1、 专题专题 22 关于中点的联想关于中点的联想 例例 1 、6 例例 2 B 提示：取CG的中点T，连MT，NT，则 1 2 MT =，2NT =，90MTN =? 例例 3 提示：取AC中点F，连BF，证明BFCE= 例例 4 （1）四边形EFGH为菱形； （2）成立，连AD，BC，由APDDCPBD，得ADBC=，又 1 2 EFBC=， 1 2 FGAD=， 1 2 HGBC=， 1 2 EHAD=，则EFFGGHHE=，故四边 形EFGH为菱形； （3）四边形EFGH是正方形 例例 5 证明： 延长BD至P， 使D P D B=， 延长CE至Q， 使E Q E C=， 连AP，AQ，P
2、C A BA P=，ACAQ=，PAC=BAQ，ABQ DAPCD，有PCBQ=，又 MD，ME分别是BPCD与BQCD的中位线， 1 2 MDPC=， 1 2 MEBQ=，故 MDME= 例例 6 （1）如图a，b，CPMD，CNQD皆为等腰三角形，连CE，CF，则CEPM， CFNQ （2）如图c，分别延长CE，CF交AB于S，R，则EF 1 2 RS A A 级级 1.平行四边形 （1）菱形、矩形、正方形、菱形； （2）对角线互相垂直、对角线相等、对 角线互相垂直且相等 2.30 3.6 4.30 2 30cm 5.D 6.C 7.C 8.C 9.提示：取AC中点N，连结MN，DN，则
3、1 2 MNAB=，证明DMMN= 10.提示：取BC中点R，连结MR，NR，则MRNR= 11.（1）略 （2）连MB，MD，则四边形BCDM为平行四边形，可证明FBMDMDHD，则 FMMH=，BFM =DMH，延长AC交MH于S，则 DMH=CSM BFM，则 FBC=90FMH =?，故 FMH是等腰直角三角形 （3）是 12.如图，作ABPF，连接DP，取DP的中点M，则四边形BCDP是梯形，连接 1 B M， 1 E M，由梯形中位线定理知， 1 B MCDBPAF， 1 MEDEFPAB， 且 1 22 BPCDAFCD B M + =， 1 22 PFDEABDE E M +
4、=，同理作BCDO， 取OF的中点N，连接 1 AN， 1 D N，由梯形中位线定理知， 1 ANAFBOCD， 1 NDEFODBC 且 1 22 AFBOAFCD AN + =， 1 222 EFODEFBCABDE D N + =， 在 11 BMED与 11 A NDD中， 11 BMAN=， 11 E MD N=。又 1111 ADB E=， 11 BME D 11 ANDD， 11 BME= 11 AND，CDE=AFE B 级级 1.48 提示：取AF中点H，连接HE，则HEGE=，FC=2HE 210 提示：取 AD 中点 E，连接 ME，NE，则 ME=NE 360 提示：分
5、别取 AB、AC 中点 F、G，连接 FP、GP，FM，GN 4C 5B 提示：连接 AC，取 AC 中点 P，连接 PM，PN 6D 提示：连接 EF，FG，GH，HE，AC 7分别取 AP，BP 的中点 M，N，连接 EM，DM，FN，DN / / / ,DMBN DNAM AMD=BND M，N 分别是 RtAEP，RtBFP 斜边的中点， EM=AM=DN，FN=BN=DM， 又 DE=DF，DEMDFN，得EMD=FND，AME=BNF， 而AME，BNF 均为等腰三角形， PAE=PBF 8提示：分别取 BC，DE 中点 M，N，连接 EM，DM，MN，则 EM=DM，MNFG，F
6、B MNCG 9证明：延长 ND 至 P，使 DP=DN，连接 BP，则由BPDCND，得 BP=CN，DBP= DCN ACBP，MP=MN 由 MN2=BM2+CN2得 MP2=BM2+BP2 MBP=BAC=90 在 RtABC 中，BC2=AB2+AC2， 把 AD= 1 2 BC代入上式，得 AD2= 22 1 () 4 ABAC 10 （1）延长 BM 交 CE 于 N，由DBMENM，得 BM=CM=MN （2） MB=MC 仍能成立， 取 AD 中点 P， AE 中点 Q， 连接 PB， PM， CQ， MQ， MP= 1 2 AECQ， MQ= 1 2 ADBP，BPM=MQ
7、C，由PBMQMC 得 MB=MC 11 （1）先证ADOBCO，则OAD=OBC，又M 为 AD 中点，则AOM=OAD， OAD=CBO=AOM，推出 OMBC （2） 延长 DO 至 N， 使 OD=ON， 连 AN， 则 OM= 1 2 AN， OMAN， 证明BOCAON， 得 BC=AN，则 OM= 1 2 BC CBO=NAO，延长 BC 交 AN 于 H，则AOB=AHC=90，则 BHAN，又 AN OM 得 BCOM 12 （1）略 （2）延长 MP 与 NC 的延长线交于点 E，证明BPMCPE，得 PM=PE， 1 2 PMME， 在 RtMNE 中，PN= 1 2 ME，PM=PN （3）四边形 MBCN 是矩形,PM=PN 成立
