1、 中考数学 （山东丏用） 第三章 变量与函数 3.4 二次函数 A组 20162020年山东中考题组 考点一 二次函数的解析式 1.(2019济宁,8,3分)将抛物线y=x2-6x+5向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,得到的抛物线 解析式是( ) A.y=(x-4)2-6 B.y=(x-1)2-3 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x-4)2-2 答案答案 D y=x2-6x+5=(x-3)2-4,所以抛物线的顶点坐标为(3,-4), 把点(3,-4)向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度得到点的坐标为(4,-2),所以平移后得到的抛物 线解析式为y=(x-4)2-2.
2、2.(2020威海,15,3分)下表中y与x的数据满足我们初中学过的某种函数关系,其函数表达式为 . x -1 0 1 3 y 0 3 4 0 答案答案 y=-x2+2x+3 解析解析 根据表中x与y的数据可设函数表达式为y=ax2+bx+c(a0), 将表中(1,4)、(-1,0)、(0,3)代入函数表达式,得 解得 函数表达式为y=-x2+2x+3. 4, 0, 3, abc abc c 1, 2, 3, a b c 3.(2018泰安,17,3分)如图,在ABC中,AC=6,BC=10,tan C=,点D是AC边上的动点(不与点C重合),过D作 DEBC,垂足为E,点F是BD的中点,连接
3、EF,设CD=x,DEF的面积为S,则S与x之间的函数关系式为 . 3 4 答案答案 S=-x2+x 3 25 3 2 解析解析 在RtCDE中,tan C=,故可设DE=3a,CE=4a,则CD=5a=x,a=,DE=x,CE=x, BE=10-x.点F是BD的中点,DEF的面积为DEB的面积的一半,S=BE DE= x=-x2+x,即S=-x2+x. DE CE 3 45 x3 5 4 5 4 5 1 2 1 2 1 2 4 10 5 x 3 5 1 2 3 25 3 2 3 25 3 2 考点二 二次函数的图象和性质 1.(2020滨州,11,3分)对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+
4、bx+c(a、b、c为常数,且a0)如图所示,小明同学 得出了以下结论:abc4ac,4a+2b+c0,3a+c0,a+bm(am+b)(m为任意实数),当x0,由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上可知c0,对称轴为直 线x=-=1,b=-2a0,错误; 抛物线与x轴有两个交点,b2-4ac0,b24ac,正确; 当x=2时,y=4a+2b+c0,又b=-2a,3a+c0,正确; 当x=1时,y的值最小,此时y=a+b+c,又当x=m时,y=am2+bm+c,a+b+cam2+bm+c, 故a+bam2+bm,即a+bm(am+b),正确; 当x-1时,y随x的增大而减小,错误. 故正确结论的个
5、数为3. 2 b a 2.(2018威海,9,3分) 二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示,下列结论错误的是( ) A.abc0 B.a+c4ac D.2a+b0 答案答案 D 由图象开口可知a0, b0, 由抛物线与y轴的交点可知c0,abc0,故A正确; 由图象可知当x=-1时,y0,y=a-b+c0,a+c2,又a0,4ac-b24ac,故C正确; x=-1,a0,2a+b0,故D错误,故选D. 2 b a 2 4 4 acb a 2 b a 考点三 二次函数与一元二次方程及不等式的联系 1.(2016滨州,10,3分)抛物线y=2x2-2x+1与坐标轴的交点个数是( ) A.0 B
6、.1 C.2 D.3 2 答案答案 C =b2-4ac=(-2)2-421=0,抛物线与x轴有一个交点,c=1,抛物线与y轴相交于点(0,1), 抛物线与坐标轴有2个交点,故选C. 2 思路分析思路分析 先根据判别式判断出抛物线与x轴的交点个数,再加上与y轴的一个交点,从而得出抛物线与 坐标轴的交点个数. 易错警示易错警示 抛物线与坐标轴的交点包括与x轴的交点和与y轴的交点两种情况,易错的地方是漏掉一种 情况. 拓展延伸拓展延伸 判断函数图象与坐标轴是否有交点,其实就是看自变量和函数值能不能取0,自变量能取0,就 与y轴有交点;函数值能取0,就与x轴有交点.例如,反比例函数y=中,x和y都不能
7、取0,所以其图象与坐标 轴无交点.但是函数y=中,当x=0时,y=6;当y=0时,x=6,所以这个函数的图象与坐标轴的交点是(0,6)和 (6,0). 6 x 6 1 x x 2.(2018莱芜,10,3分)函数y=ax2+2ax+m(a0)的图象过点(2,0),则使函数值y0成立的x的取值范围是( ) A.x2 B.-4x2 C.x2 D.0x2 答案答案 A 将(2,0)代入y=ax2+2ax+m(a0),得m=-8a,把m=-8a代入y=ax2+2ax+m(a0),得y=ax2+2ax-8a=a(x2 +2x-8),令y=0,因为a0,所以x2+2x-8=0,解得x=2或-4.因为a0,
8、即函数图象开口向下,所以使y0成立的x的 取值范围是x2. 3.(2019泰安,16,4分)若二次函数y=x2+bx-5图象的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的解为 . 答案答案 x1=2,x2=4 解析解析 二次函数y=x2+bx-5图象的对称轴为直线x=2,-=2,得b=-4, 则x2+bx-5=2x-13可化为x2-4x-5=2x-13, 解得x1=2,x2=4. 2 b 思路分析思路分析 根据对称轴方程求得b,再解一元二次方程即可. 4.(2019威海,23,10分)在画二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下: x -1
9、 0 1 2 3 y甲 6 3 2 3 6 乙写错了常数项,列表如下: x -1 0 1 2 3 y乙 -2 -1 2 7 14 通过上述信息,解决以下问题: (1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a0)的表达式; (2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a0),当x 时,y的值随x的值增大而增大; (3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围. 解析解析 (1)由甲同学的错误可知c=3, 根据乙同学提供的数据,选择x=-1,y=-2,x=1,y=2,x=0,y=-1代入y=ax2+bx+c(a0), 得解得 y=x2+2x+3. (2)y=x2+2x
10、+3图象的对称轴为直线x=-1, 二次项系数为1,抛物线开口向上, 当x-1时,y的值随x的值增大而增大, (3)方程ax2+bx+c=k(a0)有两个不相等的实数根, 即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根, =4-4(3-k)0, 解得k2. 2, 2, 1, abc abc c 1, 2, a b 思路分析思路分析 (1)由甲同学的错误,可知其中的c正确,由乙同学的错误,可知其中的a,b正确,由提供的数据用 待定系数法求出a和b即可; (2)先求对称轴方程,再根据开口向上和增减性求得答案; (3)x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根,所以由判别式0即可求得答案. 考点四 二次
11、函数的综合应用 1.(2019临沂,14,3分)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的 函数关系如图所示.下列结论: 小球在空中经过的路程是40 m; 小球抛出3秒后,速度越来越快; 小球抛出3秒时的速度为0 m/s; 小球的高度h=30 m时,t=1.5 s. 其中正确的是( ) A. B. C. D. 答案答案 D 由题图知小球在空中达到的最大高度是40 m,故错误; 小球抛出3秒后,速度越来越快,故正确; 小球抛出3秒时到达最高点,速度为0 m/s,故正确; 设函数解析式为h=a(t-3)2+40,a0, 把O(0,0)代入得0=a(0-3)
12、2+40,解得a=-, 函数解析式为h=-(t-3)2+40, 把h=30代入解析式得,30=-(t-3)2+40, 解得t=4.5或t=1.5, 小球的高度h=30 m时,t=1.5 s或4.5 s,故错误. 40 9 40 9 40 9 2.(2020滨州,24,13分)某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果,若售价为50元/千克,则一个月可 售出500千克;若售价在50元/千克的基础上每涨价1元,则月销售量就减少10千克. (1)当售价为55元/千克时,每月销售水果多少千克? (2)当月利润为8 750元时,每千克水果售价为多少元? (3)当每千克水果售价为多少元时,获得的月利润
13、最大? 解析解析 (1)当售价为55元/千克时,每月销售500-10(55-50)=450千克水果. (2)设每千克水果售价为x元, 由题意可得8 750=(x-40)500-10(x-50), 解得x1=65,x2=75. 答:每千克水果售价为65元或75元. (3)设每千克水果售价为m元时,获得的月利润为y元, 由题意可得y=(m-40)500-10(m-50)=-10(m-70)2+9 000, 当m=70时,y取得最大值. 答:当每千克水果售价为70元时,获得的月利润最大. 思路分析思路分析 (1)根据月销售量=500-(每千克的售价-50)10即可求解; (2)设每千克水果售价为x元
14、,根据“月利润=每千克水果的利润月销售量”可列方程,即可求解; (3)设每千克水果售价为m元时,获得的月利润为y元,根据“月利润=每千克的利润月销售量”可得y与 m的关系式,根据二次函数的性质即可求解. 3.(2020聊城,25,12分)如图,二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C,抛物线 的顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E,垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F,动直 线l在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿x轴正方向移动到B点. (1)求二次函数y=ax2+bx+4和BC所在直线的表达式; (2)在动直线l移动的过程
15、中,试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标; (3)连接CP,CD,在动直线l移动的过程中,抛物线上是否存在点P,使得以点P,C,F为顶点的三角形与 DCE相似?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由. 解析解析 (1)将点A(-1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+4, 得解得 二次函数的表达式为y=-x2+3x+4, 当x=0时,y=4,C(0,4). 设BC所在直线的表达式为y=mx+n, 将C(0,4),B(4,0)代入y=mx+n, 得解得 BC所在直线的表达式为y=-x+4. (2)DEx轴,PFx轴, DEPF, 04, 01644, ab ab 1, 3,
16、 a b 4, 04, n mn 1, 4, m n 只要DE=PF,四边形DEFP即为平行四边形. y=-x2+3x+4=-+, 点D的坐标为. 将x=代入y=-x+4,得y=-+4=, 点E的坐标为, DE=-=. 设点P的横坐标为t,t4, 则点P的坐标为(t,-t2+3t+4),点F的坐标为(t,-t+4), 2 3 2 x 25 4 3 25 , 24 3 2 3 2 5 2 3 5 , 2 2 25 4 5 2 15 4 3 2 PF=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t. 由DE=PF得-t2+4t=, 解得t1=(不合题意,舍去),t2=. 当t=时,-t2+3t+4=
17、-+3+4=, 点P的坐标为. (3)存在. 由(2)得PFDE,CED=CFP, 又PCF与DCE有共同的顶点C,且PCF在DCE的内部, PCFDCE, 15 4 3 2 5 2 5 2 2 5 2 5 2 21 4 5 21 , 2 4 只有PCF=CDE时,PCFCDE, =. C(0,4),E, CE=. 由(2)得DE=,PF=-t2+4t,F的坐标为(t,-t+4), CF=t, =, t0,(-t+4)=3,解得t=. PF CE CF DE 3 5 , 2 2 22 35 4 22 3 2 2 15 4 22 4(4)tt 2 2 4 3 2 2 tt2 15 4 t 15
18、4 16 5 当t=时,-t2+3t+4=-+3+4=, 点P的坐标为. 16 5 2 16 5 16 5 84 25 16 84 , 5 25 思路分析思路分析 (1)将点A,B的坐标代入二次函数的表达式即可,求出二次函数的表达式,进而得到点C(0,4),由 待定系数法求出BC所在直线的表达式; (2)易得DEPF,根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可知,只要证明DE=PF,四边形 DEFP即为平行四边形,由二次函数的表达式求出点D的坐标,由直线BC的表达式求出点E的坐标,则DE= ,设点P的横坐标为t,则P的坐标为(t,-t2+3t+4),点F的坐标为(t,-t+4),由DE=
19、PF即可得出答案; (3)由平行线的性质得出CED=CFP,且PCFDCE,故只有当PCF=CDE时,PCFCDE, 则=,由此建立方程,解方程即可. 15 4 PF CE CF DE 4.(2019滨州,26,14分)如图1,抛物线y=-x2+x+4与y轴交于点A,与x轴交于点B,C,将直线AB绕点A逆时针 旋转90,所得直线与x轴交于点D. (1)求直线AD的函数解析式; (2)如图2,若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点, 当点P到直线AD的距离最大时,求点P的坐标和最大距离; 当点P到直线AD的距离为时,求sinPAD的值. 1 8 1 2 5 2 4 解析解析 (1)当x=0时,y
20、=4,则点A的坐标为(0,4), 当y=0时,0=-x2+x+4,解得x1=-4,x2=8,则点B的坐标为(-4,0),点C的坐标为(8,0), OA=OB=4, OBA=OAB=45, 将直线AB绕点A逆时针旋转90得到直线AD, BAD=90, OAD=45, ODA=45, OA=OD, 点D的坐标为(4,0), 1 8 1 2 设直线AD的函数解析式为y=kx+b,k0, 将A、D点的坐标代入y=kx+b得 解得 直线AD的函数解析式为y=-x+4. (2)作PNx轴交直线AD于点N,如图1所示, 设点P的坐标为,则点N的坐标为(t,-t+4), PN=-(-t+4)=-t2+t, 作
21、PHAD于点H,则PHN=90, PNx轴, 4, 40, b kb 1, 4, k b 2 11 ,4 82 ttt 2 11 4 82 tt 1 8 3 2 PNy轴, OAD=PNH=45, PH=PN=-t2+t=-(t-6)2+, 当t=6时,PH取得最大值,此时点P的坐标为, 即当点P到直线AD的距离最大时,点P的坐标是,最大距离是. 当点P到直线AD的距离为时,如图2所示, 则-t2+t=, 解得t1=2,t2=10, 2 2 2 2 2 13 82 tt 2 16 3 2 4 2 16 9 2 4 9 2 4 5 6, 2 5 6, 2 9 2 4 5 2 4 2 16 3 2
22、 4 5 2 4 则P1的坐标为,P2的坐标为, 当P1的坐标为时,P1A=,sinP1AD=; 当P2的坐标为时,P2A=,sinP2AD=. 综上可得sinPAD的值是或. 9 2, 2 7 10, 2 9 2, 2 2 2 9 (20)4 2 17 2 5 2 4 17 2 5 34 34 7 10, 2 2 2 7 (100)4 2 25 2 5 2 4 25 2 2 10 5 34 34 2 10 思路分析思路分析 (1)根据抛物线y=-x2+x+4与y轴交于点A,与x轴交于点B,C,可以求得点A,B,C的坐标,再根 据将直线AB绕点A逆时针旋转90,所得直线与x轴交于点D,求得点D
23、的坐标,从而可以求得直线AD的函 数解析式; (2)根据题意,作出合适的辅助线,然后根据二次函数的性质即可求得点P到直线AD的距离最大值,进而 可以得到点P的坐标; 根据中关系式及题意,可以求得点P的坐标,从而可以求得sinPAD的值. 1 8 1 2 5.(2019聊城,25,12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-2,0),点B(4,0),与y轴交 于点C(0,8),连接BC,又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l,沿x轴正方向从O运动到B(不含O点和B 点),且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P,D,E. (1)求抛物线的表达式; (2)连接AC
24、,AP,当直线l运动时,求使得PEA和AOC相似的点P的坐标; (3)作PFBC,垂足为F,当直线l运动时,求RtPFD面积的最大值. 解析解析 (1)将点A、B、C的坐标代入y=ax2+bx+c得 解得 抛物线的表达式为y=-x2+2x+8. (2)A(-2,0),C(0,8),OA=2,OC=8, lx轴,PEA=AOC=90, PAECAO, 只有当APE=CAO时,PEAAOC, 此时=,即=, AE=4PE, 420, 1640, 8, abc abc c 1, 2, 8. a b c AE CO PE AO8 AE 2 PE 设点P的纵坐标为k,则PE=k,AE=4k, OE=4k
25、-2, 将点P的坐标(4k-2,k)代入y=-x2+2x+8,得k=-(4k-2)2+2(4k-2)+8, 解得k=或0(舍), 点P的坐标为. (3)PFD=BOC=90, ly轴,PDF=BCO,RtPFDRtBOC, =,SPFD= SBOC, 又SBOC=OB OC=48=16,BC=4, 23 16 15 23 , 4 16 PFD BOC S S 2 PD BC 2 PD BC 1 2 1 2 22 COBO5 SPFD= SBCO=PD2, 即当PD取得最大值时,SPFD最大, 由B(4,0),C(0,8)易得直线BC的表达式为y=-2x+8, 设点P(m,-m2+2m+8),则
26、点D(m,-2m+8), 则PD=-m2+2m+8+2m-8=-(m-2)2+4, 当m=2时,PD取最大值,最大值为4, 当PD=4时,SPDF=PD2=,即RtPFD面积的最大值为. 2 PD BC 1 5 1 5 16 5 16 5 思路分析思路分析 (1)将点A、B、C的坐标代入y=ax2+bx+c即可求解; (2)只有当APE=CAO时,PEAAOC,可得AE=4PE,设P的纵坐标为k,则点P的坐标为(4k-2,k),即 可求解; (3)利用RtPFDRtBOC得=PD2,再求出PD的最大值,即可求解. PFD BOC S S 2 PD BC 1 5 B组 20162020年全国中考
27、题组 考点一 二次函数的解析式 1.(2020江西,6,3分)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点A,与x轴正半轴交 于点B,连接AB,将RtOAB向右上方平移,得到RtOAB,且点O,A落在抛物线的对称轴上,点B落在抛 物线上,则直线AB的表达式为( ) A.y=x B.y=x+1 C.y=x+ D.y=x+2 1 2 答案答案 B 令x=0,则y=-3,故A(0,-3).令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,故B(3,0),易得直线AB的表达式为y= x-3.将RtOAB向右上方平移得到RtOAB,且点O、A落在抛物线的对称轴x=1上
28、, 点B的横坐标为4,代入抛物线表达式可得B(4,5).ABAB,可设直线AB的表达式为y=x+b,将点B (4,5)代入可得b=1,直线AB的表达式为y=x+1,故选B. 思路分析思路分析 首先求出点A、B的坐标,然后由待定系数法求出直线AB的表达式.因为点O、B在x轴上,所以 向右上方平移后OBx轴,ABAB,又点O、A落在抛物线的对称轴x=1上,可推出点B的横坐标为4,从 而可求点B的坐标,将点B的坐标代入所设的直线AB的表达式中即可得解. 2.(2020湖南长沙,12,3分)“闻起来臭,吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃.臭豆腐虽小,但制作流程却 比较复杂,其中在进行加工煎炸臭豆腐时,我
29、们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用 率”.在特定条件下,“可食用率”p与加工煎炸时间t(单位:分钟)近似满足的函数关系为:p=at2+bt+c(a 0,a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数关系和实验数据,可以得到加工煎炸臭豆腐的 最佳时间为( ) A.3.50分钟 B.4.05分钟 C.3.75分钟 D.4.25分钟 答案答案 C 由题图可知函数图象经过点(3,0.8),(4,0.9),(5,0.6), 则 解得 故p=-0.2t2+1.5t-1.9,其图象的对称轴为直线t=-=3.75,所以加工煎炸臭豆腐的最佳时间为3.75分钟.故 选C. 930.8,
30、1640.9, 2550.6, abc abc abc 0.2, 1.5, 1.9, a b c 2 b a 3.(2019广西百色,9,3分)抛物线y=x2+6x+7可由抛物线y=x2如何平移得到( ) A.先向左平移3个单位,再向下平移2个单位 B.先向左平移6个单位,再向上平移7个单位 C.先向上平移2个单位,再向左平移3个单位 D.先向右平移3个单位,再向上平移2个单位 答案答案 A 将y=x2+6x+7配方得y=(x+3)2-2, 将抛物线y=x2向左平移3个单位,再向下平移2个单位得到抛物线y=(x+3)2-2,即y=x2+6x+7.故选A. 思路分析思路分析 将y=x2+6x+7
31、配方成顶点式得到y=(x+3)2-2,根据“左加右减,上加下减”的平移变换规律,将 抛物线y=x2向左平移3个单位,再向下平移2个单位即可得到抛物线y=(x+3)2-2. 4.(2017江苏盐城,6,3分)如图,将函数y=(x-2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A (1,m)、B(4、n)平移后的对应点分别为点A、B.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象 的函数表达式是( ) A.y=(x-2)2-2 B.y=(x-2)2+7 C.y=(x-2)2-5 D.y=(x-2)2+4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 答案答案 D 连接AB、AB,则S
32、阴影=S四边形ABBA.由平移可知,AA=BB,且AABB,所以四边形ABBA是平行四 边形.分别延长AA、BB交x轴于点M、N.因为A(1,m)、B(4,n),所以MN=4-1=3.S平行四形ABBA=AA MN,即9=3 AA,解得AA=3,即图象沿y轴向上平移了3个单位,所以新图象的函数表达式为y=(x-2)2+4. 1 2 方法规律方法规律 本题不管曲线上下平移还是左右平移,其解决方法是一样的,都是把不规则的图形通过割补 法转化为规则的图形. 考点二 二次函数的图象和性质 1.(2020内蒙古呼和浩特,7,3分)关于二次函数y=x2-6x+a+27,下列说法错误的是( ) A.若将图象
33、向上平移10个单位,再向左平移2个单位后过点(4,5),则a=-5 B.当x=12时,y有最小值a-9 C.x=2对应的函数值比最小值大7 D.当a0时,图象与x轴有两个不同的交点 1 4 答案答案 C y=x2-6x+a+27=(x-12)2+a-9, 将图象向上平移10个单位,再向左平移2个单位后,所得图象对应的二次函数解析式为y=(x-10)2+a+1, 当x=4,y=5时,5=(4-10)2+a+1,解得a=-5,故A中说法正确. 当x=12时,ymin=a-9,故B中说法正确. 当x=2时,y=(2-12)2+a-9=a+16, a+16-(a-9)=25,故C中说法错误. =(-6
34、)2-4(a+27)=36-a-27=9-a, 当a0,图象与x轴有两个不同的交点,故D中说法正确. 故选C. 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 2.(2020四川成都,10,3分)关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是( ) A.图象的对称轴在y轴的右侧 B.图象与y轴的交点坐标为(0,8) C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0) D.y的最小值为-9 答案答案 D 图象的对称轴为直线x=-=-1,在y轴的左侧,故A错; 当x=0时,y=-8, 图象与y轴的交点坐标为(0,-8),故B错; y=x2+2x-8=(x+4)(x-2), 图象与x轴的交点坐标为
35、(-4,0)和(2,0),故C错; y=x2+2x-8=(x+1)2-9,(x+1)20, (x+1)2-9-9, y的最小值为-9,故D正确. 2 2 3.(2018湖南永州,9,4分)在同一平面直角坐标系中,反比例函数y=(b0)与二次函数y=ax2+bx(a0)的 图象大致是( ) b x 答案答案 D A.抛物线y=ax2+bx开口方向向上,则a0,对称轴位于y轴的右侧,则a、b异号,即b0,对称轴位于y轴的左侧,则a、b同号,即b0,所以反比例函数y= 的图象位于第一、三象限,故本选项错误; C.抛物线y=ax2+bx开口方向向下,则a0,所以反比例函数y= 的图象位于第一、三象限,
36、故本选项错误. D项正确.故选D. b x b x b x 解题关键解题关键 此题主要考查了反比例函数的图象以及二次函数的图象,熟练掌握二次函数,反比例函数中 系数与图象位置之间的关系是解决本题的关键. 4.(2019陕西,10,3分)在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+(2m-1)x+2m-4与y=x2-(3m+n)x+n关于y轴对 称,则符合条件的m、n的值为( ) A.m=,n=- B.m=5,n=-6 C.m=-1,n=6 D.m=1,n=-2 5 7 18 7 答案答案 D 若两个抛物线关于y轴对称,则两个抛物线的对称轴关于y轴对称,两个抛物线与y轴交于同一 点,即-+=0,n
37、=2m-4,解得m=1,n=-2,故选D. 21 2 m3 2 mn 解题关键解题关键 本题考查了二次函数的图象与系数的关系,根据题意得出对称轴关于y轴对称,两个抛物线与 y轴交于同一点是解题关键. 5.(2019广西梧州,12,3分)已知m0,关于x的一元二次方程(x+1) (x-2)-m=0的解为x1,x2(x1x2),则下列结论正 确的是( ) A.x1-12x2 B.-1x12x2 C.-1x1x22 D.x1-1x20, 则在同一坐标系中画出y1与y2的大致图象,如图, 从图象中观察得到,x1-120时,点越靠近 对称轴的那个函数值越小;当a0,对称轴为直线x=-=-2. 线段AB的
38、长不大于4, 4a+13, a, a2+a+1的最小值为+1=. 4 2 a a 1 2 2 1 2 1 2 7 4 8.(2019广西贵港,18,3分)我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c|(a0,且b2-4ac0)的函数叫做“鹊桥” 函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2-2x-3|的图象(如图所示),并写出下列五个结论:图象与坐标轴 的交点为(-1,0),(3,0)和(0,3);图象具有对称性,对称轴是直线x=1;当-1x1或x3时,函数值y随x值 的增大而增大;当x=-1或x=3时,函数的最小值是0;当x=1时,函数的最大值是4.其中正确结论的个数 是 . 答案答案 4
39、解析解析 对于“鹊桥”函数y=|x2-2x-3|, 令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3. 该函数图象与x轴的交点为(-1,0),(3,0), 令x=0,则y=|-3|=3, 该函数图象与y轴的交点为(0,3),故正确. y=|x2-2x-3|= 因此,当x-1或x3时,函数y=x2-2x-3的图象关于直线x=1对称; 当-1x3时,y=-x2+2x+3的图象关于直线x=1对称, 故y=|x2-2x-3|的图象具有对称性,对称轴为直线x=1,因此正确. 结合、的分析和图象可知, 2 2 23(31), 23( 13), xxxx xxx 或 当-1x1或x3时,y随x的增大
40、而增大,故正确. 当x=-1或x=3时,y=0,为函数的最小值,正确. 当x=1时,y=4,但不是函数的最大值, x3时,y随x的增大而增大,因此函数无最大值,故错误. 综上所述,正确的结论的个数是4. 思路分析思路分析 结合函数及其图象逐个分析判断:对于,分别令x=0和y=0,求出坐标即可判断;中,“鹊 桥”函数本质为由两个二次函数构成的分段函数,由两个函数图象均关于直线x=1对称即可判断; 均可由图象以及前面的分析判断. 考点三 二次函数与一元二次方程及不等式的联系 1.(2019湖南岳阳,8,3分)对于一个函数,自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如 果二次函数
41、y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2,且x11x2,则c的取值范围是( ) A.c-3 B.c-2 C.c D.c1 1 4 答案答案 B 由题意知两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c=x的两个实数根, 整理得x2+x+c=0,又x11x2, 解得c-2. 故选B. 0, 1 10. c 2.(2018湖北襄阳,9,3分)已知二次函数y=x2-x+m-1的图象与x轴有交点,则m的取值范围是( ) A.m5 B.m2 C.m2 1 4 答案答案 A 根据题意,得=b2-4ac0,所以(-1)2-410,解得m5. 1 1 4 m 3.(2020宁夏,10,3分)若二次函数y=
42、-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是 . 答案答案 k-1 解析解析 若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则=4+4k0,解得k-1. 4.(2018湖北黄冈,22,8分)已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x. (1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点; (2)设直线l与该抛物线两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求OAB的面积. 解析解析 (1)证明:令x2-4x=kx+1,则x2-(4+k)x-1=0, 因为=(4+k)2+40,所以直线l与该抛物线总有两个交点. (2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l与y轴的交
43、点为C,则C点的坐标为(0,1), 易知x1+x2=4+k=2,x1x2=-1, 所以(x1-x2)2=8,所以|x1-x2|=2, 所以OAB的面积S= OC |x1-x2|=12=. 2 1 2 1 2 22 5.(2019广西玉林,26,12分)已知二次函数:y=ax2+(2a+1)x+2(a0). (1)求证:二次函数的图象与x轴有两个交点; (2)当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且a为负整数时,求a的值及二次函数的解析 式并画出二次函数的图象(不用列表,只要求用其与x轴的两个交点A,B(A在B的左侧),与y轴的交点C及其 顶点D这四点画出二次函数的大致图象,同时标出
44、A,B,C,D的位置); (3)在(2)的条件下,二次函数的图象上是否存在一点P使PCA=75?如果存在,求出点P的坐标;如果不存 在,请说明理由. 解析解析 (1)解法一:令y=0,得关于x的一元二次方程ax2+(2a+1)x+2=0(a0), =(2a+1)2-4a2=(2a-1)2,a0,(2分) 方程有两个不相等的实数根, 故二次函数的图象与x轴有两个交点.(3分) 解法二:令y=0,得关于x的一元二次方程ax2+(2a+1) x+2=0(a0), 即(ax+1)(x+2)=0,得两根x1=-2,x2=-,(2分) 1 a 2 (21)(21)8(21)(12 ) , 22 aaaaa
45、 x aa 或 12 1 2,xx a 又a0,-2,即x1x2, 方程有两个不相等的实数根, 故二次函数的图象与x轴有两个交点.(3分) (2)令y=0,得关于x的一元二次方程ax2+(2a+1)x+2=0(a0), 即(ax+1)(x+2)=0,得两根x1=-2,x2=-,(4分) -是整数,且a为负整数,a=-1,(5分) 二次函数的解析式是y=-x2-x+2.(6分) 又y=-x2-x+2=-+,D, 又A(-2,0),B(1,0),C(0,2). 1 a 1 a 1 a 1 a 2 1 2 x 9 4 1 9 , 2 4 画二次函数的大致图象如图. (7分) (3)由(2)知,OA=
46、OC,OCA=45.(8分) 当点P在AC的上方时,连接PC并延长与x轴交于点M, PCA=75,OCA=45, OCM=180-75-45=60, OM=OC tan 60=2. 设直线PC的解析式是y=kx+2, 把(2,0)代入y=kx+2,得k=-. 直线PC的解析式为y=-x+2. 解方程组得或 P1.(10分) 当点P在AC的下方时,连接CP并延长与x轴交于点N, 3 3 3 3 3 3 2 2, 3 2, 3 yxx yx 1 1 0, 2 x y 2 2 33 , 3 53 , 3 x y 33 53 , 33 PCA=75,OCA=45, OCN=75-45=30,ON=OC tan 30=, N, 设直线PC的解析式是y=kx+2,把代入y=kx+2,得k=-, 直线PC的解析式为y=-x+2. 解方程组得或 P2(-1,-1). 综上,存在满足题意的点P,其坐标为或(-1,-1).(12分) 2 3 3 2 3 ,0 3 2 3 ,0 3 3 3 2 2, 32, yxx yx 3 3 0, 2 x y 4 4 31, 31, x y 33 33 53 , 33
