1、 专题专题 22 22 关于中点的联想关于中点的联想 阅读与思考阅读与思考 线段的中点把线段分成相等的两部分，图形中出现中点，可以引起我们丰富的联想：首先它和三角形 的中线紧密联系；若中点是在直角三角形的斜边上，又可以引用“斜边上的中线等于斜边的一半”结论； 其次，中点又与中位线息息相关；另外，中点还可以与中心对称相连 解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角 形、梯形中位线、构造中心对称图形等，如图所示： 例题与求解例题与求解 【例【例 1】如图，ABC 边长分别为 AB14，BC16，AC26，P 为A 的平分线 AD 上一点，且 BP AD
2、，M 为 BC 的中点，则 PM 的值为_ (安徽省竞赛试题) 例2题图例1题图 N M F HE D M P B C A A BC D G 解题思路：解题思路：A 的平分线与 BP 边上的垂线互相重合，通过作辅助线，点 P 可变为某线段的中点，利 用三角形中位线定理解题 【例【例 2】如图， 边长为 1 的正方形 EFGH 在边长为 3 的正方形 ABCD 所在的平面上移动， 始终保持 EF AB，线段 CF，DH 的中点分别为 M，N，则线段 MN 的长度为( ) (北京市竞赛试题) A 10 2 B 17 2 C 17 3 D2 10 3 解题思路：解题思路：连接 CG，取 CG 的中点
3、 T，构造三角形中位线、梯形中位线 【例【例 3】如图，在ABC 中，ABAC，延长 AB 到 D，使 BDAB，E 为 AB 中点，连接 CE，CD， 求证：CD2EC (宁波市竞赛试题) 解题思路：解题思路：图形中有两个中点 E，B，联想到与中点相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为 线段相等关系的证明，关键是恰当添加辅助线 【例【例 4】如图 1，P 是线段 AB 上一点，在 AB 的同侧作APC 和BPD，使APCBPD，PCPA， PDPB，连接 CD，点 E，F，G，H 分别是 AC，AB，BD，CD 的中点，顺次连接 E，F，G，H (1) 猜想四边形 EFGH 的形状，直接
4、回答，不必说明理由； (2) 当点 P 在线段 AB 的上方时，如图 2，在APB 的外部作APC 和BPD，其他条件不变，(1)中 的结论还成立吗？说明理由； (3) 如果(2)中，APCBPD90，其他条件不变，先补全图 3，再判断四边形 EFGH 的形状， 并说明理由 （营口市中考试题） B A P A F P B G D H C E H G F E P AB C D 图 图 图 解题思路：解题思路：结论随着条件的改变也许发生变化，但解决问题的方法是一致的，即通过连线，为三角形 中位线定理的应用创造条件 例 3 图 E C B A D 【例【例 5】 如图， 以ABC 的 AB， AC
5、边为斜边向形外作直角三角形 ABD 和 ACE， 且使ABDACE， M 是 BC 的中点，求证：DMEM （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路：解题思路：显然DBM 不全等于ECM，必须通过作辅助线，构造全等三角形证明 DMEM 【例【例 6】如图，已知ABC 中，ACB90，AB 边上的高 CH 与ABC 的两条内角平分线 AM，BN 分别交于 P，Q 两点，PM，QN 的中点分别为 E，F，求证：EFAB （全国初中数学联赛题） 解题思路：解题思路：从图形的形成过程，逐步探索相应结论将原问题分解为多个小问题 能 力 训 练 A 级 1如图，若 E，F，G，H 分别是四边形 ABCD 各
6、边的中点，则四边形 EFGH 是_ (1)如果把条件中的四边形 ABCD 依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他条件不变，那么所 得的四边形 EFGH 分别为_； (2)如果把结论中的平行四边形 EFGH 依次改为矩形、菱形、正方形，那么原四边形 ABCD 应具备的 条件是_ （湖北省黄冈市中考试题） 2如图，已知 AGBD，AFCE，BD，CE 分别是ABC 和ACB 的角平分线，若 BF2，ED3， GC4，则ABC 的周长为_ (重庆市竞赛试题) 例 5 图 E D M A BC 例 6 图 Q P H C B A D F E 第 1 题图 H G F E B C D A 第 2 题
7、图 A B C D FG E 3如图，在ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D，E 是 AC 的中点，若 BC16，DE5，则 AD _ （南京市中考试题） 4如图，在ABC 中，ABAC，M，N 分别是 AB，AC 的中点，D，E 为 BC 上的点，连接 DN， EM，若 AB13cm，BC10cm，DE5cm，则图中阴影部分的面积为_ （北京市中考试题） 5A，B，C，D顺次为四边形 ABCD 的各边的中点，下面条件中使四边形 ABCD为正方形的条件 是（ ） A四边形 ABCD 是矩形 B四边形 ABCD 是菱形 C四边形 ABCD 是等腰梯形 D四边形 ABCD 中，ACBD 且 A
8、CBD 6若等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为 8cm，则该等腰梯形的面积为（ ） A16cm2 B32cm2 C64cm2 D112cm2 7如图，梯形 ABCD 中，ADBC，E，F 分别是 BD，AC 的中点，若 AD6cm，BC18cm，则 EF 的长为（ ） A8cm B7cm C6cm D5cm 8如图，在梯形 ABCD 中，ADEFGHBC，AEEGGB，AD18，BC32，则 EFGH （ ） A40 B48 C50 D56 （泰州市中考试题） H F B G AD C E M C D B A 第 8 题图 第 9 题图 9如图，在ABC 中，B2C，ADBC 于点 D，
9、M 是 BC 的中点，求证：DM1 2AB 第 4 题图 H A B C E M D N 第 3 题图 A BCD E 第 7 题图 B C D A EF 10 如图，在ABC 中，BDCE，BE，CD 的中点分别是 M，N，直线 MN 分别交 AB，AC 于点 P， Q，求证：APAQ 11在图 1 至图 3 中，点 B 是线段 AC 的中点，点 D 是线段 CE 的中点四边形 BCGF 和 CDHN 都是 正方形AE 的中点是 M （1） 如图 1， 点 E 在 AC 的延长线上， 点 N 与点 G 重合时， 点 M 与点 C 重合， 求证： FM = MH， FMMH； （2）将图 1
10、中的 CE 绕点 C 顺时针旋转一个锐角，得到图 2，求证：FMH 是等腰直角三角形； （3）将图2 中的CE 缩短到图3 的情况，FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由） (2009 年河北省中考试题) 12在六边形 ABCDEF 中，ABDE，BCEF，CDFA，ABDEBCEF，A1，B1，D1，E1分别 是边 AB，BC，DE，EF 的中点，A1D1B1E1求证：CDEAFE 第 12 题图 O C B A F E D B1 E1 A1 D1 第 10 题图 NM A BC ED P Q 图 1 A H C(M) D E B F G(N) G 图 2 A H C D E B F
11、N M A H C D E 图 3 B F G M N B 级 1如图，正方形 ABCD 两条对角线相交于点 E，CAD 的平分线 AF 交 DE 于点 G，交 DC 于点 F， 若 GE24，则 FC_ 2如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 F，M，N 分别是 AB，CD 的中点，MN 分别交 BD，AC 于点 P，Q，且FPQFQP，BD10，则 AC_ （重庆市竞赛试题） 3 如图， 在ABC 中， BAC120， 以 AB， AC 为边分别向形外作正三角形 ABD 和正三角形 ACE， M 为 AD 的中点，N 为 AE 的中点，P 为 BC 的中点，则MPN_ （
12、北京市竞赛试题） 4如图，已知 A 为 DE 的中点，设DBC，ABC，EBC 的面积分别为 S1，S2，S3，则 S1，S2，S3 之间的关系是（ ） AS23 2(S1S3) BS2 1 2(S3S1) CS2 1 2(S1S3) DS2 3 2(S3S1) 5如图，在图形 ABCD 中，ABDC，M 为 DC 的中点，N 为 AB 的中点，则 ( ) AMN1 2(ADBC) BMN 1 2(ADBC) CMN1 2(ADBC) D无法确定 MN 与 1 2(ADBC)的关系 6如图，凸四边形 ABCD 的面积是 a，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，那么图中的 阴
13、影部分的面积为( ) A1 8a B 1 6a C 1 4a D 1 2a （江苏省竞赛试题） 7如图，在ABC 中，D 为 AB 的中点，分别延长 CA，CB 到点 E，F，使 DEDF，过 E，F 分别 作 CA，CB 的垂线，相交于点 P求证：PAEPBF （全国初中数学联赛试题） 第 5 题图 A DC B N M 第 2 题图 Q F P A D CB M N E G A D C B F 第 1 题图 D B C E A M F N 第 3 题图 第 4 题图 A BC E D 第 6 题图 D AB C G E HF 第 7 题图 C E P F A B D 8如图，锐角ABC 中
14、，作高 BD 和 CE，过顶点 B，C 分别作 DE 的垂线 BF 和 CG，求证：EF DG （全俄奥林匹克数学竞赛试题） 9 如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，点 M 在 AB 边上，点 N 在 AC 边上，并且MDN 90，如果 BM2CN2DM2DN2求证：AD21 4(AB 2AC2) （北京市竞赛试题） 10已知：ABD 和ACE 都是直角三角形，且ABDACE90 如图 1，连接 DE，设 M 为 DE 的中点 (1)求证：MBMC； (2)设BADCAE，固定ABD，让 RtACE 绕顶点 A 在平面内旋转到图 2 的位置，试问：MB MC 是否还成立?请说明理由
15、 （江苏省竞赛试题） 图2 图1 A D B E A D E B C C M M 第 9 题图 A B C M D N 第 8 题图 A B C F G D E 11已知OAB，OCD 都是等腰直角三角形，AOBCOD90 (1) 如图 1， 点 C 在 OA 边上， 点 D 在 OB 边上， 连接 AD， BC， M 为线段 AD 的中点， 求证： OMBC (2) 如图 2，在图 1 的基础上，将OCD 绕点 O 逆时针旋转(为锐角)，M 为线段 AD 的中点 求证：OM1 2BC； OMBC 是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由 图1 图2 A B O A BO D C D
16、C M M 12如图 1，在ABC 中，点 P 为 BC 边的中点，直线 a 绕顶点 A 旋转，若点 B，P 在直线 a 的异侧， BM直线 a 于点 M，CN直线 a 于点 N，连接 PM，PN (1)延长 MP 交 CN 于点 E(如图 2) 求证：BPMCPE； 求证：PMPN (2)若直线 a 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，点 B，P 在直线 a 的同侧，其他条件不变，此时 PMPN 还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 (3) )若直线 a 绕点 A 旋转到与 BC 边平行的位置时，其他条件不变请直接判断四边形 MBCN 的形状 及此时 PMPN 是否成立不必说明理由 （沈阳市中考试题） aa a 图3图2图1 N M P E P N M P N M B C AA C B A C B
