1、 专题专题 28 整体与完形整体与完形 阅读与思考阅读与思考 许多几何问题，常因图形复杂、不规则而给解题带来困难，这些复杂、不规则的图形，从整体考虑， 可看作某种图形的一部分，如果将它们补充完整，就可得到常见的特殊图形，那么就能利用特殊图形的 特殊性质转化问题，这就是解几何问题的补形法，常见的补形方法有： 1. 将原图形补形为最能体现相关定理、推论、公理的基本图形； 2. 将原图形补形为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形； 3. 将原图形补形为平行四边形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下图形： 例题与求例题与求解解 【例【例 1】 如图，已知 CDAF，CDEBAF，ABBC，E
2、 0 80，C 0 124，则AFE _度. (北京市竞赛试题) 解题思路解题思路：有平行的条件，不妨将六边形补形为较为规整的平行四边形. B D AF E C 【例【例 2】 设, ,a b c分别是ABC 的三边长， 且满足 aab babc ，则它的内角A、B 的关系 是（ ）. A.B2A B.B2A C.B2A D.不确定 （全国初中数学竞赛试题） 解题思路解题思路：从化简已知等式入手，并补出相应的图形. 【例【例 3】 如图 1，BD，CE 分别是ABC 的外角平分线，过点 A 作 AFBD，AGCE，垂足分别 为 F，G，连结 FG，延长 AF，AG，与直线 BC 相交，易证 1
3、 2 FGABBCAC. 若（1）BD，CE 分别是ABC 的内角平分线（如图 2） ； （2）BD 为ABC 的内角平分线； （3）CE 为ABC 的外角平分线（如图 3） ，则在图 2、图 3 两种情况下，线段 FG 与ABC 三边又有怎样的数量 关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明. （黑龙江省中考试题） 解题思路解题思路：既有平分线又有垂线，联想到等腰三角形性质，考虑将图形补成等腰三角形. E D 图3 图2 图1 E G D G D F BC A F A B FG C A B E 【例【例 4】 如图，四边形 ABCD 中，ABC 0 135 ，BCD 0 120 ，AB
4、 6，BC53 ， CD6，求 AD 的长. （全国初中数学竞赛试题） 解题思路解题思路：由于四边形 ABCD 是一般四边形，所以直接求 AD 比较困难，应设法将 AD 转化为特殊 三角形的边. D C A B A2A3 A1 A8 A7A6 A5 A4 例 4 题图 例 5 题图 【例【例 5】 如图，凸八边形 1238 .A A AA中， 1 A 5 A ， 2 A 6 A ， 3 A 7 A ， 4 A 8 A ，试证明：该凸八边形内任意一点到 8 条边的距离之和是一个定值. （山东省竞赛试题） 解题思路解题思路： 本例是一个几何定值证明问题， 关键是将八边形问题转化为三角形或四边形问题
5、来解决， 若连结对角线，则会破坏一些已知条件，应当考虑向外补形. 【例【例 6】 如图，在ABC 中，ABC 0 45，点 D 在边 BC 上，ADC 0 60，且 1 2 BDCD.将 ACD 以直线 AD 为轴作轴对称变换，得到ACD，连结 BC . (1) 证明： BC BC; (2) 求C 的大小. （全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题） 解题思路解题思路：本题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性 质，解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即 可解决问题. C B C A D 能力训练能力训练 1.如图，在四边形 AB
6、CD 中，AC 0 90 ，ABAD，若这个四边形的面积为 12，则 BCCD _. （山东省竞赛试题） 2. 如图，凸五边形 ABCDE 中，AB 0 120，EAABBC2，CDDE4，则这个五边形 的面积为_. （美国 AHSME 试题） 3. 如图，一个凸六边形六个内角都是 0 120，其中连续四条边的长依次为1,9,9,5，则该六边形的周长 为_. 第1题图 第2题图第3题图 5 9 91 E A F D CB CE C D B AB D A 4. 如图，ABCDEF 是正六边形，M，N 分别是边 CD，DE 的中点，线段 AM 与 BN 相交于 P，则 BP PN _. （浙江省竞
7、赛试题） 5. 如图，长为2的三条线段,AA BB CC交于 O 点，并且BOACOBAOC 0 60， 则三个三角形的面积和 123 SSS_3（填“” ， “” ，或“” ）. （ “希望杯”邀请赛试题） 6. 如图，在四边形 ABCD 中，A 0 60，BD 0 90 ，BC2，CD3，则 AB ( ). A. 4 B. 5 C. 2 3 D. 8 3 3 （广西壮族自治区中考试题） 第6题图第5题图 第4题图 S1 S2 S3 D P O BB N MD E F A B C C B A C C A A 7 . 如图，在ABC 中，M 为 BC 中点，AN 平分A，ANBN 于 N，且
8、AB10，AC16，则 MN 等于（ ）. A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 8. 如图，在四边形 ABCD 中，ABBC，ABCCDA 0 90 ，BEAD 于 E， 8 ABCD S 四边形 ，则 BE 的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 3 D. 2 2 第7题图 第8题图第9题图 A N M B C A A D C B D E C B 9. 如图，在四边形 ABCD 中，AB42 ，BC1，CD3，B 0 135 ，C 0 90 ，则D 等 于（ ） A. 0 60 B. 0 67.5 C. 0 75 D.条件不够，无法求出 （重庆市竞赛试题） 10. 如图，在ABC
9、 中，E 是 AC 中点，D 是 BC 边上一点，若 BC1，ABC 0 60 ，BAC 0 100 ， CED 0 80，求2 ABCCDE SS 的值. C B A D E 11. 如图，设c是Rt ABC的斜边长，, a b是直角边，求证：2abc. （加拿大中学生竞赛试题） c b a B C A 12. 如图，已知八边形 ABCDEFGH 所有的内角都相等，而且边长都是整数.求证：这个八边形的对边 相等. DE F G HA B C 13. 如图， 设 P 为ABC 的中位线 DE 上的一点， BP 交 AC 于 N， CP 交 AB 于 M， 求证：1 ANAM NCMB . （齐齐哈尔市竞赛试题） NM E D B C A P 14. 一个圆内接八边形相邻的四条边长是1，另四条边长是2，求八边形的面积.
