1、 中考数学 （河北丏用） 3.2 一次函数 考点一 一次函数的图象与性质 1.(2020广东广州,6,3分)一次函数y=-3x+1的图象过点(x1,y1),(x1+1,y2),(x1+2,y3),则( ) A.y1y2y3 B.y3y2y1 C.y2y1y3 D.y3y1y2 答案答案 B 将点(x1,y1),(x1+1,y2),(x1+2,y3)代入y=-3x+1中,得y1=-3x1+1,y2=-3(x1+1)+1=-3x1-2,y3=-3(x1+2)+1= -3x1-5. y1-y2=-3x1+1-(-3x1-2)=3,y2-y3=-3x1-2-(-3x1-5)=3,y2y1,y3y2,y
2、3y2y1.故选B. 一题多解一题多解 对于一次函数y=-3x+1,-30,y随x的增大而减小,又x1x1+1x1+2,y3y2y1.故选B. 2.(2020广东广州,9,3分)直线y=x+a不经过第二象限,则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 答案答案 D 直线y=x+a不经过第二象限,a0. 当a=0时,方程为2x+1=0,只有一个实数解; 当a0,方程有两个解. 故方程有1个解或2个解.故选D. 易错警示易错警示 本题易将a=0的情况漏掉,从而错选C. 3.(2016河北,5,3分)若k0,b0,b=0, 选项C中,k0,
3、选项D中,k=0,b0,b=10,直线y=kx+ b经过第一、二、三象限,故A错误;在y=x+1中,令y=0,得x+1=0,x=-1,即与x轴交于(-1,0),故B错误;在y=x +1中,令x=0,得y=1,与y轴交于(0,1),故C正确;直线y=x+1中k=10,y随x的增大而增大,故D错误. 5.(2019四川成都,13,4分)已知一次函数y=(k-3)x+1的图象经过第一、二、四象限,则k的取值范围是 . 答案答案 k3 解析解析 由题意得k-30,所以k3. 6.(2018上海,14,4分)如果一次函数y=kx+3(k是常数,k0)的图象经过点(1,0),那么y的值随x的值的增大而 .
4、(填“增大”或“减小”) 答案答案 减小 解析解析 因为一次函数图象经过点(1,0),故将其代入y=kx+3得0=k+3,解得k=-32,则b的取值范围为( ) A.b2 B.b-2 C.b2 D.b2,所以-b2,即b-2, 故选D. 3.(2019贵州贵阳,12,4分)在平面直角坐标系内,一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示,则关于x,y的 方程组的解是 . 11 22 -, - y k xb y k xb 答案答案 2 1 x y 解析解析 由题图知一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象的交点坐标为(2,1), 关于x,y的方程组的解是 11 22 -, -
5、 y k xb y k xb 2, 1. x y 4.(2020河北,24,10分)表格中的两组对应值满足一次函数y=kx+b,现画出了它的图象为直线l,如图所示.而 某同学为观察k,b对图象的影响,将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数,设其图象为直线l. (1)求直线l的解析式; (2)请在图上画出直线l(不要求列表计算),并求直线l被直线l和y轴所截线段的长; (3)设直线y=a与直线l,l及y轴有三个不同的交点,且其中两点关于第三点对称,直接写出a的值. 解析解析 (1)把x=-1,y=-2;x=0,y=1代入y=kx+b,得 解得 直线l的解析式为y=3x+1. (2)如图,
6、l为所画直线. 由k,b交换位置得直线l的解析式为y=x+3.设直线l与直线l交于点A,与y轴交于点B,过点A作ACy轴于点 C. -2, 1. kb b 3, 1. k b 联立得解得 A(1,4). 在RtACB中,AC=1,BC=4-3=1, AB=. 即直线l被直线l和y轴所截线段的长为. (3)或或7. 详解:直线y=a与直线l,l及y轴有三个不同的交点,交点分别为,(a-3,a),(0,a).若点与点(a-3,a) 关于点(0,a)对称,则+a-3=0,解得a=; 若点与点(0,a)关于点(a-3,a)对称,则-(a-3)=a-3,解得a=; 3, 31, yx yx 1, 4.
7、x y 22 ACBC2 2 5 2 17 5 -1, 3 a a -1, 3 a a -1 3 a5 2 -1, 3 a a -1 3 a17 5 若点(a-3,a)与点(0,a)关于点对称,则a-3-=,解得a=7. 综上,a的值为或或7. -1, 3 a a -1 3 a-1 3 a 5 2 17 5 疑难突破疑难突破 将y=a代入两条直线解析式可得出直线y=a与直线l,l的交点坐标,再写出直线y=a与y轴交点 的坐标,然后结合其中两点关于第三点对称,找出关于a的等量关系求解即可. 考点三 一次函数的应用 1.(2020内蒙古包头,23,10分)某商店销售A,B两种商品,A种商品的销售单
8、价比B种商品的销售单价少40 元,2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元. (1)求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元; (2)该商店计划购进A,B两种商品共60件,且A,B两种商品的进价总额不超过7 800元,已知A种商品和B种 商品的每件进价分别为110元和140元,应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多? 解析解析 (1)设A种商品的销售单价为x元,B种商品的销售单价为y元. 根据题意得解得 答:A种商品的销售单价为140元,B种商品的销售单价为180元.(4分) (2)设A,B两种商品全部售出后总获利为w元,购进A种商品a件,则购进B种商品(60-a)件. 根据题
9、意得w=(140-110)a+(180-140) (60-a), 化简得w=-10a+2 400.110a+140(60-a)7 800,a20. k=-102. 解得x,即为x的取值范围.(5分) (2)将x=108代入y=x-1,得y=108-1=89.(6分) 108-89=19.省了19元.(7分) (3)=-1.(8分) 46, 5972, kb kb 5 , 6 -1. k b 5 6 5 6 18 5 5 6 5 6 y 5 6 x 推导过程: 由(1)知y1=x1-1,y2=x2-1,yn=xn-1. =(y1+y2+yn) = = =-1=-1.(10分) 5 6 5 6 5
10、 6 y 1 n 5 6 12 n xxx n 5 6 x 思路分析思路分析 (1)设y=kx+b(k0),根据题意列方程组即可得到结论,再根据已知条件得到不等式,于是得到x 的取值范围是x;(2)将x=108代入y=x-1求解,然后作差即可;(3)由(1)得y1=x1-1,y2=x2-1,yn=xn -1,根据求平均数的公式即可得到结论. 18 5 5 6 5 6 5 6 5 6 考点四 一次函数与几何知识的综合应用 1.(2020陕西,7,3分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点.若直线y=x+3分别与x轴、直线y=-2x交于点A、B, 则AOB的面积为( ) A.2 B.3 C.4 D.6
11、 答案答案 B 在y=x+3中,令y=0,可得x=-3, 则A(-3,0). 联立可得B(-1,2). SAOB=23=3.故选B. 3, -2 , yx yx -1, 2. x y 1 2 2.(2018河北,24,10分)如图,直角坐标系xOy中,一次函数y=-x+5的图象l1分别与x,y轴交于A,B两点,正比 例函数的图象l2与l1交于点C(m,4). (1)求m的值及l2的解析式; (2)求SAOC-SBOC的值; (3)一次函数y=kx+1的图象为l3,且l1,l2,l3不能围成三角形,直接写出k的值. 1 2 解析解析 (1)C(m,4)在直线y=-x+5上, 4=-m+5,得m=
12、2. 设l2的解析式为y=k1x(k10), C(2,4)在l2上,4=2k1,k1=2. l2的解析式为y=2x. (2)把y=0代入y=-x+5,得x=10,OA=10. 把x=0代入y=-x+5,得y=5,OB=5, SAOC=104=20,SBOC=52=5, SAOC-SBOC=20-5=15. (3)-,2,. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 详解:一次函数y=kx+1的图象经过点(0,1),一次函数y=kx+1的图象为l3,且l1,l2,l3不能围成三角形, 当l3经过点C(2,4)时,l1,l2,l3不能围成三角形,2k+1=4,解得k=; 当l
13、2,l3平行时,l1,l2,l3不能围成三角形,k=2; 当l1,l3平行时,l1,l2,l3不能围成三角形,k=-. 3 2 1 2 思路分析思路分析 (1)先求得点C的坐标,再运用待定系数法求出l2的解析式;(2)先求出A,B的坐标,再根据点C的 坐标分别求出SAOC和SBOC,进而得出SAOC-SBOC的值;(3)一次函数y=kx+1的图象经过点(0,1),l1,l2,l3不能围 成三角形分三种情况:当l3经过点C(2,4)时,l1,l2,l3不能围成三角形,k=;当l2,l3平行时,l1,l2,l3不能围成三角形, k=2;当l1,l3平行时,l1,l2,l3不能围成三角形,k=-.
14、3 2 1 2 易错警示易错警示 往往忽略l3经过点C(2,4)时,l1,l2,l3不能围成三角形而致错. 3.(2017河北,24,10分)如图,直角坐标系xOy中,A(0,5),直线x=-5与x轴交于点D,直线y=-x-与x轴及直线 x=-5分别交于点C,E.点B,E关于x轴对称,连接AB. (1)求点C,E的坐标及直线AB的解析式; (2)设S=SCDE+S四边形ABDO,求S的值; (3)在求(2)中S时,嘉琪有个想法:“将CDE沿x轴翻折到CDB的位置,而CDB与四边形ABDO拼接后 可看成AOC,这样求S便转化为直接求AOC的面积不更快捷吗?”但大家经反复验算,发现SAOCS, 请
15、通过计算解释他的想法错在哪里. 3 8 39 8 解析解析 (1)把y=0代入y=-x-,得x=-13. C(-13,0).(1分) 把x=-5代入y=-x-,得y=-3,E(-5,-3).(2分) 点B,E关于x轴对称,B(-5,3). 设直线AB的解析式为y=kx+b(k0), 则解得 直线AB的解析式为y=x+5.(5分) (2)CD=8,DE=DB=3,OA=OD=5, SCDE=83=12,S四边形ABDO=(3+5)5=20, S=32.(8分) 3 8 39 8 3 8 39 8 5, -53. b kb 2 , 5 5. k b 2 5 1 2 1 2 (3)当x=-13时,y
16、=x+5=-0.20, 点C不在直线AB上,即A,B,C三点不共线. 他的想法错在将CDB与四边形ABDO拼接后看成了AOC.(10分) 2 5 思路分析思路分析 (1)把y=0代入y=-x-,解得x值,从而得出点C的坐标,把x=-5代入y=-x-,解得y值,从而得 出点E的坐标,进而得出点B的坐标,最后利用待定系数法求出直线AB的解析式;(2)分别求出SCDE和 S四边形ABDO,得出S的值;(3)把点C的横坐标代入直线AB的解析式,验证发现点A,B,C不在同一条直线上,得出结论. 3 8 39 8 3 8 39 8 4.(2017吉林,24,8分)如图,一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内,现
17、以一定的速度往水槽中注水,28 s时 注满水槽.水槽内水面的高度y(cm)与注水时间x(s)之间的函数图象如图所示. (1)正方体铁块的棱长为 cm; (2)求线段AB对应的函数解析式,并写出自变量x的取值范围; (3)如果将正方体铁块取出,又经过t(s)恰好将此水槽注满,直接写出t的值. 解析解析 (1)12秒时,水面高度为10 cm,之后水面上升速度变慢,说明正方体铁块的棱长为10 cm.(2分) (2)设线段AB对应的函数解析式为y=kx+b,k0. 过A(12,10),B(28,20), 解得(4分) 线段AB对应的函数解析式为y=x+(12x28).(6分) (3)4.(8分) 12
18、10, 2820. kb kb 5 , 8 5 . 2 k b 5 8 5 2 5.(2020广西北部湾经济区,26,10分)如图1,在平面直角坐标系中,直线l1:y=x+1与直线l2:x=-2相交于点D,点 A是直线l2上的动点,过点A作ABl1于点B,点C的坐标为(0,3),连接AC,BC,设点A的纵坐标为t,ABC的面 积为s. (1)当t=2时,请直接写出点B的坐标; (2)s关于t的函数解析式为s=其图象如图2所示,结合图1、2的信息,求出a与b的值; (3)在l2上是否存在点A,使得ABC是直角三角形?若存在,请求出此时点A的坐标和ABC的面积;若不存 在,请说明理由. 2 15
19、-,-15, 44 (1)( -5),-15, tbttt a ttt 或 解析解析 (1)当t=2时,A(-2,2), 直线l1:y=x+1,ABl1, 可设直线AB的解析式为y=-x+n, 将A(-2,2)代入y=-x+n, 得n=0, 直线AB的解析式为y=-x, 联立得 B. (2)当t=7时,s=4, 故72+7b-=4, - , 1, yx yx 1 -, 2 1 , 2 x y 1 1 -, 2 2 1 4 5 4 解得b=-1. 当t=2时,s在-1t5内取得最大值, 此时s=SOAC-SOBC=32-3=, 则a(2+1)(2-5)=, 解得a=-. (3)(i)若A为ABC
20、的直角顶点,则ACl1, -15 2 1 2 1 2 1 2 9 4 9 4 1 4 此时AC的方程为y=x+3, 令x=-2,得y=1,A(-2,1).易得B(-1,0). AC=2,AB=. 此时s=2=2. (ii)若C为ABC的直角顶点,过B作l2的垂线交l2于E,易知ABD为等腰直角三角形, E为AD的中点,D(-2,-1),A(-2,t), 22 2222 1 2 22 则E,B, 在RtABC中,由勾股定理得AC2+BC2=AB2, 在等腰直角三角形ABD中,由勾股定理得2AB2=AD2, 22+(t-3)2+=t2-12t+27=0, 解得t=3或t=9, 则A(-2,3)或A
21、(-2,9), s=22=2或s=2=10. (iii)当B为ABC的直角顶点时,此种情况不存在.(当A在D上方时,ABC为锐角;当A在D下方时,ABC 为钝角) 综上,在l2上存在点A,使得ABC是直角三角形,点A的坐标为(-2,1)或(-2,3)或(-2,9),相应ABC的面积为2 或2或10. -1 -2, 2 t -3-1 , 22 tt 2 -3 2 t 2 -1-3 2 t 2 (1) 2 t 1 2 1 2 1010 思路分析思路分析 (1)根据A点坐标求出直线AB的解析式,然后和l1:y=x+1联立即可求出B点的坐标; (2)将t=7,s=4代入s=t2+bt-,可求出b的值,
22、易知当t=2时,s在-1t5内取得最大值,通过s=SOAC-SOBC求出s, 然后由s=a(t+1)(t-5)即可求出a的值; (3)分A为ABC的直角顶点,C为ABC的直角顶点,B为ABC的直角顶点3种情况讨论即可. 1 4 5 4 教师丏用题组 考点一 一次函数的图象与性质 1.(2020安徽,7,4分)已知一次函数y=kx+3的图象经过点A,且y随x的增大而减小,则点A的坐标可以是( ) A.(-1,2) B.(1,-2) C.(2,3) D.(3,4) 答案答案 B y随x的增大而减小,k0.把(-5,3)代入函数解析式得,k=-0,所以选项A不符 合题意;把(1,-3)代入函数解析式
23、得,k=-20,所 以选项C符合题意;把(5,-1)代入函数解析式得,k=0,所以选项D不符合题意.故选C. 4 5 3 2 6.(2019浙江杭州,8,3分)已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a(ab).函数y1和y2的图象可能是( ) 答案答案 A y1=ax+b的图象与y轴的交点为(0,b),与x轴的交点为. y2=bx+a的图象与y轴的交点为(0,a),与x轴的交点为. 当x=1时,y1=y2, y1与y2的图象的交点的横坐标为1. 当a0,b0时,y1,y2的图象与y轴的交点均在y轴的正半轴上,与x轴的交点均在x轴的负半轴上,故A正确. 当a0,b0,b0或a0时,y1,y2的
24、图象与x轴的交点均在x轴的正半轴上,故B,D错误. -,0 b a -,0 a b 方法点拨方法点拨 本题考查了一次函数的图象,由于a,b的符号不确定,所以需要分类讨论,可分为a0,b0;a0,b 0,b0或a0这几种情况. 7.(2018云南昆明,5,3分)如图,点A的坐标为(4,2).将点A绕坐标原点O旋转90后,再向左平移1个单位长度 得到点A,则过点A的正比例函数的解析式为 . 答案答案 y=-4x或y=-x 4 3 解析解析 设过点A的正比例函数的解析式为y=kx(k0),分情况讨论:当点A绕坐标原点O顺时针旋转90 时,旋转后得点(2,-4),向左平移1个单位长度得点A(1,-4)
25、,代入y=kx(k0)中,得k=-4,所以y=-4x;当点A绕 坐标原点O逆时针旋转90时,旋转后得点(-2,4),向左平移1个单位长度得点A(-3,4),代入y=kx(k0)中,得k =-,所以y=-x.所以过点A的正比例函数的解析式为y=-4x或y=-x. 4 3 4 3 4 3 思路分析思路分析 将点A绕坐标原点O旋转90,要分顺时针和逆时针两种情况分别求旋转后所得点的坐标,从 而得平移后的点的坐标,再将平移后的点的坐标代入y=kx(k0)求解即可. 易错警示易错警示 本题考查了点在平面直角坐标系内的旋转和平移、正比例函数解析式的求法,题中旋转未 指出旋转方向,需分情况讨论,若考虑不全,
26、则易造成错误,导致失分. 8.(2018江苏淮安,22,8分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象经过点A(-2,6),且与x轴相交 于点B,与正比例函数y=3x的图象相交于点C,点C的横坐标为1. (1)求k、b的值; (2)若点D在y轴负半轴上,且满足SCOD=SBOC,求点D的坐标. 1 3 解析解析 (1)当x=1时,y=3x=3,点C的坐标为(1,3). 将A(-2,6)、C(1,3)代入y=kx+b, 得解得 (2)当y=0时,有-x+4=0,解得x=4,点B的坐标为(4,0). 设点D的坐标为(0,m)(m0), SCOD=SBOC,即-m=43,解得m=-4,
27、点D的坐标为(0,-4). -26, 3, kb kb -1, 4. k b 1 3 1 2 1 3 1 2 考点二 一次函数与方程(组)、不等式的关系 1.(2015河北,14,2分)如图,直线l:y=-x-3与直线y=a(a为常数)的交点在第四象限,则a可能在( ) A.1a2 B.-2a0 C.-3a-2 D.-10a-4 2 3 答案答案 D 直线y=-x-3与y轴的交点坐标为(0,-3), 直线y=a与直线y=-x-3的交点在第四象限, a0且k0,k0, 设交点为(x0,y0),则有 解得x0=,x00, y0=kx0+50, 交点在第一象限. 00 00 5, 7, ykx yk
28、x 2 - k k 3.(2018湖南邵阳,16,3分)如图所示,一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点(2,0),与y轴相交于点(0,4),结合 图象可知,关于x的方程ax+b=0的解是 . 答案答案 x=2 解析解析 关于x的方程ax+b=0的解就是一次函数y=ax+b的图象与x轴的交点(2,0)的横坐标.即方程ax+b=0 的解是x=2. 4.(2016湖北武汉,15,3分)将函数y=2x+b(b为常数)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后,所得 的折线是函数y=|2x+b|(b为常数)的图象,若该图象在直线y=2下方的点的横坐标x满足0x3,则b的取值 范围为 . 答案答案
29、-4b-2 解析解析 令|2x+b|2,则-1-x1-,函数y=|2x+b|(b为常数)的图象在直线y=2下方的点的横坐标x满足0 x1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m0)的值大于一次函数y=kx+b的值,直接写出m的取值范围. 解析解析 (1)一次函数y=kx+b(k0)的图象由函数y=x的图象平移得到, k=1.(1分) 一次函数y=x+b的图象过点(1,2), 1+b=2, b=1.(2分) 这个一次函数的解析式为y=x+1.(3分) (2)m2.(5分) 详解:当x1时,函数y=mx(m0)的值都大于y=x+1的值,即函数y=mx(m0)的图象在直线y=x+1上方,临界 条件为当
30、x=1时,两条直线都过点(1,2),此时m=2, 当m2时,两个函数图象的交点向左移动,也能满足当x1时,y=mx(m0)的值都大于y=x+1的值.m的取 值范围为m2. 考点三 一次函数的应用 1.(2020河南,19,9分)暑期将至,某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动,活动方案如下: 方案一:购买一张学生暑期专享卡,每次健身费用按六折优惠; 方案二:不购买学生暑期专享卡,每次健身费用按八折优惠. 设某学生暑期健身x(次),按照方案一所需费用为y1(元),且y1=k1x+b;按照方案二所需费用为y2(元),且y2=k2x. 其函数图象如图所示. (1)求k1和b的值,并说明它们的实际意义;
31、 (2)求打折前的每次健身费用和k2的值; (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次,应选择哪种方案所需费用更少?说明理由. 解析解析 (1)y1=k1x+b的图象过点(0,30)和点(10,180), (3分) k1的实际意义是:打六折后的每次健身费用为15元.(4分) b的实际意义是:每张学生暑期专享卡的价格为30元.(5分) (2)打折前的每次健身费用为150.6=25(元). k2=250.8=20.(7分) (3)k1=15,b=30,y1=15x+30. k2=20,y2=20 x, 当y1=y2时,15x+30=20 x. 解得x=6, 所以,结合函数图象可知,小华暑期前
32、往该俱乐部健身8次,选择方案一所需费用更少.(9分) 1 30, 18010. b kb 1 15, 30. k b 一题多解一题多解 (3)当x=8时,y1=150,y2=160,所以y1y2,所以小华暑期前往该俱乐部健身8次,选择方案一所需费 用更少. 2.(2019黑龙江齐齐哈尔,22,10分)甲、乙两地间的直线公路长为400千米.一辆轿车和一辆货车分别沿该 公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行.货车比轿车早出发1小时,途中轿车出现了故障,停下维 修,货车仍继续行驶.1小时后轿车故障被排除,此时接到通知,轿车立刻掉头按原路原速返回甲地(接到通 知及掉头时间不计),最后两车同时到达甲地
33、.已知两车距各自出发地的距离y(千米)与轿车所用的时间x (小时)的关系如图所示,请结合图象解答下列问题: (1)货车的速度是 千米/小时;轿车的速度是 千米/小时;t值为 ; (2)求轿车距其出发地的距离y(千米)与所用时间x(小时)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米. 解析解析 (1)由题图知,当x=0时,货车距乙地50 km. 又货车比轿车早出发1小时, 货车的速度为50 km/h. 甲、乙两地相距400 km, 货车需要=8小时到达. 则轿车行驶时间为8-1-1=6小时. t=3, 轿车的速度为=80 km/h. 故答案为50
34、;80;3.(3分) (2)由题意可得A(3,240),B(4,240),C(7,0), 设直线OA的关系式为y=k1x(k10), 将A点坐标代入可得k1=80,y=80 x(0 x3),(5分) 400 50 6 2 240 3 当3x4时,y=240.(6分) 设直线BC的关系式为y=kx+b(k0), 将(4,240)和(7,0)代入可得 y=-80 x+560(4x7),(7分) y=(8分) (3)3小时或5小时.(10分) 详解:当货车与轿车相遇前相距90 km时,可得线段图如图, 4240, 70, kb kb -80, 560, k b 80 (03), 240(34), -
35、80560(47). xx x xx 80 x+90+50 x+50=400, 解得x=2. 此时货车出发3小时. 当货车与轿车相遇后相距90 km时,可得线段图如图. 560-80 x+50 x+50=400+90, 解得x=4. 此时货车出发5小时. 综上所述,货车出发3小时或5小时两车相距90 km. 3.(2018湖北武汉,20,8分)用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板;用1块B型钢板可制成1块C型 钢板和3块D型钢板.现准备购买A、B型钢板共100块,并全部加工成C、D型钢板.要求C型钢板不少于 120块,D型钢板不少于250块,设购买A型钢板x块(x为整数). (1)求
36、A、B型钢板的购买方案共有多少种; (2)出售C型钢板每块利润为100元,D型钢板每块利润为120元.若将C、D型钢板全部出售,请你设计获利 最大的购买方案. 解析解析 (1)依题意,得 解得20 x25,x为整数,x=20,21,22,23,24,25. 答:A、B型钢板的购买方案共有6种. (2)设全部出售后共获利y元.依题意,得y=1002x+1(100-x)+120 x+3(100-x),即y=-140 x+46 000. -1400,y随x的增大而减小, 当x=20时,y取得最大值. 答:获利最大的购买方案是购买A型钢板20块,B型钢板80块. 21 (100- )120, 3 (1
37、00- )250. xx xx 思路分析思路分析 (1)根据“C型钢板不少于120块,D型钢板不少于250块”建立不等式组,即可得出x的取值范 围,进而得出结论;(2)先建立y和x的关系式,进而根据一次函数的性质得出获利最大的购买方案. 4.(2017江西,19,8分)如图是一种斜挎包,其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小敏用后发现,通 过调节扣加长或缩短单层部分的长度,可以使(单层部分与双层部分的长度的和,其中调节扣 所占的长度忽略不计)加长或缩短.设单层部分的长度为x cm,双层部分的长度为y cm,经测量,得到如下 数据: 挎带的长度 单层部分 的长度x (cm) 4 6 8 10
38、 150 双层部分 的长度y (cm) 73 72 71 (1)根据表中数据的规律,完成以上表格,并直接写出y关于x的函数解析式; (2)根据小敏的身高和习惯,挎带的长度为120 cm时,背起来正合适,请求出此时单层部分的长度; (3)设挎带的长度为l cm,求l的取值范围. 解析解析 (1)填表如下: 单层部分 的长度x (cm) 4 6 8 10 150 双层部分 的长度y (cm) 73 72 71 70 0 (2分) y关于x的函数解析式为y=75-.(3分) (2)当挎带的长度为120 cm时,可得x+y=120,(4分) 则x+=120,(5分) 解得x=90,即此时单层部分的长度
39、为90 cm.(6分) (3)y=75-, l=x+y=x+=75+. 0 x150,且当x=0时,l=75;当x=150时,l=150, (7分) 75l150.(8分) 2 x 75- 2 x 2 x 75- 2 x 2 x 思路分析思路分析 (1)根据表格可知单层部分的长度每增加2 cm,双层部分的长度便减少1 cm,则有y=75-;(2) 由题意得x+y=120,结合(1)中解析式求出x即可;(3)求出l与x之间的函数解析式,由该函数的性质以及x的 取值范围确定l的取值范围. 2 x 5.(2017新疆乌鲁木齐,22,10分)一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地,一辆快车同时从乙地出发匀速行驶
40、至 甲地,两车之间的距离y(千米)与行驶时间x(小时)的对应关系如图所示: (1)甲、乙两地相距多远? (2)求快车和慢车的速度分别是多少; (3)求出两车相遇后y与x之间的函数关系式; (4)何时两车相距300千米? 解析解析 (1)由题图得,甲、乙两地相距600千米.(2分) (2)慢车总用时为10小时, 所以慢车的速度为=60(千米/小时).(3分) 设快车的速度为m千米/小时, 由题图得,604+4m=600,解得m=90, 快车的速度为90千米/小时,慢车的速度为60千米/小时.(5分) (3)如图,由题意知B(4,0),C,D(10,600). 600 10 20 ,400 3 设
41、BC的关系式为y=kx+b,k0, 把B,C的坐标代入得 解得k=150,b=-600, BC的关系式为y=150 x-600. 设CD的关系式为y=kx+b,k0, 把C,D的坐标代入得解得k=60,b=0, CD的关系式为y=60 x. 两车相遇后y与x之间的函数关系式为 40, 20 400, 3 kb kb 20 4 3 x 20 400, 3 10 600, kb kb 20 10 3 x y=(8分) (4)设相遇前,两车经过a小时时相距300千米, 根据题意得90a+60a+300=600,解得a=2. 所以在两车出发2小时时,相距300千米. 设相遇后,又经过b小时,两车相距3
42、00千米. 根据题意得90b+60b=300,解得b=2. 所以在两车出发6小时时,相距300千米. 综上所述,当行驶2小时或6小时时,两车相距300千米.(10分) 20 150 -600 4, 3 20 6010 . 3 xx xx 考点四 一次函数与几何知识的综合应用 1.(2019山东枣庄,4,3分)如图,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点,P是线段AB上任意一点(不 包括端点),过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8,则该直线的函数表达式是 ( ) A.y=-x+4 B.y=x+4 C.y=x+8 D.y=-x+8 答案答案 A 如图,过P点分别作PDx轴,
43、PCy轴,垂足分别为D、C, 设P点坐标为(x,y),P点在第一象限,PD=y,PC=x, 矩形PDOC的周长为8, 2(x+y)=8,x+y=4, 即该直线的函数表达式是y=-x+4,故选A. 2.(2020宁夏,13,3分)如图,直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,把AOB绕点B逆时针旋转90后 得到A1O1B,则点A1的坐标是 . 5 2 答案答案 12 4, 5 解析解析 对于y=x+4,令x=0,得y=4,则OB=4;令y=0,得x=-,则OA=.延长O1A1交x轴于点C.AOB绕点B 逆时针旋转90后得到A1O1B,ABA1=90,ABO=A1BO1,AOB=A1O1B=
44、90,OBO1=90, 四边形OBO1C是矩形.BO1x轴,O1A1y轴,由旋转的性质得BO1=OB=4,O1A1=OA=,A1C=OB-A1O1=4 -=,A1. 5 2 8 5 8 5 8 5 8 5 12 5 12 4, 5 3.(2018湖南郴州,16,3分)如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的一个顶点在原点O处,且AOC=60,A 点的坐标是(0,4),则直线AC的表达式是 . 答案答案 y=-x+4 3 3 3 3 解析解析 如图,由菱形OABC的一个顶点在原点O处,A点的坐标是(0,4),得OC=OA=4. 又1=60,2=30,CD=2,OD=2, C(2,2). 设直线A
45、C的表达式为y=kx+b(k0), 将A,C点坐标代入函数表达式,得解得 直线AC的表达式是y=-x+4. 2 32, 4, kb b 3 -, 3 4, k b 3 3 4.(2019江西,17,6分)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为,连接AB,以AB为边向 上作等边三角形ABC. (1)求点C的坐标; (2)求线段BC所在直线的解析式. 3 -,0 2 3 ,1 2 解析解析 (1)过点B作BDx轴于点D,则ADB=90. A,B, DA=,DB=1.AB=2. sinBAD=,BAD=30. ABC为等边三角形,AC=AB=2,BAC=60. CAD=90.点C的坐标为.
46、3 -,0 2 3 ,1 2 3 1 2 3 -,2 2 (2)设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b,k0. 将B,C代入,得 解得 线段BC所在直线的解析式为y=-x+. 3 ,1 2 3 -,2 2 3 1, 2 3 -2. 2 kb kb 3 -, 3 3 . 2 k b 3 3 3 2 一、选择题(每小题3分,共18分) A组 20182020年模拟基础题组 时间:30分钟 分值:44分 1.(2020张家口模拟,9)如图,直线y=kx+6经过点(3,0),则关于x的不等式kx+63 B.x6 D.x3时,y0,关于x的不等式kx+63.故选A. 2.(2020衡水模拟,11)在平
47、面直角坐标系中,将函数y=-2x的图象沿y轴负方向平移4个单位长度,则平移后 的图象与x轴的交点坐标为( ) A.(2,0) B.(-2,0) C.(-4,0) D.(0,-4) 答案答案 B 将函数y=-2x的图象沿y轴负方向平移4个单位长度得到函数图象对应的解析式为y=-2x-4, 令-2x-4=0,得x=-2,平移后的图象与x轴的交点坐标为(-2,0),故选B. 3.(2019保定高阳一模,11)设函数y=(k0,x0)的图象如图所示,若z=,则z关于x的函数图象可能为 ( ) k x 1 y 答案答案 D y=(k0,x0), z=(k0,x0). 反比例函数y=(k0,x0)的图象在第一象限, k0,0. z关于x的函数图象是在第一象限内,且不包括原点的正比例函数的图象.故选D. k x 1 y 1 k x x k k x
