1、 专题专题 24 图形的折叠与剪拼图形的折叠与剪拼 阅读与思考阅读与思考 图形的折叠是指把某个图形或部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴，在折叠过程中，线 短的长度、角的度数保持不变. 图形的剪拼是指对某个图形通过有限次的剪裁后重新接成另外一个新的几何图形， 在剪拼 过程中，原图形与新图形的面积一般保持不变. 解答图形的折叠与剪拼问题，要抓住折叠与剪拼过程中一些量的不变性，将计算、推理与 合情想象结合起来，常用到全等三角形、勾股定理、面积等知识与方法. 折叠问题的实质是对称问题， “遇到折叠用对称”就是运用对称的性质： 关于一条直线对称的两个图形全等； 对称轴是对应点连线的中垂线. 例题与求解例
2、题与求解 【例【例 1】 如图，矩形 ABCD 中，AB8，BC4，将矩形沿 AC 折叠，点 D 落在 D 处，则重 叠部分AFC 的面积为. （山东省竞赛试题） F D D A C B y x R Q PO 例 1 题图 例 2 题图 解题思路解题思路：AFC 的高为 BC，只需求出 AF，注意到 D 0 90，AFFC 【例【例 2】如图，直线26yx 与 x 轴，y 轴分别交于 P，Q 两点，把POQ 沿 PQ 翻折， 点 O 落在 R 处，则点 R 的坐标是（ ） A. 24 12 (,) 55 B.（2,1） C.（6,3） D.（7，3.5） （江苏省竞赛试题） 解题思路解题思路：
3、过点 R 作 x 轴，y 轴的垂线，再利用相似三角形的性质可得垂线段的长度即求 得点 R 的坐标. 解剪拼问题时先利用剪拼后的图形所需关键线段的长度，然后，从剪拼前的图形中寻找 这些长度进行剪拼. 【例【例 3】 如图，将边长为 12cm 的正方形 ABCD 折叠，使得 A 点落在 CD 边上点 E 处，然后 压平折痕 FG，若 FG13cm，求 CE 长. （北京市竞赛试题） 解题思路解题思路：由折叠可得 A 与 E 关于 FG 对称，则 FGAE，可证明 FGAE，这是解本例 的关键. 【例【例 4】 将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，(0 0)O，(6 0)A ，(0 3)C，动
4、点Q 从点O出发以每秒 1 个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动 2 3 秒时，动点P从点A出发 以相等的速度沿AO向终点O运动当其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点P的 运动时间为t（秒） （1）用含t的代数式表示OPOQ，； （2）当1t 时，如图 1，将OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求 点D的坐标； （3）连结AC，将OPQ沿PQ翻折，得到EPQ，如图 2问：PQ与AC能否平 行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由 （绍兴市中考试题） 图 1 O P A x B D C Q y 图 2 O P A x B C Q y E 解解题思路题思路：
5、对于（3） ，假设能，由比例线段求出 t 的值，关键是看相应 t 的值是否在 t 的 取值范围. 折纸、剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，同时说明了存在的事实是怎样被发 现的，现象又是怎样获得证实的，在平面几何的一些主要学习环节发挥重要作用. 【例【例 5】 用 10 个边长分别为 3，5，6，11，17，19，22，23，24，25 的正方形，可以拼接一 个长方形. （1）求这个长方形的长和宽； （2）请画出拼接图. （ “华杯赛”决赛试题） 解题思路解题思路：运用剪拼前后图形面积不变求长方形的长和宽；利用长方形对边相等的性质 画拼接图. 【例【例 6】 将正方形纸片 ABCD 折叠，
6、使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于 E，交 BC 于 F，边 AB 折叠后与 BC 交于点 G. （1）如果 M 为 CD 边的中点，求证：DE：DM：EM3：4：5； （2）如果 M 为 CD 边上的任意一点，设 AB2a，问CMG 的周长是否有与点 M 的位 置关系？若有关，请把CMG 的周长用含 CM 的长 x 的代数式表示；若无关，请说明理由 解题思路解题思路：折痕 EF 两旁部分图形是关于 EF 成对称的，对于（2） ，通过相似三角形性质， 把CMG 的周长用相关代数式表示，解题的关键是将几何问题代数化. 对于例 6，如图，当 M 为 CD 边上的中点，则有
7、3 BC BG ，即 G 为 BC 的三等分点， 这一结果是由日本筑波大学的生物学教授芳贺和夫发现的，被称为芳贺第一定理. 作深入思考，进一步挖掘还能得到如下重要结论： （1）无论怎样折叠，若点 M 落在 CD 上，则 MGDMBG； （2）无论怎样折叠，若点 M 落在 CD 上，连 MA，GA，则MAG450. 能力训练能力训练 1、如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC8cm，若将矩形折叠，使 B 点与 D 点重合，则折 痕 EF 的长为cm. (宁夏回族自治区中考试题) 2、如图，矩形 ABCD 中，AB12，AD10，将此矩形折叠使 B 点落在 AD 边上的中点 E 处， 则折痕
8、 FG 的长为_. 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 (淮阴市中考试题) 3、 如图是用 12 个全等的等腰梯形镶嵌成的图形， 这个等腰梯形的上底与下底长的比是_. (陕西省中考试题) 4、如图，EF 为正方形纸 ABCD 的对折线，将A 沿 DK 折叠，使它的顶点 A 落在 EF 上的 G 点，则DKG_度. (武汉市竞赛试题) 5、如图，已知等边ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，把BDE 沿直线 DE 翻折，使 点 B 落在点 B处，DB，EB分别交边 AC 于点 F，G，若ADF 0 80，则EGC 的度数 为_. 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 (台州
9、市中考试题) 6、将一张长为 70cm 的长方形纸片 ABCD 沿对称轴 EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与 CD 间的距离为 60cm，则原纸片的宽 AB 是_cm. (广东省中考试题) 7、如图，在矩形纸片 ABCD 中，已知 AD8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落 在 F 处，折痕为 AE，且 EF3，则 AB 的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 (宜宾市中考试题) 8、如图，在ABC 中，C900，BC6，D，E 分别在 AB，AC 上，将ABC 沿 DE 折叠， 使点 A 落在点 A处，若 A为 CE 的中点，则折痕 DE 的长为 ( ) A.
10、 1 2 B、2 C、3 D、4 (河北省中考试题) A E B C A D 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 9、如图，有一块菱形的草地，要在其上面修筑两条笔直的道路，道路把这块草地分成面积相 等的四部分，如果道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的方案. (广西赛区选拔赛试题) 10、如图，折叠矩形纸片 ABCD，先折出折痕(对角线)BD，再折叠使 AD 边与对角线 BD 重合， 得折线 DG，若 AB2，BC1，求 AG. (安徽省中考试题) 11、如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，已知折痕 3 5 3. 4 EC AEcm FC
11、，求矩形 ABCD 的周长. (厦门市中考试题) 12、如图 1，一张矩形纸片 ABCD，其中 AD8cm，AB6cm，先沿对角线 BD 对折，点 C 落 在点 C处的位置，BC交 AD 于点 G. (1) 求证：AGG C ； (2) 如图 2，再折叠一次，使点 D 与点 A 重合，得折痕 EN，EN 交 AD 于点 M，求 EM 的长. (深圳市中考试题) B 级级 1、如图，一张宽为 3，长为 4 的矩形纸片 ABCD，先沿对角线 BD 对折，点 C 落在 C的位 置，BC交 AD 于 G，再折叠一次使 D 点与 A 点重合，得折痕 EN，EN 交 AD 于点 M，则 ME 的长为_.
12、2、如图，矩形纸片 ABCD 中，AB3cm，BC4cm，现将 A，C 重合，使纸片折叠压平，设 折痕为 EF，则重叠部分AFE 的面积为_. 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 3、如图，矩形 ABCD 沿直线 BD 折叠，使点 C 落在 C处，BC交 AD 于点 E，若 AD8， AB4，则 DE 的长为_. 4、如图，把矩形纸片 OABC 放入平面直角坐标系中，使 OA，OC 分别落在 x 轴上，y 轴上， 连结 AC，将矩形纸片 OABC 沿 AC 折叠，使点 B 落在点 D 的位置，若 B(1，2)，则点 D 的横 坐标是_. 5、如图，在平面直角坐标系中，已知直线 3 3 4
13、 yx 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点， 点 C(0，n)是 y 轴上一点，把坐标平面沿直线 AC 折叠，使点 B 刚好落在 x 轴上 B处，则点 C 的坐标是_. 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 6、如图，矩形纸片 ABCD，AB5cm，BC10cm，CD 上有一点 E，ED2cm，AD 上有一点 P，PD3cm，过 P 作 PFAD 交 BC 于 F，将纸片折叠，使 P 点与 E 点重合，折痕与 PF 交 于 Q 点，则 PQ 的长是_cm. 7、在三角形纸片 ABC 中，已知ABC900，AB6，BC8，过点 A 作直线 l 平行于 BC， 折叠三角形纸片 ABC，使
14、直角顶点 B 落在直线上的 T 处，折痕为 MN，当点 T 在直线 l 上移动 时，折痕的端点 M，N 也随之移动，若限定端点 M，N 分别在 AB，BC 边上移动，则线段 AT 长度的最大值与最小值之和为_(计算结果不取近似值) 8、如图，矩形纸片 ABCD 中，AB8，将纸片折叠，使顶点 B 落在边 AD 上的 E 点处， BG10. （1）当折痕的另一端 F 在 AB 边上时，如图求EFG 的面积； （2）当折痕的另一端 F 在 AD 边上时，如图证明四边形 BGEF 为菱形，并求出折痕 GF 的长. 9、如图，已知三角形纸片 ABC 的面积为 25，BC 的长为 10，B，C 都为锐角
15、，M 是 AB 边上的一动点(M 与 A，B 不重合)，过点 M 作 MNBC 交 AC 于点 N，设 MNx. (1）用 x 表示AMN 的面积； （2）AMN 沿 MN 折叠，使AMN 紧贴四边形 BCNM（边 AM、AN 落在四边形 BCNM 所在的平面内） ，设点 A 落在平面 BCNM 内的点 A，AMN 与四边形 BCNM 重叠部分的 面积为 y 用含 x 的代数式表示 y，并写出 x 的取值范围 当 x 为何值时，重叠部分的面积 y 最大，最大为多少？ 10、如图：一正方形纸片，根据要求进行多次分割，把它分割成若干个直角三角形具体操作 过程如下： 第一次分割：将正方形纸片分成 4
16、 个全等的直角三角形；第二次分割：将上次得到的直 角三角形中的一个再分成 4 个全等的直角三角形；以后按第二次分割的方法重复进行 （1）请你设计出两种符合题意的分割方案（分割 3 次） ； （2）设正方形的边长为 a，请你通过对其中一种方案的操作和观察，将第二、第三次分 割后所得的最小的直角三角形的面积 S 填入下表： （3）在条件（2）下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积 S 与分割次数 n 有什 么关系？用数学表达式表示出来 11、如图 1，将边长为 4cm 的正方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠(点 E，F 分别在边 AB，CD 上)， 使点 B 落在 AD 边上的点 M 处，点
17、C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P，连结 EP. (1)如图，若 M 为 AD 边的中点， AEM 的周长_cm； 求证：EPAEDP； （2）随着落点 M 在 AD 边上取遍所有的位置（点 M 不与 A、D 重合） ，PDM 的周长是 否发生变化？请说明理由. 12、如图 1，在矩形 ABCD 中，AB3，AD1，点 P 在线段 AB 上运动，设 APx，现将纸 片折叠，使点 D 与点 P 重合，得折痕 EF(点 E，F 为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原. （1）当0 x时，折痕 EF 的长为_； （2）写出使四边形 EPFD 为菱形的 x 的取值范围，并求出当 x2 时菱形的边长； （3）令 2 EFy，当点 E 在 AD 上、点 F 在 BC 上时，写出 y 与 x 的函数关系式（写出 x 的取值范围） ，当y取最大值时，判断EAP 与PBF 是否相似若相似，求出x的值；若不 相似，请说明理由.
