1、 高考数学中的多选题 一、集合与常用逻辑用语 1（2017 新课标改编）下面四个命题中，是真命题为( ) A.若复数z满足 1 z R，则zR； B.若复数z满足 2 z R，则zR； C.若复数 1 z， 2 z满足 1 2 z z R，则 12 zz； D.若复数zR，则z R 答案 AD【解析】设izab（, a bR），则 22 11i (i) ab zabab R，得0b，所 以zR， A 正确； 2222 (i)2izabababR， 则0ab， 即0a 或0b， 不能确定zR，B 不正确；若zR，则0b，此时iza ba R，D 正确 2 （2014 湖南改编）已知命题p：若xy
2、，则xy ；命题q：若xy，则 22 xy 则下列命题为真命题的是 AB.C.D. 答案 BC【解析】由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故 A:为 假命题，B:为真命题，C:q 为真命题，则为真命题，D:p 为假命题， 则为假命题，所以选 C 3（2013 四川改编）设 n PPP， 21 为平面a内的n个点，在平面a内的所有点中， 若点P到点 n PPP， 21 的距离之和最小，则称点P为点 12n PPP， ， ，的一个 “中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，则下列命题为真 命题的是 A.若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位
3、点； B.直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； C.若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一； D.梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点； 答案 AD【解析】由“中位点”可知，若C在线段 AB 上，则线段 AB 上任一点都为“中位点”， pqpq ()pq ()pq pq pq()pq ()pq C也不例外，故 A 正确； 对于 B 假设在等腰 RtABC 中，ACB90 ，如图所示，点 P 为斜边 AB 中点， 设腰长为 2，则|PA|PB|PC| 3 2 |AB|3 2，而若 C 为“中位点”，则|CB|CA|4 3 2，故 B 错； 对于 C，若 B，
4、C 三等分 AD，若设|AB|BC|CD|1，则|BA|BC|BD|4 |CA|CB|CD|，故 C 错； 对于 D，在梯形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 的交点为 O，在梯形 ABCD 内任取不 同于点 O 的一点 M，则在MAC 中，|MA|MC|AC|OA|OC|， 同理在MBD 中，|MB|MD|BD|OB|OD|， 则得，|MA|MB|MC|MD|OA|OB|OC|OD|， 故 O 为梯形内唯一中位点是正确的 二、函数的概念和性质 4.（2019 全国理 1 改编）关于函数,则下列结论正确的是 A.f(x)是偶函数 B.f(x)在区间（,）单调递增 C.f(x)在有 4 个零
5、点 D.f(x)的最大值为 2 答案 AD 【解析】，则函数是偶函数， 故 A 正确.当时， 则为减函数，故 B 错误. ( )sin|sin |f xxx 2 , sinsin|i|sins nfxxxxxf x （）（ ） f x , 2 x sinsinsinsinxxxx， sinsin2sinf xxxx（ ） 当， 由得,得或， 由是偶函数，得在上还有一个零点，即函数在上 有 3 个零点，故 C 错误. 当时，取得最大值 2，故 D 正确， 故正确的结论是 AD. 5（2017 山东改编）若函数e( ) x f x(e=271828，是自然对数的底数)在( )f x的定义域 上单调
6、递增，则称函数( )f x具有 M 性质，下列函数中具有 M 性质的是（） A.( )2 x f x B.( )3 x f x C. 3 ( )f xx D. 2 ( )2f xx 答案 AD 【解析】A:( )2( ) 2 xxxx e e f xe 在 R 上单调递增，故( )2 x f x 具有 M 性质； B:( )3( ) 3 xxxx e e f xe 在 R 上单调递减，故( )3 x f x 不具有 M 性质； C: 3 ( ) xx e f xex，令 3 ( ) x g xex，则 322 ( )3(2) xxx g xexexx e x， 当2x时， 0g x，当2x时，
7、 0g x， 3 ( ) xx e f xex在, 2 上单调递减，在2,上单调递增， 故 3 f xx不具有 M 性质； D: 2 ( )(2) xx e f xex，令 2 2 x g xex， 则 22 ( )(2)2(1)10 xxx g xexexex， 2 ( )(2) xx e f xex在 R 上单调递增，故 2 ( )2f xx具有 M 性质 6(2011 福建改编)设 V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f VR满足：对任意向量 11 ( ,)x ya =V， 22 (,)xyb =V，以及任意R，均有 (1) )( )(1) ( ),fffabab 则称映射f具有性质
8、P下列映射中，具有性质 P 的映射的是 0 x sinsinsinsin2sinf xxxxxx（ ） 0f x （ ） 2sin0 x 0 x x f x 0 ，）x f x ， sin1 sin1xx， f x A. 12 :,( ),( , );fVR f mxy mx yV B. 2 22 :,( ),( , );fVR fmxy mx yV C. 33 :,( )1,( , ).fVR f mxymx yV D. 2 33 :,( ),( , ).fVR f mxymx yV 答案 AC 【解析】 11 ( ,)x ya =， 22 (,)xyb =，R， 所以 1212 (1)(1
9、),(1)xxyyab 对于 A ,具有性质 P 的映射,同理可验证 C 符合,BD 不符合 7(2010 福建改编)已知定义域为0 （ ，）的函数( )f x满足：对任意0 x（ ，），恒有 (2 )=2 ( )fxf x成立；当(1,2x时，( )=2f xx下列结论正确的是（） A.对任意Zm，有(2 )=0 m f B.函数( )f x的值域为0 ，） C.存在Zn，使得(2 +1)=9 n f D.“函数( )f x在区间( , )a b上单调递减”的充要条件是“存在Zk，使得 1 ( , )(2 ,2) kk a b ” 答案 ABD 【解析】A:，正确； B:取，则；，从而 ，
10、其中， 从而， 正确；C:，假设存在使， 1 21 2 ,2) nnn ， 1 (21)22121 nnnn f ，219,210 nn ， 1111212 ( ),(1) )(1),(1)f mxy fabfxxyy 12121122 (1)(1)()(1)()xxyyxyxy ( )(1) ( )f af b 0)2(2)2(2)22()2( 111 ffff mmmm 2 ,2( 1 mm x2 , 1 ( 2 m x mm xx f 2 2) 2 ( x x f x fxf m m m 1 2) 2 (2) 2 (2)(, 2 , 1 , 0m), 0)(xf 122) 12( 1 n
11、mn fn9) 12( n f 这与nZ矛盾，所以该命题错误；D 根据前面的分析容易知道该选项正确. 三、函数的综合应用 8（2017 山东改编）若函数e( ) x f x(e=271828，是自然对数的底数)在( )f x的定义域 上单调递增，则称函数( )f x具有 M 性质，下列函数中具有 M 性质的是（） A.( )2 x f x B. 2 ( )f xxC.( )3 x f x D.( )cosf xx 答案 AD 【解析】A:( )2( ) 2 xxxx e e f xe 在R上单调递增，故( )2 x f x 具有 M 性质； B:( )3( ) 3 xxxx e e f xe
12、在R上单调递减，故( )3 x f x 不具有 M 性质； C: 3 ( ) xx e f xex，令 3 ( ) x g xex，则 322 ( )3(2) xxx g xexexx e x， 当2x时， 0g x，当2x时， 0g x， 3 ( ) xx e f xex在, 2 上单调递减，在2,上单调递增， 故 3 f xx不具有 M 性质； D: 2 ( )(2) xx e f xex，令 2 2 x g xex， 则 22 ( )(2)2(1)10 xxx g xexexex， 2 ( )(2) xx e f xex在 R 上单调递增，故 2 ( )2f xx具有 M 性质 9（20
13、14 四川改编） 以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合， B 表示具有如下性质的函数( )x 组成的集合：对于函数( )x，存在一个正数 M，使得函数( )x的值域包含于区间 ,M M例如，当 3 1( ) xx， 2( ) sinxx时， 1( ) xA， 2( ) xB下列命 题是真命题的是（） A.设函数( )f x的定义域为 D，则“( )f xA”的充要条件是“bR ，aD ， ( )f ab”； B.函数( )f xB的充要条件是( )f x有最大值和最小值； C.若函数( )f x，( )g x的定义域相同，且( )f xA，( )g xB，则( )( )f xg xB； D
14、.若函数 2 ( )ln(2) 1 x f xax x （2x ，aR）有最大值，则( )f xB ACD【解析】对于 A，根据题中定义，( )Af x 函数( )yf x，xD的值域为 R， 由函数值域的概念知，函数( )yf x，xD的值域为,RbRaD ( )f ab， 所以 A 正确； 对于 B， 例如函数 | | 1 ( )( ) 2 x f x 的值域(0,1包含于区间 1,1， 所以( )f xB，但( )f x有最大值 l，没有最小值，所以 B 错误；对于 C，若 ( )( )f xg xB，则存在一个正数 1 M，使得函数( )( )f xg xB的值域包含于区间 11 ,M
15、 M，所以 1 M( )f x 1 ( )g xM，由( )g xB知，存在一个正数 2 M， 使得函数( )g x的值域包含于区间 22 ,MM，所以 22 ( )Mg xM，亦有 22 ( )Mg xM-， 两式相加得 12 ()MM( )f x 12 MM， 于是( )f xB， 与已知“( )f xA”矛盾，故( )( )f xg xB，即 C 正确；对于 D，如果0a ， 那么,( )xf x ，如果0a，那么2,( )xf x ，所以( )f x有最 大值，必须0a ，此时 2 ( ) 1 x f x x 在区间( 2,)上，有 11 ( ) 22 f x， 所以( )f xB，即
16、 D 正确. 四、导数与微积分 10（2014 安徽改编）若直线l与曲线 C 满足下列两个条件： )(i直线l在点 00, y xP处与曲线 C 相切；)(ii曲线 C 在 P 附近位于直线l的两侧，则称直 线l在点 P 处“切过”曲线 C下列命题正确的是（） A.直线0:yl在点0 , 0P处“切过”曲线 C： 3 yx B.直线1:xl在点0 , 1P处“切过”曲线 C： 2 ) 1( xy C.直线xyl:在点0 , 0P处“切过”曲线 C：xysin D.直线xyl:在点0 , 0P处“切过”曲线 C：xytan 答案 ACD 【解析】 对于 A， 2 0 3,|0 x yxy ， 所
17、以:0l y 是曲线 3 :C yx在点0 , 0P处的切线， 画图可知曲线 3 :C yx在点0 , 0P附近位于直线l的两侧，A 正确；对于 B，因为 1 2(1),|0 x yxy ， 所以:1l x 不是曲线C： 2 ) 1( xy在点0 , 1P处的切线， B 错误；对于 C， 0 cos ,|1 x yx y ，在点0 , 0P处的切线为xyl:，画图可知曲线 C：xysin在点0 , 0P附近位于直线l的两侧，C 正确；对于 D， 2 1 cos y x ， 0 2 1 |1 cos 0 x y ，在点0 , 0P处的切线为xyl:，画图可知曲线 C：xytan在点 0 , 0P
18、附近位于直线l的两侧，D 正确. 11（2015 安徽改编）设 3 0 xaxb，其中, a b均为实数，下列条件中，使得该三次方 程仅有一个实根的是（） A.3,3ab B.3,2ab C.3,2ab D.0,2ab； 答案 ACD 【解析】令，当时， 则在 R 上单调递增函数，此时仅有一个实根，所以 D 对； 当时，由得，所以是的极小值点 由，得,即，C 对是的极大值点， 由，得，即，A 对 12（2015 四川）已知函数 x xf2)(，axxxg 2 )(（其中Ra）对于不相等的实 数 21,x x，设 21 21 )()( xx xfxf m ， 21 21 )()( xx xgxg
19、 n ，下列命题中是真命题的是（） A.对于任意不相等的实数 21,x x，都有0m； B.对于任意的a及任意不相等的实数 21,x x，都有0n； C.对于任意的a，存在不相等的实数 21,x x，使得nm； D.对于任意的a，存在不相等的实数 21,x x，使得nm 答案 AD 【解析】A.设，函数单调递增，所有， 32 ( ),( )3f xxaxb fxxa0a( )0fx ( )f x 3 0 xaxb 3a 2 ( )330fxx 11x 1x ( )f x (1)0f 3 13 10b 2b1x( )f x ( 1)0f 3 ( 1)3 ( 1)0b 2b 12 x x2x 12
20、 2 2 xx 12 0 xx- 则=0，所以正确； B.设，则，则 ，可令=1，=2， 则，所以错误； C.因为，由 B 得：，分母乘到右边， 右边即为，所以原等式即为=， 即为=，令， 则原题意转化为对于任意的，函数存在不相等的实数， 使得函数值相等，则， 则，令，且，可得为极小值 若，则，即，单调递增，不满足题意， 所以错误 D.由 C 得=，则， 设，有，使其函数值相等，则不恒为单调 ，恒成立， 单调递增且，所以先减后增，满足题意，所以正 确 五、三角函数与解三角形 13.（2014 新课标）在下列函数中，最小正周期为的函数是（） A.|2|cosxy B.|cos|xy C.) 6
21、2cos( xy D.) 4 2tan( xy 答案 ABC 【解析】A:|2|cosxy ，最小正周期为；B:|cos|xy ，最小正周期为；C: m 12 12 ( )()f xf x xx 12 12 22 xx xx - - 1 x 2 x 12 0 xx 12 12 ( )()g xg x n xx - = - 22 1212 12 ()xxa xx xx -+- = - 1212 12 12 ()()xxxxa xxa xx -+ =+ - 1 x 2 x4a 10n mn= 21 21 )()( xx xfxf 12 xxa 12 ( )()g xg x 12 ( )()f xf
22、 x 12 ( )()g xg x 12 ( )()f xg x 12 ( )()f xg x-( )( )( )h xf xg x a( )( )( )h xf xg x 1 x 2 x 2 ( )2xh xxax( )2 ln22 x h xxa ( )2 (ln2)2 x h x 0 ()0h x 0 12x 0 ()h x 10000a 0 ()0h x 0 ()0h x( )h x 12 ( )()f xf x 12 ( )()g xg x 1122 ( )( )()()f xg xg xf x ( )( )( )h xf xg x 1 x 2 x( )h x 2 ( )2xh xx
23、ax( )2 ln22 x h xxa 2 ( )2ln220 x h x ( )h x()0h ()0h ( )h x ) 6 2cos( xy，最小正周期为;D:) 4 2tan( xy，最小正周期为 2 最小正周 期为的函数为 ABC 14.（2019 全国理改编）设函数=sin（）(0)，已知在有且 仅有 5 个零点，下述结论正确的是（） A.在（）有且仅有 3 个极大值点 B.在（）有且仅有 2 个极小值点 C.在（）单调递增 D.的取值范围是) 答案 CD 【解析】当时， 因为在有且仅有 5 个零点，所以， 所以，故 AB 错，D 正确， 当时 ， 若在单 调 递 增 ， 则 ，即
24、，因为，故 C 正确 15 (2011 安徽改编)设( )f x=sin2cos2axbx， 其中, a bR，0ab， 若( )( ) 6 f xf 对一切则xR恒成立，则以下结论正确的是（） A. 11 ()0 12 f B. 7 () 10 f () 5 f C.( )f x既不是奇函数也不是偶函数 D.( )f x的单调递增区间是 2 ,() 63 kkkZ 答案 AC f x 5 x f x0,2 f x 0,2 f x 0,2 f x0,10 12 29 5 10 ， 0,2 x,2 555 x f x0,2 526 5 1229 510 (0,) 10 x (2) , 5510
25、x f x 0, 10 (2) 102 3 1229 510 【解析】 22 ( )sin2cos2sin(2)f xaxbxabx（其中tan b a ），因此对一 切xR，( )|()| 6 f xf 恒成立，所以sin()1 3 ， 可得() 6 kkZ ，故 22 ( )sin(2) 6 f xabx 而 22 1111 ()sin(2)0 12126 fab ，所以 A 正确； 2222 74717 |()| |sin| |sin| 123030 fabab ， 22 17 |()| |sin| 530 fab ， 所以 7 |()| |()| 105 ff ，故 B 错；C 明显正
26、确；D 错误. 16（2012 安徽改编）设ABC的内角, ,A B C所对的边为, ,a b c；则下列命题正确的是 A.若 2 abc；则 3 C B.若2abc；则 3 C C.若 333 abc；则 2 C D.若()2ab cab；则 2 C 答案 ABC 【解析】A. 222 2 21 cos 2223 abcabab abcCC abab B. 222222 4()()1 2cos 2823 abcabab abcCC abab C.当 2 C 时， 22232233 cabca cb cab与 333 abc矛盾 D.取2,1abc满足()2ab cab得： 2 C 六、平面向
27、量 17 （2013 广东改编）设a是已知的平面向量且0a，关于向量a的分解，若向量b， c和a在同一平面内且两两不共线，下列命题中的则真命题的是（） A.给定向量b，总存在向量c，使abc； B.给定向量b和c，总存在实数和，使abc； C.给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc； D.给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc； 答案 AB 【解析】利用向量加法的三角形法则，易的 A 是对的；利用平面向量的基本定理，易的 B 是对的；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满 足，C 是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，
28、即必须 ，所以 D 是假命题. 七、不等式 18（2014 新课标改编）不等式组 1 24 xy xy 的解集记为 D下面四个命题中，是真命 题是（） A.( , ),22x yD xy B.( , ),22x yD xy, C.( , ),23x yD xy D.( , ),21x yD xy 答案 AB 【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知， 当目标函数2zxy经过可行域内的点 A（2，-1）时，取得最小值 0，故20 xy， 因此 12 ,p p是真命题. 19（2010 安徽改编）若0,0,2abab，则下列不等式对一切满足条件的, a b恒成 立的是（） A.1abB.2a
29、b C. 22 2abD. 11 2 ab 答案 ACD 【解析】令1ab，排除 B；由221ababab， 命题 A 正确； 222 ()2422abababab， 命题 C 正确； 112 2 ab ababab ，命题 D 正确 八、立体几何 a b = + bca x y A 1 2 1 2 3 4 11 2 3 4 O 20（2016 年全国 II 改编），是两个平面，m，n 是两条线，下面四个命题中，是真命 题是（） A.如果mn，m ，n，那么 B.如果m，n ，那么mn C.如果a ，m ，那么m D.如果mn，那么 m 与所成的角和 n 与所成的角相等 答案 BCD 【解析】
30、对于命题 A，可运用长方体举反例证明其错误： 如图，不妨设AA为直线 m，CD 为 直线n,ABCD 所在的平面为 ABCD 所在的平面为，显然这些 直线和平面满足题目条件，但不成立 命题 B 正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面相交于直线l，则ln， 由m，有ml，从知mn结论正确 由平面与平面平行的定义知命题 C 正确 由平行的传递性及线面角的定义知命题 D 正确 21（2017 新课标改编）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的 直角边 AC 所在直线与a，b都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，下列结论正 确的是（） A.当直线 AB 与a成 60 角时，AB 与b成 30 角； B.当直线 AB 与a成 60 角时，AB 与b成 60 角； C.直线 AB 与a所成角的最小值为 45 ； D.直线 AB 与a所成角的最小值为 60 ； 答案 BC 【解析】如图 BDEF 为底面圆的内接正方形，设 AC=BC=1， 则2ABADAEAFFBFEEDBD， 即侧面均为等边三角形，AC底面 BDEF， 假设aFB，由题意bBD，当直线 AB 与a成 60 角时，由图可知 AB 与b成 60 角，所以 A 错，B 正确；假设aEB，可知 C 正确，D 错 F E D C B A
