1、期末综合评估 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1已知全集 U1,0,1,2,3，集合 A0,1,2，B1,0,1， 则(UA)B( A ) A1 B0,1 C1,2,3 D1,0,1,3 解析：U1,0,1,2,3，A0,1,2，UA1,3又B 1,0,1，(UA)B1故选 A. 2下列结论正确的是( D ) A若 ab，则 acbc B若 ab，则 a2b2 C若 ab，c0，则 ac b，则 ab 解析：当 c0 时，A 不成立；当 a1，b2 时，B 不成立； 由不等式的性质知 C 不成立；若 a b，
2、则一定能推出 ab，故 D 成 立 3命题“xR，x3x210”的否定是( A ) AxR，x3x210 BxR，x3x210 CxR，x3x210 D不存在 xR，x3x210 解析： 存在量词命题“xM， p(x)”的否定为全称量词命题“ xM，綈 p(x)”，故选 A. 4. 2 2 cos375 2 2 sin375 的值为( A ) A. 3 2 B.1 2 C 3 2 D1 2 解析： 2 2 cos375 2 2 sin375 2 2 cos15 2 2 sin15 cos(45 15 )cos30 3 2 ，故选 A. 5设 asin5 7 ，bcos2 7 ，ctan2 7
3、，则( D ) Aabc Bacb Cbca Dba0， 4 2 7 cos，asin 2 7 cos2 7 b.当 (0， 2)时， sinsin2 7 a，ca.故 cab. 6已知函数 f(x)的定义域是1,1，则函数 g(x)f2x1 ln1x的定 义域是( B ) A0,1 B(0,1) C0,1) D(0,1 解析：由题意得 12x11， 1x0， 1x1， 解得 0x0 时，函数递减，当 x0 对一切 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围是( A ) A2,6) B(2,6) C(，2(6，) D(，2)(6，) 解析： 当 a2 时， 10 成立， 故 a2 符合条件； 当 a
4、2 时， 必须满足 a20， a224a20， 解得 2a1 4 C当 m0 时，2x1x23 D当 m0 时，x123x2 解析：A 中，m0 时，方程为(x2)(x3)0，解得 x12，x2 3，所以 A 正确； B 中，方程整理可得：x25x6m0，由不同两根的条件为： 254(6m)0，可得 m1 4，所以 B 正确；当 m0 时，如图可 得 x123x2； 当1 4m0 时，如图，2x1x23， 所以 C 不正确，D 正确，故选 ABD. 11.已知函数 f(x)sin(x)cos(x)(0， | 2)的最小正 周期为 ，且 f(x)f(x)，则下列说法不正确的是( ABC ) Af
5、(x)在 0， 2 上单调递增 Bf(x)在 4， 3 4 上单调递增 Cf(x)在 0， 2 上单调递减 Df(x)在 4， 3 4 上单调递减 解析：f(x)sin(x)cos(x)， 2sin x 4 ，T ，2，又 f(x)f(x)，f(x)为奇函数， 4k，kZ， 又| 2， 4，f(x) 2sin2x，结合正弦函数的性质可知，y sinx 在 1 2， 3 2 上单调递减，故 y 2sin2x 在 4， 3 4 上单调递减，故 选 ABC. 12把函数 ysin 4x 6 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵 坐 标 不 变 ) 得 到 函 数 f(x) 的 图 象
6、， 已 知 函 数 g(x) fx，11 12 xa， 3x22x1，ax13 12 ， 则当函数 g(x)有 4 个零点时， a 的取值集 合可能为( BCD ) A. 5 12， 1 3 B. 5 12， 1 3 C. 12，1 D. 7 12， 13 12 解析：函数 ysin 4x 6 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，可得 ysin 2x 6 ，即 f(x)sin 2x 6 .当11 12 xa 时，可得 2x 6 2，2a 6 ，若 f(x)sin 2x 6 有 4 个零 点 ， 则h(x) 3x2 2x 1 ， 在 a，13 12 上 没 有 零 点 ，
7、则 2a 60， 7 12a 13 12， a1， 即 a 的取值范围是 7 12， 13 12 .若 f(x)sin 2x 6 有 3 个零点，则 h(x)3x22x1 在 a，13 12 上 有1个 零 点 ， 则 02a 6， ha3a22a10， 12a 7 12， 1 3a1， 即a的取值范围是 12，1 .若f(x)sin 2x 6 有2个零 点 ， 则 h(x) 3x2 2x 1 在 a，13 12 上 有 2 个 零 点 ， 则 2a 60， 5 12 12， a1， 即 a 的取值范围是 5 12， 1 3 .综上可得，a 的取值范围是 5 12， 1 3 12，1 7 12
8、， 13 12 . 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13已知 tan 5 4 1 5，则 tan 3 2，sin2 12 13. 解析：tan 5 4 tan 4 tan1 1tan 1 5，解得 tan 3 2. sin22sincos 2sincos sin2cos2 2tan tan21 3 9 41 12 13. 14 曲线 yasinxbcosx(a0)的一条对称轴的方程为 x 4， 则 b a 1. 解析：因为 yasinxbcosx a2b2sin(x)，其中 tanb a.曲 线 yasinxbcosx(a0)的一条对称轴的方程为 x 4，所以 4
9、k 2，kZ，所以 k 4，kZ，所以 tantan k 4 1，所以b a 1. 15下列说法中正确的有(3)(把你认为正确的序号全部写上) (1)(2)21 2 1 2； (2)已知 loga3 4 3 4； (3)函数 y3x的图象与函数 y3 x 的图象关于原点对称； (4)函数 ylg(x2x)的递增区间为 ，1 2 . 解析：(1)(2)21 2(2 2)1 22 11 2，故(1)不正确 (2)当 a1 时，loga3 41，即 loga 3 43 4，所以 a1.当 0a1 时，loga 3 41，即 loga 3 4logaa，所以 a3 4，所以 0a1 或 0a0， 若
10、f(a)2，则实数 a 的取值 范围是(，14，) 解析：当 x0 时，由 1 2 x2，得 x1，当 x0 时，由 log 2x2， 得 x4，故实数 a 的取值范围为(，14，) 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤) 17(10 分)设 Ax|1x4，Bx|m1x3m1 (1)当 xN*时，求 A 的子集的个数； (2)当 xR 且 ABB 时，求 m 的取值范围 解：(1)当 xN*时，A1,2,3,4，A 中有 4 个元素，所以 A 的子 集的个数为 2416. (2)当 xR 且 ABB 时，BA，当 B时，m13m1， 即 m1，当
11、B时， 1m1， m13m1， 3m14， 解得 0m1.综上，m 的 取值范围为(，10,1 18(12 分)已知函数 f(x)cos2xmcos 2x n，xR. (1)若 m1，n0，求 yf(x)的最小值； (2)若 n0，求 yf(x)的最大值 g(m) 解：(1)对于函数 f(x)cos2xmcos 2x ncos2xmsinxn， 若 m1，n0，则函数 f(x)cos2xsinx， 当 x2k 2，kZ 时，cos2x 和 sinx 同时取得最小值1， 故 f(x)取得最小值为2. (2)若 n0，则 f(x)cos2xmsinx2sin2xmsinx1， 令 sinxt，t1
12、,1，则 y2t2mt1，对称轴方程为 tm 4. 当m 41，即 m1，即 m4 时，g(m)m1. 综上，g(m) m1，m4. 19(12 分)已知 x0，y0,2xyx4ya. (1)当 a16 时，求 xy 的最小值； (2)当 a0 时，求 xy2 x 1 2y的最小值 解：(1)当 a16 时，2xyx4y164 xy16. 即( xy)22 xy80， ( xy2)( xy4)0， xy4，xy16，当且仅当 x4y8 时，等号成立 xy 的最小值为 16. (2)当 a0 时，可得 2xyx4y，两边都除以 2xy，得 1 2y 2 x1， xy2 x 1 2yxy1(xy)
13、 2 x 1 2y 1 7 2 x 2y 2y x 7 2 2 x 2y 2y x 11 2 .当且仅当 x 2y 2y x ，即 x3，y3 2时取等号 xy2 x 1 2y的最小值为 11 2 . 20(12 分)据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关 系式： f(x)Asin(x)BA0， 0， | 2 ， x(xN*)为月份 已 知 3 月份该商品的价格首次达到最高，为 9 万元，7 月份该商品的价 格首次达到最低，为 5 万元 (1)求 f(x)的解析式； (2)求此商品的价格超过 8 万元的月份 解：(1)由题意可知T 2734，T8， 2 T 4. 又 59 2 B， 9
14、5 2 A， A2， B7， f(x)2sin 4x 7. 又 f(x)过点(3,9)，代入 f(x)2sin 4x 7 得 2sin 3 4 79， sin 3 4 1，3 4 22k，kZ. 又|8， sin 4x 4 1 2， 62k 4x 4 5 6 2k，kZ，可得5 38kx0，函数 f(x)2asin 2x 6 2ab，当 x 0， 2 时，5f(x)1. (1)求常数 a，b 的值； (2)设 g(x)f x 2 ，且 lgg(x)0，求 g(x)的单调区间 解：(1)因为 x 0， 2 ，所以 2x 6 6， 7 6 ， 所以 sin 2x 6 1 2，1 ， 因为 a0，
15、所以2asin 2x 6 2a，a， 所以 f(x)b,3ab 又5f(x)1， 所以 b5,3ab1，因此 a2，b5. (2)由(1)得 f(x)4sin 2x 6 1， g(x)f x 2 4sin 2x7 6 14sin 2x 6 1. 因为 lgg(x)0，所以 g(x)1， 所以 4sin 2x 6 11，所以 sin 2x 6 1 2， 所以 2k 62x 62k 5 6 ，kZ， 其中当 2k 62x 62k 2，kZ， 即 kxk 6，kZ 时，g(x)单调递增， 所以 g(x)的单调递增区间为 k，k 6 ，kZ. 当 2k 22x 62k 5 6 ，kZ， 即 k 6x0
16、 时，f(x)log2 1 xa . (1)若函数 f(x)的图象过点(1,1)，求此时函数 f(x)的解析式； (2)若函数 g(x)f(x)2log2x 只有一个零点，求实数 a 的值； (3)设 a0，若对任意实数 t 1 3，1 ，函数 f(x)在t，t1上的最 大值与最小值的差不大于 1，求实数 a 的取值范围 解：(1)函数 f(x)log2 1 xa 的图象过点(1,1)， f(1)log2(1a)1， a1，此时函数 f(x)log2 1 x1 (x0) (2)由 f(x)2log2x0，得 log2 1 xa 2log2x0， log2 1 xa x 2 0， 1 xa x
17、21，化为 ax2x10， 当 a0 时，可得 x1，经检验知满足函数 g(x)只有一个零点； 当 a0 时，令 14a0，解得 a1 4，可得 x2， 经检验知满足函数 g(x)只有一个零点， 综上可得 a0 或 a1 4. (3)任取 x1，x2(0，)且 x1x2， 则 f(x2)f(x1)log2 1 x2a log2 1 x1a log2 x1ax1x2 x2ax1x2， 0x10，0x1ax1x2x2ax1x2， 0x 1ax1x2 x2ax1x21，log2 x1ax1x2 x2ax1x20，f(x2)f(x1)0，函数 h(t)在区间 1 3，1 上单调递增， h 1 3 0，即a 9 a1 3 10，解得 a3 2. 故实数 a 的取值范围为 3 2， .
