1、 专题 25 配方法 例 1 10 提示：x=5-y代入2= + 9，然后配方. 例 2 A 提示：原式=3(2+ 2+ 2) (2+ 2+ 2+ 2 + 2 + 2). 例 3 a+b+c=20 提 示 ： 将 等 式 整 理 ， 得 ( 1 2 1 + 1) + ( 2 4 2 + 4) + 1 2( 3 6 3 + 9) = 0 即( 1 1) 2 + ( 2 2) 2 + 1 2( 3 3) 2=0 例 4 原式=4444 +1 8888 +1 +1=4444 +1 0000 +1 +8888 +1 +1=4 1111 +1 10+1+8 1111 +1 +1=4 2 2 11111
2、1 11119 1111 18 1111 136111112 1111 16 1111 1 nnnnn n 例 5 已知，这 32 个人恰好是第 2 至第 33 层各住 1 人，对于每个乘电梯上、的人，他所住的层数 一定不小于直接上楼的人所住的层数，事实上，设住 S 层的人乘电梯，而住 t 层的人直接上楼，S t，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少. 设电梯停在第 x 层，在第一层有 y 人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为： 3 12333 12122Sxyxy = 333343121 222 xxy yxyxy = 22 2102231684xyxyy = 2 2 10
3、21 2151803068 48 y xyy = 2 21021 26316316 48 y xy 又当 x=27，y=6 时，=316S最小值. 故当电梯停在第 27 层时，总分最小，最小值为 316 分. 例 6 若 2 n19n91为完全平方数，则 2 4 n19n91也是完全平方数. 设 22 4 n19n91 =m（m 为自然数）配方得 2 2 2n193=m， （m+2n-19） （m-2n+19）=3 于是 219=3219=1 219=1219=3 mnmn mnmn 或 解得： =2=2 =10=10 mm nn 或 故当 n=9 或 10 时 2 n19n91是完全平方数.
4、 能力训练能力训练 1. 42 2. 0 3. 6 4. 2 x1 5. -3，-2, 5 6. B 7. C 8. A 提示： 222 xyz= a1b1c13大于 0 . 9. B 提示：取 n=2 和 3 可否定 A 、 C 、 D 、 E ， 而 22 4n4n4=4 nn1， 2 22 nnn11n ，故 2 nn 1不是完全平方数. 10. B 11. （x，y，z）=（0,0,0）或（1,1,1） 提示：取倒数. 12. 提示：当 n8 时， 8n 8 22562 (21) n ， 若它是完全平方数， 则 n 8 21 为一奇数的平方， 设 2 n 8 2121k （k 为自然数
5、） ，则 n 10 211k k ，由于 k 和 k+1 一奇一偶，k=1，于是 n 10 22 ，故 n=11. 13. 提示：设 a=kb（k 为正整数） ，则 2 22 12432733 9k b ，解得 5424 28 aa bb 或 14. 由 2 222 9 2ab=5093 k， 得 到2a+b=509k ， b=509k-2a ， 代 入 原 式 得 22 4a511 509k2a =509 3 k， k 5119k a= 2 ，因为 a 为质数，故有以下情况： 当 k=1 时， 5119 a=251 2 ，为质数，b=509k-2a=7. 当 k=2 时，a=511-18=493=17 29，不为质数，舍去. 当 k2 且 k 为奇数时， 5119k a=k 2 为质数且 k2，则 511 9k =1 2 ，此方程无整数解，舍去. 当 k2 且 k 为偶数时， k a=5119k 2 为质数，且 k 1 2 ，则 511-9k=1，此方程无整数解，舍 去. 综上所述，a=251，b=7. 15. 提示： y=-9x+1440 （0x160）. 每周的住宿收入是 S 元，则 2 2 914409144098057600Sxxxxx 当 x=80 时，57600S 最大 元.
