ） 4 A. （x+1）（x+2）=18 B. x23x+16=0 C. （x1）（x2）=18 D. x2+3x+16=0 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：可设原正方形的边长为 xm，则剩余的空地长为（x1）m，宽为（x2）m根据长 方形的面积公式列方程可得-1-2xx=18 故选 C 考点：由实际问题抽象出一元二次方程 8.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC的顶点 A，B 分别在 x 轴，y轴的负半轴上，ABC 90 ，CAx轴，点 C 在函数 y k x （x0）的图象上，若 AB1，则 k的值为（ ） A. 1 B. 1
7、C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据“等腰直角三角形 ABC 的顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的负半轴上，ABC90，CAx 轴，AB1” 可知BACBAO45，继而可知 OA，OB 与 AC 的长，从而可以确定点 C 的坐标，然后根据点 C 在函数 图像上，代入求解即可. 【详解】等腰直角三角形 ABC顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的负半轴上，ABC90，CAx 轴，AB1， 5 BACBAO45， OAOB 2 2 ，AC 2， 点 C 的坐标为 2 2 2 ， 点 C 在函数0 k yx x 的图象上， 2 21 2 k ， 故选：A 【点睛】本题考查的是
8、直角三角形与坐标的关系和反比例函数，能够确定点 C 的坐标是解题的关键. 9.在一个不透明的袋子里装有3个黑球和若干白球， 它们除颜色外都相同 在不允许将球倒出来数的前提下， 小明为估计其中白球数，采用如下办法：随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机 摸出一球，记下颜色，不断重复上述过程小明共摸100次，其中20次摸到黑球根据上述数据，小明 估计口袋中白球大约有（ ） A. 10 个 B. 12 个 C. 15 个 D. 18 个 【答案】B 【解析】 试题分析：小明共摸了 100 次，其中 20 次摸到黑球，则有 80 次摸到白球；摸到黑球与摸到白球的次数之 比为 1：4，
9、由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为 1：4；即可计算出白球数 解：小明共摸了 100 次，其中 20 次摸到黑球， 有 80 次摸到白球， 摸到黑球与摸到白球的次数之比为 1：4， 口袋中黑球和白球个数之比为 1：4， 3 =12（个） 故选 B 6 点评：本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可 10.二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，且 a0）的图象如图所示，图象与 x轴交点都在点（3，0） 的右边，下列结论：b24ac，abc0，2a+bc0，a+b+c0，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据图像与
10、 x 轴的交点个数可知二次函数有两个不相等的实数根， 所以0， 可判断； 根据图像开口放向， 对称轴与 y 轴的关系和与 y 轴的交点在正半轴可判断 a， b， c 的正负， 从而可以判断； 根据对称轴为 x=-1 可判断；然后即可选出答案. 【详解】由图可知，抛物线与 x 轴有两个交点，则 b 24ac0，则 b24ac，故符合题意； 由图可知，抛物线对称轴在 y 轴左侧，则 a、b 同号，即 ab0又抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c0， 所以 abc0，故符合题意；根据对称轴为直线 x1，抛物线与 x 轴一个交点3x12 可判断. 由图可知，对称轴 x 2 b a 1，则 b2a 2a+
11、bc4ac， a0，4a0， c0，c0， 2a+bc4ac0， 故不符合题意； 对称轴为直线 x1，抛物线与 x 轴一个交点3x12， 抛物线与 x 轴另一个交点 0 x21， 当 x1 时，ya+b+c0， 7 故符合题意； 综上所述，正确的结论是： 故选：B 【点睛】本题考查的是二次函数图像的综合问题，能够根据二次函数图像分析出各系数的情况是解题的关 键. 二填空题（共二填空题（共 6 6 小题）小题） 11.将二次函数 2 45yxx化成 2 ()ya xhk的形式为_ 【答案】 2 2()1yx 【解析】 【分析】 利用配方法整理即可得解 【详解】解： 222 454()4 121y
12、xxxxx ， 所以 2 2()1yx 故答案为 2 2()1yx 【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式： 2 (yaxbxc 0,aabc、 、为常数)； (2)顶点式： 2 ()ya xhk； (3)交点式(与x轴)： 12 ()()ya xxxx 12.如图，在边长为 1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形， 点 O 和点 P 也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点_ 8 【答案】P 【解析】 【分析】 把图形的对应定点连线，都相交的那个点就是位似中心. 【详解】如图所示：这两个三角形的位似中心是点 P 故答案为：P
13、 【点睛】本题考查的是位似图形的位似中心，解题的关键是知道位似图形的对应点的连线相交的点就是位 似中心. 13.反比例函数 y k x （k0）的图象上有一点 P（2，n） ，将点 P 向右平移 1个单位，再向下平移 1个单位 得到点 Q若点 Q也在该函数的图象上，则 n_ 【答案】3 【解析】 【分析】 根据“将点 P 向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位得到点 Q”可知点 Q 的坐标，再根据 P，Q 都在函数 图像上即可解得 n 的值. 【详解】点 P 的坐标为（2，n） ，将点 P 向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位得到点 Q 点 Q 的坐标为（3，n1） ， 依题意得
14、：k2n3（n1） ， 解得：n3， 故答案：3 【点睛】本题考查的是反比例函数和几何变换，掌握坐标系中点的坐标向右平移横坐标加，向下平移纵坐 9 标减的变化是解题的关键. 14.三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 2 x-6x+8=0 的解，则此三角形的第三边长是_ 【答案】4 【解析】 【分析】 求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三 边关系定理；求出即可 【详解】解：x2-6x+8=0， （x-2） （x-4）=0， x-2=0，x-4=0， x1=2，x2=4， 当 x=2时，2+36，不符合三角形的三边关系定
15、理，所以 x=2舍去， 当 x=4时，符合三角形的三边关系定理，此三角形的第三边长是 4， 故答案为 4 【点睛】本题考查三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是掌握三角形的三边关系定理， 三角形的两边之和大于第三边 15.两个相似多边形的一组对应边分别为 3cm和 4.5cm 如果它们的面积和为 78cm2， 那么较大多边形的面积 为_cm2 【答案】54. 【解析】 【分析】 根据位似比等于相似比，相似比的平方等于相似图形的面积比列式计算即可. 【详解】设较大多边形的面积为 xcm 2，则较小多边形的面积为： （78x）cm2， 两个相似多边形的一组对应边长分别为 3cm 和
16、4.5cm， x： （78x）4.5 2：32， 解得 x54 故答案为：54. 【点睛】本题考查的是位似与相似，知道位似比就是相似比，相似比的平方就是相似图形的面积比是解题 10 的关键. 16.如图，在矩形 ABCD中，AB3，BC5，点 E在 AD边上且不与点 A和点 D 重合，点 O是对角线 BD 的中点，当OED 是等腰三角形时，AE 的长为_ 【答案】 33 10 或 5 34 2 【解析】 【分析】 分三种情况讨论：当 OEDE 时，OED 是等腰三角形，连接 OA，根据勾股定理可求 BD，根据点 O 是中点 可知 ODOBOA，进而可证得ODEADO，得到相似比即可求出答案；D
17、EOD，继而可知 AE=AD-OD； ODOEE 与点 A 重合，不合题意舍去，故此可得出最终答案. 【详解】 当 OEDE 时，OED 是等腰三角形，如图 1，连接 OA，在矩形 ABCD 中，CDAB3，ADBC5，BAD 90， 在 RtABD 中，根据勾股定理得，BD34， O 是 BD 中点， ODOBOA 34 2 ， OADODA， OEDE， EODODE， EODODEOAD， ODEADO， 11 DODE ADDO ，DO2DEDA， 设 AEx， DE5x， 2 34 2 5（5x） ， x 33 10 ， 即：AE 33 10 ； 如图 2，当 DEOD 34 2 时
18、，当OED 是等腰三角形， AE5 34 2 ； 当 ODOE 34 2 时，当 E 与点 A 重合，不合题意舍去， 综上所述，当OED 是等腰三角形时，AE 的长为 33 10 或 5 34 2 ； 故答案为： 33 10 或 5- 34 2 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定和相似三角形的判定与性质，能够分情况讨论是解题的关键. 三解答题（共三解答题（共 9 9 小题）小题） 17.如果 23 xy ，那么 xy xy _ 【答案】-5 【解析】 【分析】 12 把 23 xy 变形为 2 3 y x ，代入比例式即可求解答案 【详解】解： 23 xy 2 3 y x 2 3 5 2 3
19、 y y xy y xy y 考点：比例的性质 18.解方程:x25x1=0. 【答案】x=23 【解析】 试题分析：先找出 a，b，c，求出=b 2-4ac 的值，再代入求根公式 x= 2 4 2 bbc a a 计算即可 试题解析：a=1，b=5，c=1，=b24ac=254=21， x= 521 2 ， x1= 521 2 ，x2= 521 2 . 19. 如图，点E，F分别是锐角A两边上的点，AE=AF，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧 相交于点D，连接DE，DF （1）请你判断所画四边形的性状，并说明理由； （2）连接EF，若AE=8厘米，A=60 ，求线段EF的长
20、【答案】 （1）详见解析 （2）EF= 8 13 【解析】 【分析】 （1）由 AE=AF=ED=DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：四边形 AEDF 是菱形， （2）首先连接 EF，由 AE=AF，A=60，可证得EAF 是等边三角形，则可求得线段 EF 的长. 【详解】解： （1）菱形，理由如下： 根据题意得：AE=AF=ED=DF， 四边形 AEDF 是菱形； （2）连接 EF， AE=AF，A=60，EAF 是等边三角形， EF=AE=8 厘米. 20.从 1，2，3，4 四个数中随机选取两个不同的数，分别记为 a，c，请用树状图或列表法求：“关于 x的一 元二次方程 ax
21、2+4x+c0有实数根的概率 【答案】关于 x 的一元二次方程 ax2+4x+c0 有实数根的概率为 1 2 【解析】 【分析】 根据树状图可以得出共有 12 种情况，再根据判别式与根的情况列式，即可得出满足条件的有 6 种情况，从 而的得出答案. 【详解】解：画树状图为： 14 共有 12 种等可能的结果数，其中满足164ac0，即 ac4 的结果数有 6， 则关于 x 的一元二次方程 ax 2+4x+c0 有实数根的概率 61 122 【点睛】本题考查的判别式与二次方程根的情况和概率的知识，能够根据判别式与跟的关系得出 ac 的范围 是解题的关键. 21.如图，一次函数 yx3 的图象与反
22、比例函数 y k x （k0）的图象交于点 A与点 B（a，4） （1）求反比例函数的表达式； （2）一次函数 yx3的图象与 x轴交于点 M，连接 OB，求OBM 的面积； （3）若动点 P 是第一象限内双曲线上的点（不与点 A 重合） ，连接 OP，且过点 P 作 y 轴的平行线交直线 AB 于点 C，连接 OC，若POC的面积为 3，请直接写出点 P 的坐标 【答案】 （1）y 4 x ； （2）OBM 的面积为 6； （3）点 P 的坐标为（5， 4 5 ）或（1，4）或（2，2） 【解析】 【分析】 （1）根据点 B 在一次函数上可以求出点 B 的坐标，在将点 B 代入反比例函数中即
23、可求出反比例表达式； （2）先确定点 M 的坐标，再结合点 B 的坐标即可求出OBM 的面积； （3）先联立一次函数与反比例函数解析式求出点 A 坐标，再根据点 P 在第一象限反比例函数上，可设点 P 坐标为（m， 4 m ） （m0） ，从而可知点 C 的坐标，根据两点之间的距离公式可知 PC 之间的距离，再根据三 角形的面积公式列式解答即可. 【详解】 （1）将 B（a，4）代入一次函数 yx3 中得：a1 B（1，4） 将 B（1，4）代入反比例函数0 k yk x 中得：k4 15 反比例函数的表达式为 4 y x ； （2）由一次函数 yx3 可知：M（3，0） ， OM3， B（1
24、，4） ， OBM 的面积： 1 3 4=6 2 （3）解 3 4 yx y x 得 1 4 x y 或 4 1 x y ， A（4，1） 如图： 设点 P坐标为（m， 4 m ） （m0） ，则 C（m，m3） 4 3PCm m ，点 O 到直线 PC 的距离为 m POC 的面积 14 33 2 mm m 解得：m5 或2 或 1 或 2 点 P 不与点 A 重合，且 A（4，1） m4 又m0 m5 或 1 或 2 点 P 的坐标为（5， 4 5 ）或（1，4）或（2，2） 16 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合题，能够熟练掌握相关知识是解题的关键. 22.如图，四边形 A
25、BCD中，ACBD 垂足为点 E，点 F，M分别是 AB，BC的中点，BN 平分ABE交 AM 于点 N，ABACBD，连接 NF （1）判断线段 MN与线段 BM 的位置关系与数量关系，说明理由； （2）如果 CD5，求 NF长 【答案】 （1）位置关系：MNBM，数量关系：MNBM，理由见解析； （2）NF 5 2 【解析】 【分析】 （1）根据 AB=AC，点 M 是 BC 的中点，可证 MNBM，AM 平分BAC，再根据 BN 平分ABE 可得出MNB 的度 数，从而可得 MN=BM； （2）连接 FM，可证 FMAC，FM 1 2 AC，从而可得 1 2 FM BD ，结合（1）可得
26、 1 2 MN BC ，再根据等式的性 质通过倒角的关系可知NMFCBD，从而可证MFNBDC，从而即可求出答案. 【详解】 （1）位置关系：MNBM，数量关系：MNBM， 理由如下：ABAC，点 M 是 BC 的中点， AMBC，AM 平分BAC， 即 MNBM， BN 平分ABE， EBNABN， ACBD， AEB90， EAB+EBA90， MNBNAB+ABN 1 2 （EAB+EBA）45，且 AMBC， MBN45MNB， 17 MNBM； （2）连接 FM， 点 F，M 分别是 AB，BC 的中点， FMAC，FM 1 2 AC， ACBD， FM 1 2 BD，即 1 2 F
27、M BD ， 由（1）知BMN 是等腰直角三角形， MNBM 1 2 BC，即 1 2 MN BC ， FMMN BDBC ， AMBC， NMF+FMB90， FMAC， ACBFMB， CEB90， ACB+CBD90， CBD+FMB90， NMFCBD，且 FMMN BDBC ， MFNBDC， 1 2 FNMN CDBC ，且 CD5， FN 5 2 【点睛】本题是一道综合题，考查了等腰三角形的三线合一，三角形中位线性质，平行线的性质和相似三 角形的判定等知识，能够数量掌握这些知识解题的关键. 18 23.某商店购进一批成本为每件 30 元的商品， 经调查发现， 该商品每天的销售量
28、y （件） 与销售单价 x （元） 之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获 得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？ （3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】 （1）2160yx ； （2）50 x时，w最大1200； （3）70 x时，每天的销售量为 20件. 【解析】 【分析】 （1）将点（30，150） 、 （80，100）代入一次函数表达式，即可求解； （2）由
29、题意得 w=（x-30） （-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解； （3）由题意得（x-30） （-2x+160）800，解不等式即可得到结论 【详解】 （1）设 y与销售单价 x 之间的函数关系式为：y=kx+b， 将点（30，100） 、 （45，70）代入一次函数表达式得： 100 30 7045 kb kb ， 解得： 2 160 k b ， 故函数的表达式为：y=-2x+160； （2）由题意得：w=（x-30） （-2x+160）=-2（x-55）2+1250， -20，故当 x55 时，w随 x 的增大而增大，而 30 x50， 当 x=50 时，w由最大值，
30、此时，w=1200， 故销售单价定为 50 元时，该超市每天的利润最大，最大利润 1200 元； 19 （3）由题意得： （x-30） （-2x+160）800， 解得：x70， 每天的销售量 y=-2x+16020， 每天的销售量最少应为 20 件 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知 识，正确利用销量 每件的利润=w得出函数关系式是解题关键 24.ABC中，ACBC，ACB，点 D是平面内不与点 A和点 B重合的一点，连接 DB，将线段 DB 绕点 D 顺时针旋转 得到线段 DE，连接 AE、BE、CD （1）如图，点 D与点 A 在
31、直线 BC的两侧，60 时， AE CD 的值是 ；直线 AE 与直线 CD 相交所成 的锐角的度数是 度； （2）如图，点 D与点 A 在直线 BC两侧，90 时，求 AE CD 的值及直线 AE 与直线 CD相交所成的锐角 AMC的度数； （3）当 90 ，点 D 在直线 AB的上方，SABD 1 2 SABC，请直接写出当点 C、D、E 在同一直线上时， BE CD 的值 【答案】 （1）1，60； （2）AMC45； （3） BE CD 的值为 2 2或 2+2 【解析】 【分析】 （1） 延长 AE， CD 交于点 H， 根据旋转的性质可知 DE=BD， BDE=60， 从而可知BD
32、E， 从而可证ABECBD， 从而可知 AE CD ，再根据角的关系即可求出AHB； （2）先证ABECBD，可以得到2 AEAB CDCB ，BAEBCD，继而可以求出AMC 的度数； （3）分两种情况讨论即可：点 D，点 A 在直线 BC 两侧，点 A，点 D 在直线 BC 同侧. 【详解】 （1）如图 1，延长 AE，CD 交于点 H， 20 将线段 DB 绕点 D 顺时针旋转 得到线段 DE， DEBD，BDE60， BDE 是等边三角形， BDBE，DBE60， ABC 是等边三角形， ABBC，ABCDBE60， ABECBD，且 BEBD，ABBC， ABECBD（SAS） AE
33、CD，DCBBAE， AE CD 1， BAC+ACB120， BAE+CAE+ACB120， CAE+ACB+BCD120 CAE+ACH120， AHB60， 故答案为：1，60 （2）ACBC，ACB90， AB 2BC，ABC45， 将线段 DB 绕点 D 顺时针旋转 90得到线段 DE， DEBD，BDE90， BE 2BD，DBE45， DBEABC， ABECBD，且2 ABBE BCBD ， 21 ABECBD， 2 AEAB CDCB ，BAEBCD， BAC+ACB135ACB+CAM+BAE， ACB+CAM+BCDCAM+ACM135， AMC45； （3）若点 D，点
34、 A 在直线 BC 两侧，如图 3，分别取 AC，BC 中点 G，H，连接 GH， 1 2 ABDABC SS， 点 D 在直线 GH 上， ACBBDE90，ACBC，DEBD， CABCBA45，DEBDBE45，BE 2BD， 点 G，点 H 分别是 AC，BC 的中点， GHAB， DHBABC45， 点 C、E、D 三点共线， CDB90，且点 H 是 BC 中点， DHCHBH， HCDHDC，且HCD+HDCBHD45， HCDHDC22.5， BEDBCE+CBE45， BCECBE22.5， BECE 2BD， CDCE+DE（ 2+1）BD， 22 2 22 21 BE C
35、D ； 若点 A，点 D 在直线 BC 同侧，如图 4，分别取 AC，BC 中点 G，H，连接 GH， 1 2 ABDABC SS， 点 D 在直线 GH 上， ACBBDE90，ACBC，DEBD， CABCBA45，DEBDBE45，BE 2BD， 点 G，点 H 分别是 AC，BC 的中点， GHAB， DHCABC45， 点 C、E、D 三点共线， CDB90，且点 H 是 BC 中点， DHCHBH， HBDHDB，且HBD+HDBCHD45， HBDHDB22 5， ECB67.5，EBCEBD+DBC67.5， BCECBE67.5， BECE 2BD， CDCEDE（ 21）B
36、D， 2 22 21 BE CD ， 综上所述： BE CD 的值为2 2 或2 2 【点睛】本题是一道相似综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似 23 三角形的性质与判定等相关知识，解题关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题. 25.如图，在平面直角坐标系中，点 C是 y轴正半轴上的一个动点，抛物线 yax25ax+4a（a 是常数，且 a 0）过点 C，与 x轴交于点 A、B，点 A 在点 B的左边连接 AC，以 AC 为边作等边三角形 ACD，点 D与 点 O 在直线 AC两侧 （1）求点 A，B的坐标； （2）当 CDx轴时，求抛物线的函数表达式；
37、 （3）连接 BD，当 BD最短时，请直接写出抛物线的函数表达式 【答案】（1） 点 A、 B的坐标分别为 （1， 0） 、（4， 0） ；（2） y 3 4 x2 5 3 4 x+ 3； （3） y 3 3 8 x215 3 8 x+ 3 3 2 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线解析式求解与 x 轴的交点坐标即 y=0 是 x 的值，即可得出 A，B 的坐标； （2）根据三角形 ACD 是等边三角形可知OCA 的度数，根据三角函数值可求点 C 坐标，从而可求答案； （3）过点 D 作 DEAC 于点 E，过点 D 作 x 轴的垂线于点 H，过点 E 作 EFx 轴交 y 轴于点 F 交
38、DH 于点 G， 根据点 E 坐标进一步求CFEEGD，进而可求答案. 【详解】 （1）yax 25ax+4a，令 y0，则 x1 或 4， 点 A 在点 B 的左边 故点 A、B 的坐标分别为： （1，0） 、 （4，0） ； （2）点 A 坐标为（1,0） ，OA=1 ACD 是等边三角形，DCA=60 当 CDx 轴时，DCO=90 ACO=30，则OCA60， 24 则 OCOAtan60= 3，故点 C（0，3） ， 即 34a，解得：a 3 4 ， 故抛物线的表达式为： 2 35 3 3 44 yxx； （3）如图，过点 D 作 DEAC 于点 E，过点 D 作 x 轴的垂线于点
39、H，过点 E 作 EFx 轴交 y 轴于点 F 交 DH 于点 G， ACD 为等边三角形，则点 E 为 AC 的中点，则点 E（ 1 2 ，2a） ，AECE 1 3 ED， CEF+FCE90，CEF+DEG90，DEGECF， CFEEGD， 1 3 CFCEEF EGEDDG ，其中 EF 1 2 ，CF2a， 解得：GE2 3a，DG 3 2 ，故点 D（ 13 2 3,2 22 a） ， BD 2（ 22 2 133 33 3 2 34216 2282 aa ， 故当 a 3 3 8 时，BD 最小， 故抛物线的表达式为：y 2 3 315 33 3 882 xx 【点睛】本题是一道二次函数综合题，考查等边三角形的性质，三角函数值，相似三角形的判定与性质， 二次函数综合问题等知识，能够充分调动所学知识是解题的关键. 25
