1、 解三角形专题复习解三角形专题复习 【课堂导入】 在 ABC 中，BC=2，AC=1，以 AB 为边作等腰直角三角形 ABD（B 为直角顶点，C、 D 两点在直线 AB 的两侧） 当C 变化时，线段 CD 长的最大值为 解答： 如图：AB=BD，在 ABC 中，由正弦定理得 ACB BD ACB AB ABC AC sinsinsin ， ACBACBACABCBDsinsinsin，在 BCD 中， )90cos(2 222 ABCBCBDBCBDCD = )45sin(45sin222cos2sin222 222 ACBACBACBBCACBCACABCBDAB )45sin(45ACB
2、当ACB=135时 2 CD最大为 9，CD 最大值为 3 考点：正弦定理 【知识讲解】 解三角形： 【典例分析】 【例 1】在 ABC 中，角 A，B，C 所对边的长分别为a，b，c，已知32a，22c， b c B A2 tan tan 1，则 C= 解答：在 ABC中， BA C BA BA B B B B A A B BA B A sincos sin sincos )sin( cos sin cos sin cos sin tan tantan tan tan 1 ， b c B A2 tan tan 1，由正弦定理得： B C b c sin sin22 ， B C BA C si
3、n sin2 sincos sin ，0sinB，0sinC， 2 1 cosA， 3 A 又知32a，22c，显然，ca，故 AC由正弦定理得： C c A a sinsin ， 2 2 32 2 3 22 sin sin a Ac C 4 C 考点：正弦定理 【变式 1-1】在 ABC 中，若52cos42cos9BA，则 AC BC 的值为 解答：在 ABC 中，52cos42cos9BA，5)sin21 (4)sin21 (9 22 BA， 化简可得BA 22 sin4sin9，故有 3 2 sin sin B A 由正弦定理可得 3 2 sin sin B A AC BC 考点：余弦
4、定理 【变式 1-2】若 ABC 的内角满足CBAsin2sin2sin，则Ccos的最小值 是 解答：由正弦定理得cba22 ，得)2( 2 1 bac， 由余弦定理得 4 26 4 2 2 2 2 2 3 2 4 2 2 24 3 2 )2( 4 1 2 cos 22 222 222 ab ba ab ba ab baba ab cba C ， 当且仅当ba 2 2 2 3 时，取等号，故 cosC 的最小值是 4 26 考点：余弦定理， 正弦定理 【变式 1-3】在 ABC 中，己知 AC=3，A=45，点 D 满足DBCD2，且13AD， 则 BC 的长为 解答： 根据题意，以 A 为
5、坐标原点，点 C 在 x 轴上建立平面直角坐标系， 如图所示；则 C（3，0） ， A=45 ， 设B),( tt， 其 中0t， D),(yx； 根 据DBCD2， 得 ),(2), 3(ytxtyx， 即 )(2 )(23 yty xtx ，解得 3 32 t x， 3 2t y ， D) 3 2 , 3 32 ( tt ；又13AD，13) 3 2 () 3 32 ( 22 tt ， 解得3t或 2 9 t（舍去） ；B（3，3） ，即 BC=3 考点：向量数乘的运算及其几何意义 【例 2】如图，在 C 城周边已有两条公路 l1，l2在点 O 处交汇已知 OC)62( km， AOB75
6、 ， AOC45 ， 现规划在公路 l1， l2上分别选择 A， B 两处为交汇点 （异于点 O） 直接修建一条公路通过 C 城设 OAx km，OBy km （1）求y关于x的函数关系式并指出它的定义域； （2）试确定点 A，B 的位置，使 OAB 的面积最小 解答：（1）因为 AOC 的面积与 BOC 的面积之和等于 AOB 的面积，所以 75sin 2 1 30sin)62( 2 1 45sin)62( 2 1 xyyx， 即xyyx 4 62 )62( 2 1 )62( 2 2 ，所以)2( 2 22 x x x y （2） AOB 的面积 )4 2 4 2( 2 13 22 13 8
7、 62 75sin 2 1 2 x x x x xyxyS ) 13(48 2 13 当且仅当4x时取等号，此时24y 考点：函数相关知识 【变式 2-1】如图，旅客从某旅游区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径一种是从 A 沿直线 步行到 C，另一种从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C 现有甲、乙两位游 客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 米/分钟，在甲出发 2 分钟后，乙从 A 乘缆车 到 B，在 B 处停留 1 分钟后，再从 B 匀速步行到 C 假设缆车匀速直线运动的速度为 130 米/分钟，山路 AC 长 1260 米，经测量，cosA=1213
8、，cosC=35 （1）求索道 AB 的长； （2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 解答： （1）在 ABC 中，因为 13 12 cosA， 5 3 cosC，所以 13 5 sinA， 5 4 sinC， 从而 65 63 5 4 13 12 5 3 13 5 sincoscossin)sin()(sinsinCACACACAB 由正弦定理 B AC C AB sinsin ，得1040 65 63 5 4 1260 sin sin B C ACABm， 所以索道 AB 的长为 1040 m （2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了)50100(t
9、m，乙距 离 A 处t130 m， 所以由余弦定理得： )507037(200 13 12 )50100(1302)130()50100( 2222 ttttttd 37 625 ) 37 35 (37200 2 t，因 130 1040 0t，即80t，故当 37 35 t min 时，甲、乙两 游客距离最短 考点：余弦定理， 正弦定理 【例 3】已知函数xxxfcos)( 2 ， 2 , 2 x，则满足) 3 ()( 0 fxf的 0 x的取值范 围为 解答：注意到函数xxxfcos)( 2 ， 2 , 2 x是偶函数故只需考虑 2 , 0 区间上的情 形 当 2 , 0 x时，0sin2
10、)( xxxf，函数在 2 , 0 单调递增， 所以) 3 ()( 0 fxf在 2 , 0 上的解集为 2 , 3 ( ， 结合函数是偶函数，图象关于y轴对称，得原问题中 0 x的取值范围是 2 , 3 () 3 , 2 考点：利用导数研究函数的单调性， 函数的零点与方程根的关系 【变式 3-1】设函数) 3 sin(3)( xxf和) 6 sin()(xxg 的图象在y轴左、右两侧 靠近y轴的交点分别为 M，N，已知 O 为原点，则ONOM = 解答：根据题意，令)()(xgxf，即0)()(xgxf， 则 0) 6 sin(2) 63 sin(2) 3 cos() 3 sin(3) 6
11、sin() 3 sin(3 xxxxxx ， 所以 kx 6 ，其中Zk，化简，得 6 1 kx，Zk， 所以) 2 3 , 6 1 (M，) 2 3 , 6 5 (N， 则 9 8 ) 2 3 ( 2 3 6 5 6 1 ) 2 3 , 6 5 )( 2 3 , 6 1 (ONOM 考点：平面向量数量积的运算， 正弦函数的图象 【变式 3-2】已知四边形 ABCD 是矩形，AB=2，AD=3，E 是线段 BC 上的动点，F 是 CD 的 中点若AEF 为钝角，则线段 BE 长度的取值范围是 解答： 以 A 为原点，AD、AB 所在直线为 x、y 轴，建立直角坐标系 矩形 ABCD 中，AB=
12、2 且 AD=3，F 是 CD 的中点 F（3，1） ，设 E（m，2） 以 AF 为直径作圆，由圆的性质可得当点 E 位于圆内时，AEF 为钝角， 圆心为（ 2 3 ， 2 1 ） ，半径 2 10 r 圆的方程为 2 5 ) 2 1 () 2 3 ( 22 yx 令2y，可得1x或 2，即直线 y=2 与圆的交点为（1，2）和（2，2） 因此，当 E 的横坐标)2 , 1 (m内时，点 E 位于圆内时，AEF 为钝角， 此时21 BE，即 BE 长度的取值范围是)2 , 1 ( 考点：余弦定理 【变式 3-3】已知),( 111 yxP，),( 222 yxP是以原点 O 为圆心的单位圆上
13、的两点，P1OP2= （为钝角） 若 5 3 ) 4 sin(，则的 2121 yyxx值为 解答：由题意可得 2 ，0 5 3 ) 4 sin(， 4 还是钝角， 5 4 ) 4 cos(， 5 4 sin 2 2 cos 2 2 5 3 sin 2 2 cos 2 2 ， 10 2 cos 10 2 ) 10 2 (11cos| | 2 1 212121 OPOPyyxxOPOP 考点：向量的数量积，两角和与差的三角函数 【变式 3-4】设 6 是函数) 2 |)(|2sin()( xxf的一个零点，则函数)(xf在区间 )2 , 0(内所有极值点之和为 解答： 6 是函数) 2 |)(|
14、2sin()( xxf的一个零点 0) 3 sin() 6 2sin() 6 ( f，即 k 3 ，解得Zkk, 3 ， 2 | ，当0k时， 3 ，则) 3 2sin()( xxf， 由 kx 23 2，得 212 5k x，Zk， )2 , 0(x， 当0k时， 12 5 x，当1k时， 12 11 x，当2k时， 12 17 x， 当3k时， 12 23 x， 3 14 12 23 12 17 12 11 12 5 考点：正弦函数的图象 【巩固运用】 1、在 ABC 中，已知 AB=3，A=120，且 ABC 的面积为 4 315 ，则 BC 边长 为 解答：3cAB，A=120， AB
15、C的面积为 4 315 ， S ABC= 4 315 4 33 sin 2 1 bAbc，即5b， 由余弦定理得：4915925cos2 222 Abccba，则7aBC 考点：正弦定理的应用 2、在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，若 b c B A2 tan tan 1，则角 A 的大 小为 解答： b c B A2 tan tan 1 B C B A sin sin2 tan tan 1 B C BA BABA sin sin2 sincos cossinsincos ，即 B C BA C sin sin2 sincos sin 2 1 cosA 角 A 是 AB
16、C 的内角 3 A 考点：正弦定理、切化弦的应用 3、已知在ABC 中，边 AB 上的高与边 AB 的长相等，则 ACBC AB AC BC BC AC 2 的最大值 为 解答： 设bAC ，aBC ，cAB，则 2 2 1 sin 2 1 cCab，即 2 sincCab由余弦定理可得 Cabbaccos2 222 故由题意知 ab CabCab ab Cabc ab cba ACBC AB AC BC BC ACcos2sin2cos22 22222 ， 22) 4 sin(22)cos(sin2 CCC 考点：正弦定理、余弦定理的综合应用 4、若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边
17、长与最小边长的比值为m，则m的范 围是 解答：钝角三角形三内角 A、B、C 的度数成等差数列，则 3 B， 3 2 CA， 可设三个角分别为 3 ， 3 ， 3 故 A A AA AA A A a c m tan3 tan3 sin 2 1 cos 2 3 sin 2 1 cos 2 3 ) 3 sin( ) 3 sin( 又 36 ， 3tan 3 3 令tant，且3 3 3 t， 则 t t m 3 3 在3, 3 3 上是增函数， 2m， 综上所述：则m的范围是), 2 考点：正弦定理的应用 5、在 ABC 中，已知2BC，1ACAB，则 ABC 面积的最大值是 解答：1ACAB，1c
18、os|AACAB，AACAB 222 cos1（1） 又 AACABSsin| 2 1 ， AACABS 2222 sin4（2） （1）+（2）得：)sin(cos41 22222 AAACABS，即 222 41ACABS 由题知：ABACBC， 22 22222 ABACABACABACBC BC=2，6 22 ABAC，由不等式：ABACABAC2 22 当且仅当 AC=AB 时， 取等号 ABAC26，即3ABAC 941 222 ACABS，84 2 S，即：2 2 S 2S，所以 ABC 面积的最大值是2 考点：向量与解三角形的综合的应用 6、已知),( AA yxA是单位圆（圆
19、心为坐标极点 O，半径为 1）上任一点，将射线 OA 绕点 O 逆时针旋转 3 到 OB 交单位圆于点),( BB yxB，已知0m，若 BA ymy2的最大值为 3， 则m= 解答：),( AA yxA是单位圆（圆心为坐标极点 O，半径为 1）上任一点， 设)sin,(cosA，则) 3 sin(), 3 cos( B， 即sin A y，) 3 sin( B y，则 )cos 2 3 sin 2 1 (2sin) 3 sin(2sin2 mmymy BA )sin(3) 1(cos3sin) 1( 2 mm 0m， 若 BA ymy2的最大值为 3， 33) 1( 2 m， 由0m， 解得
20、16 m 考点：三角函数的最值 7、如图，半圆 O 的直径为 2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以 AB 为一边作等边三角形 ABC， 设AOB=用的三角函数来表示等边三角形的面积S， 则S= 解答：AOB=则 ABC 的面积 2 4 3 60sin 2 1 ABACABS 在OAB 中，由余弦定理cos45cos2 222 OBOAOBOAAB cos3 4 35 )cos45( 4 3 S 考点：余弦定理的应用 【拓展延伸】 1、已知 O 是锐角 ABC 的外接圆圆心，A，若AOmAC B C AB C B 2 sin cos sin cos ， 则 m= （用
21、表示） 解答：取 AB 中点 D，则有DOADAO，代入AOmAC B C AB C B 2 sin cos sin cos 得： )(2 sin cos sin cos DOADmAC B C AB C B ，由ODAB，得0ABDO， 两边同乘AB，化简得： ABABmABDOADmABAC B C ABAB C B )(2 sin cos sin cos ， 即 22 cos sin cos sin cos mcAcb B C c C B ， 由正弦定理 C c B b A a sinsinsin 化简得： CmACB B C C C B22 sincossinsin sin cos s
22、in sin cos ， 由于0sinC，两边同时除以Csin得：CmCABsincoscoscos， A C CACACA C CACA C CAB msin sin coscossinsincoscos sin coscos)cos( sin coscoscos ， 又A=，则sinm 考点：正弦定理， 平面向量数量积的运算， 两角和与差的余弦函数 2、设 22 yxyxa，xypb ，yxc，若对任意正实数x，y都存在以a，b， c为三边的三角形，则实数p的取值范围是 解答：xyxyxyyxyxa2 22 ，xypb ，xyyxc2， 三角形任意两边之和大于第三边， xyxyxyp xy
23、xyxyp xypxyxy 2 2 2 ，解得31 p，故实数p的取值范围是)3 , 1 ( 考点：基本不等式 3、在 ABC 中，D 为边 AC 上一点，AB=AC=6，AD=4，若 ABC 的外心恰在线段 BD 上， 则 BC= 解答： 如图所示，AB=AC=6，AD=4，O 是 ABC 的外心，BO：OD=3：2， 设 OB=3a，则 OD=2a，DE=a，由相交弦定理可得 4 2=a 5a， 5 8 a ABD 中， 4 1 462 401636 cos A， ABC 中，54146623636cos2 222 AABACACABBC，则 63BC 考点：解三角形 4、通常用a、b、c
24、表示 ABC 的三个内角A、B、C 所对边的边长，R 表示 ABC 外接圆半径。 （1） 如图所示， 在以O为圆心， 半径为2的O中， BC和BA是O的弦， 其中BC=2， ABC=45， 求弦 AB 的长； （2）在 ABC 中，若C 是钝角，求证： 222 4Rba； （3）给定三个正实数a、b、R，其中ab，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、 b为边长，R为外接圆半径的 ABC 不存在， 存在一个或两个 （全等的三角形算作同一个） ？ 在 ABC 存在的情况下，用a、b、R表示c 解答： （1）在 ABC 中，BC=2，ABC=45，R A a B b C AB 2 sinsinsi
25、n ，22b， 2 1 sinA A 为锐角 A=30，B=45 C=105， 2675sin4105sin2 RAB； （2）C 为钝角，0cosC，且1cosC 0 2 c o s 222 ab cba C， 2222 )2( Rcba，即 222 4Rba； （3）Ra2或Rba2时， ABC 不存在； 当 ab Ra2 时，A=90， ABC 存在且只有一个， 22 bac； 当 ab Ra2 时，A=B 且都是锐角 R a BA 2 sinsin时， ABC 存在且只有一个， 22 42sin2sin2aR R a ARCRc； 当 ab Ra2 时，B 总是锐角，A 可以是钝角，可是锐角， ABC 存在两个 R aRbbRa c 2 44 2222 考点：三角形中的几何计算， 解三角形
