1、 专题专题 1515 多边形的边与角多边形的边与角 阅读与思考阅读与思考 两个几何图形的全等是指两个图形之间的一种关系，其中最基本的关系是两个图形的点的对应关 系，以及对应边之间、对应角之间的相等关系全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工 具，是解决有关线段、角等问题的一个出发点，证明线段相等、线段和差相等、角相等、两直线位置关 系等问题总要直接或间接用到全等三角形，我们把这种应用全等三角形来解决问题的方法称为全等三角 形法 我们实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，而是处于各种不同的位置，但其中一个是 由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的了解全等变换的这几种形式，有助于
2、发现全等三角形、 确定对应元素善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，应熟悉涉及有 关会共边、公共角的以下两类基本图形： 例题与求解例题与求解 【例例 1】考查下列命题： 全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等； 两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等； 两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等； 两边和其中一边上的高（或第三边上高）对应相等的两个三角形全等 其中正确命题的个数有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 （山东省竞赛试题） 解题思路解题思路：真命题给出证明，假命题举出一个反例 【例
3、例 2】如图，已知 BD、CE 是ABC 的高，点 P 在 BD 的延长线上，BPAC，点 Q 在 CE 上，CQ AB 求证： （1）APAQ； （2）APAQ （第十六届江苏省竞赛试题） 解题思路解题思路： （1）证明对应的两个三角形全等； （2）证明PAQ90 【例例 3】如图，已知为 AD 为ABC 的中线，求证：AD 1 () 2 ABAC （陕西省中考试题） 解题思路解题思路：三角形三边关系定理是证明线段不等关系的基本工具，关键是设法将 AB，AC，AD 集 中到同一个三角形中，从构造 2AD 入手 【例例 4】如图，已知 ACBD，EA、EB 分别平分CAB、DBA，CD 过点
4、E 求证：ABACBD （ “希望杯”邀请赛试题） 解题思路解题思路：本例是线段和差问题的证明，截长法（或补短法）是证明这类问题的基本方法，即在 AB 上截取 AF，使 AFAC，以下只要证明 FBBD 即可，于是将问题转化为证明两线段相等 AB C D E A BC D Q A B C D E O P 【例例 5】如图 1，CD 是经过BCA 顶点 C 的一条直线，CACB，E，F 分别是直线 CD 上两点，且 BECCFA （1）若直线 CD 经过BCA 内部，且 E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题： 如图 2，若BCA90 ，90 ，则 BECF，EFBEAF（填“” 、 “”
5、 或“” ） ； 如图 3，若 0 BCA180 ，请添加一个关于与BCA 关系的条件，使中的两 个结论仍然成立，并证明这两个结论； （2）如图 4，若直线 CD 经过BCA 的外部，BCA，请提出 EF，BE、AF 三条线段数量关 系的合理猜想（不要求证明） （台州市中考试题） 解题思路解题思路：对于，可用进行逆推，寻找BCECAF 应满足的条件对于（2）可用归纳类 比方法提出猜想 【例例 6】如图，在四边形 ABCD 中，ACBBAD105 ，ABCADC45 求证：CDAB （天津市竞赛试题） 解题思路解题思路：由已知易得CAB30 ，GAC75 ，DCA60 ，ACBDAC180 ，由
6、特殊 度数可联想到特殊三角形、共线点等 A B C D E F 图 1 A B C D E F 图 2 A B C E F 图 3 D A B C D E F 图 4 A B C D 能力训练能力训练 A 级级 1如图，在 ABC 中，C90 ，BC40，AD 是BAC 的平分线交 BC 于 D，且 DCDB3 5，则点 D 到 AB 的距离是 2如图，在 RtABC 中，BAC90 ，ABAC，分别过 B，C 作经过点 A 的直线的垂线 BD，CE， 若 BD3cm，CE4cm，则 DE 3如图，ABE 和ACF 分别是以ABC 的边 AB、AC 为边的形外的等腰直角三角形，CE 和 BF
7、相交于 O，则EOB 4如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，若 AC 平分DAB，且 ABAE，AC AD有如下四个结论：ACBD；BCDE；DBC 1 2 DAB；ABE 是等边三角形请写 出正确结论的序号 （把你认为正确结论的序号都填上） （天津市中考试题） 5如图，点 E 在ABC 外部，点 D 在 BC 边上，DE 交 AC 于 F，若123，ACAE，则 （ ） AABDAFD BAFEADC CAFEDFC DABCADE 6如图， ABC 中，C90 ，ACBC，AD 平分CAB 交 BC 于 D，DEAB 于 E若 AB6cm， 则DEB 的周长为
8、（ ） A5cm B6cm C7cm D8cm 7如图，从下列四个条件：BCBC；ACAC；ACABCB；ABAB中，任取三 个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成的正确命题的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 （北京市东城区中考试题） 8如图 1，在锐角ABC 中，ADBC 于 D，BEAC 于 E，AD 与 BE 交于 F，且 BFAC A B C D 第 1 题 A B C D E 第 2 题 A BC E F O 第 3 题 AB C D E 第 4 题 第 5 题 A B C D E F 3 2 1 A B C D E 第 6 题 AB C B A 第 7 题
9、（1）求证：ED 平分FEC； （2）如图 2，若ABC 中，C 为钝角，其他条件不变， （1）中结论是否仍然成立？若不成立，请 说明理由；若成立，请给予证明 9在等腰 RtAOB 和等腰 RtDOC 中，AOBDOC90 ，连 AD，M 为 AD 中点，连 OM （1）如图 1，请写出 OM 与 BC 的关系，并说明理由； （2）将图 1 中的COD 旋转至图 2 的位置，其他条件不变， （1）中结论是否成立？请说明理由 10如图，已知12，EFAD 于 P，交 BC 延长线于 M 求证：M 1 () 2 ACBB （天津市竞赛试题） 11如图，已知 ABC 中，A60 ，BE，CD 分别平
10、分ABC，ACB，P 为 BE，CD 的交点 A B C D E F 图 1 A BD E F C 图 2 A B C D M O 图 1 A B C DM O 图 2 A B CD E F M P 2 1 求证：BDCEBC 12如图，已知点 D 为等腰直角 ABC 内一点，CADCBD15 ，E 为 AD 延长线上的一点， 且 CECA （1）求证：DE 平分BDC； （2）若点 M 在 DE 上，且 DCDM，求证：MEBD （日照市中考试题） B 级级 1在ABC 中，高 AD 和 BE 交于 H 点，且 BHAC，则ABC （武汉市竞赛试题） 2在ABC 中，AD 为 BC 边上的中
11、线，若 AB5，AC3，则 AD 的取值范围是 （ “希望杯”竞赛试题） 3如图，在ABC 中，ABAC，AD 是角平分线，P 是 AD 上任意一点，在 ABAC 与 BPPC 两式中，较大的一个是 4如图，已知 ABCD，ACDB，AD 与 BC 交于 O，AEBC 于 E，DFBC 于 F，那么图中全 等的三角形有（ ） A5 对 B6 对 C7 对 D8 对 5如图，AD 是ABC 的中线，E，F 分别在 AB，AC 上，且 DEDF，则（ ） A BC DE P A BC 第 2 题 D A BC P D 第 3 题 AB CD E F O 第 4 题 第 5 题 A B C D EF
12、 A B C D E M ABECFEF BBECFEF CBECFEF DBECF 与的大小关系不确定 （第十五届江苏省竞赛试题） 6如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的 角（ ） A相等 B不相等 C互余 D.互补或相等 （北京市竞赛试题） 7如图，在ABE 和ACD 中，给出以下四个论断：ABAC；ADAE；AMAN；AD DC，AEBE以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求 证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程 已知： 求证： （荆州市中考试题） 8如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD
13、，过 C 作 CEAB 于 E，并且 AE 1 () 2 ABAD，求 ABCADC 的度数 （上海市竞赛试题） 9在四边形 ABCD 中，已知 ABa，AD6，且 BCDC，对角线 AC 平分BAD，问a与b的大 小符合什么条件时，有BD180 ，请画出图形并证明你的结论 （河北省竞赛试题） 10如图，在ABC 中，ABC60 ，AD，CE：分别平分BAC，ACB A B C D E M N AB C D E 求证：ACAECD （武汉市选拔赛试题） 11如图，在 RtABC 中，B90 ，AP，CQ 分别平分BAC，BCAAP 交 CQ 于 I，连 PQ 求证： IAC ACPQ S S
14、四边形 为定值 12在ABC 中，ACB90 ，ACBC，直线 MN 经过点 C，且 AD 丄 MN 于 O，BEMN 于 E （1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：DEADBE； （2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证：DEADBE； （3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问：DE，AD，BE 有怎样的等量关系？请写出这个等 量关系，并加以证明 （海口市中考试题） 13CD 是经过BCA 顶点 C 的一条直线，CACB，E，F 分别是直线 CD 上两点，且BEC A B C D E M N 图 1 AB C M N 图 3 D E
15、AB C M N 图 2 D E Q AB C I P A BC D E O CFA （1）若直线 CD 经过BCA 内部，且 E，F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题： 如图 1，若BCA90 ，90 ，则 BECF，EFBEAF（填“” 、 “” 或“” ） ； 如图 2，若 0 BCA180 ，请添加一个关于与BCA 关系的条件，使中的两 个结论仍然成立，并证明这两个结论； （2）如图 3，若直线 CD 经过BCA 的外部，BCA，请提出 EF，BE、AF 三条线段数量关 系的合理猜想（不要求证明） （台州市中考试题） A B C D E F 图 1 A B C E F 图 2 D A B C D E F 图 3
