1、1 1第1章 信号与系统的基本概念1.1 概述1.2 信号的分类和运算1.3 系统1.4 信号与系统分析方法概述1.5 MATLAB语言简介小结习题2 2 1.1 概 述 信号与系统理论包括信号理论和系统理论两个方面。3 31.2 信号的分类和运算1.2.1 信号的概念和分类广义地说，信号(Signal)是随时间变化的反映某种信息的物理量，如光、电、声、位移、速度、加速度、力、温度等。4 41.确定信号与随机信号确定信号(Determinate Signal)是指能够以确定的时间函数表示的信号，在其定义域内任意时刻都有确定的函数值。例如电路中的正弦信号和各种形状的周期信号等。随机信号(Rand
2、om signal)不能预知它随时间变化的规律，不是时间的确定函数。5 52.连续时间信号与离散时间信号连续时间信号是指在信号的定义域内，任意时刻都有确定的函数值的信号，如图1-1所示，通常用f(t)表示。连续时间信号最明显的特点是自变量t在其定义域上除有限个间断点外，其余是连续可变的。仅在离散时刻点上有定义的信号称为离散时间信号，如图1-2所示。这里“离散”一词表示自变量只取离散的数值，相邻离散时刻点的间隔可以是相等的，也可以是不相等的。在这些离散时刻点以外，信号无定义。信号的值域可以是连续的，也可以是不连续的。定义在等间隔离散时刻点上的离散信号也称为序列，通常用f(nTs)来表示，简记为f
3、(n)，其中n为序号，Ts为相邻离散时刻点的间隔。6 6图1-1 连续信号7 7图1-2 离散时间信号8 83.周期信号与非周期信号确定信号又可分为周期信号(Periodic Signal)与非周期信号(Aperiodic Signal)。周期信号是每隔一定的时间间隔重复变化的信号，如图1-3所示。连续周期信号与离散周期信号的数学表达式分别为f(t)=f(t+nT)n=0,1,2,-t (1-1)f(n)=f(n+mN)m0，1，2，n取整数 (1-2)式中，T和N分别称为信号的周期。周期信号有两个要素：重复性和无限性。非周期信号是不具有重复性的信号，实际信号一般都是非周期信号。9 9图1-3
4、 周期信号10104.能量信号与功率信号若将信号f(t)设为电压或电流，则加载在1 电阻上产生的瞬时功率为f2(t)，在一定的时间区间t0,t0内会消耗一定的能量当t0时，总能量为 (1-3)平均功率为 (1-4)1111应用上述两式计算信号在1 电阻上的总能量和平均功率时，可能有两种情况：一种是总能量有限而平均功率趋于零，即0E和P0；另一种是总能量趋于无限大而平均功率为有限值，即E和0P0)，如图1-9(a)所示，这时就可以用一个延时的单位阶跃信号来表示 (1-7)其波形如图1-9(b)所示。2121图 1-9 延迟t0的单位阶跃信号2222用阶跃函数的组合可以表示分段信号。例如图1-10
5、所示的脉冲宽度为的单位矩形脉冲信号可以用阶跃信号的组合表示为 单位斜变信号r(t)与单位阶跃信号(t)之间有下列微积分的关系：(1-8a)(1-8b)2323图1-10 单位矩形脉冲信号2424同样地，离散时间的单位阶跃序列定义为 (1-9)其波形如图1-11所示。2525图1-11 单位阶跃序列26263.单位冲激信号和单位序列单位冲激信号记为(t)，其工程定义为 (1-10)式中表示(t)所包围的面积(强度)为1，这就是在(t)的名称前面冠以“单位”两字的意义。2727式(1-10)只是(t)的工程定义而不是严格的数学定义。(t)是一个广义函数，而不是一个普通函数，为了对(t)有一个直观的
6、认识，可以将(t)看成是某些普通函数的极限情况，例如门函数的极限，即 如图1-12所示。2828图1-12 单位冲激信号为门函数的极限2929尽管单位冲激函数(t)十分抽象，它不同于普通函数，但它对于集中于一瞬间(或一点)出现的物理量却是最好的数学描述。例如，一个1 V的理想电压源对一个1 F的理想电容器进行充电，如图1-13所示。在开关S接通的瞬间(t=0)，充电电流i(t)，但是充电电流的积分值：(1-11)3030图1-13 单位冲激电流的产生3131根据(t)函数的定义，可以建立单位阶跃函数(t)和单位冲激函数(t)的确切关系。由于(t)只在t=0时存在，因此故有根据(t)的定义，应有
7、 (1-12)3232上式表明，单位冲激信号的积分为单位阶跃信号；反过来，单位阶跃信号的导数应为单位冲激函数，即 (1-13)应当指出，当t=0时，(t)不连续，普通意义上函数在该点无导数。而上式表明单位冲激函数可表示函数在不连续点的导数。3333 在理论分析中，还经常用到(t)的导数，即 (1-14)它可看做是位于原点的极窄矩形脉冲的导数极限，因而(t)的波形可认为是由两个分别出现在0-和0+的强度相等的正负冲激函数组成，如图1-14所示。通常把(t)称为冲激偶。下面研究冲激函数(t)的性质。3434图1-14 冲激偶信号35351)偶对称性质(t)=(t)(1-15)因为(t)是门函数g(
8、t)当0时的极限，而g(t)是偶函数，不难想象(t)也是偶函数。36362)采样(筛选)性质若函数f(t)在t=0时连续，由于(t)只在t=0时存在，则有f(t)(t)=f(0)(t)(1-16)若f(t)在t=t0时连续，则有f(t)(tt0)=f(t0)(tt0)(1-17)3737对上面两式取积分，可得到下面两个重要的积分结果:(1-18)(1-19)式(1-19)说明，(t)函数可以把信号f(t)在某时刻的值采样(筛选)出来，这就是(t)的筛选性。3838同样地，在离散信号中，单位序列(如图1-15所示)定义为 (1-20)单位序列(n)与单位阶跃序列(n)的关系为 (1-21)(1-
9、22)从式(1-22)可见(n)是由无穷多个单位序列叠加而成的。3939图 1-15 单位序列4040 例1-1 试分别化简下列各信号的表达式：4141 解 根据冲激函数的性质进行化简可得：42424.指数信号 指数信号的一般数学表达式为f(t)=Aest (1-23)根据式中s的不同取值，可以分下列两种情况讨论：(1)s=时，此时为实指数信号，即 f(t)=Aet (1-24)当0时，信号呈指数规律增长；当0(1时表示f(t)沿时间轴压缩；|a|0时，它是f(t)沿时间轴展缩、平移后的信号波形；当a0)。而在初始状态y(0)8时以及激励f(t)共同作用下产生的系统完全响应y(t)=3e4t+
10、5et,t0。试求：(1)系统的零状态响应yzs(t)；(2)系统在初始状态y(0)=1以及激励为3f(t)共同作用下的完全响应。8787解 (1)由于y(0)=2时yzi(t)=6e4t(t0)，故有y(0)=8时yzi(t)=24e4t(t0)。因此 yzs(t)=y(t)yzi(t)=3e4t+5et24e4t=5et21e4t，t0 (2)同理，当y(0)=1和3f(t)作用下，有 y(t)=0.5(6e4t)+3(5et21e4t)=15et60e4t，t08888例1-6 试证明方程y(t)+ay(t)=f(t)所描述的系统为线性系统。式中a为常数。8989证明 不失一般性，设输入
11、有两个分量，且则有9090相加得即可见即满足叠加性。齐次性是显而易见的。故系统为线性。9191线性系统有三个重要的特性，即微分特性、积分特性和频率保持特性。(1)微分特性。如果线性系统的输入f(t)引起的响应为y(t)，则当输入为f(t)的导数 时，其响应变为y(t)的导数(2)积分特性。如果线性系统的输入f(t)引起的响应为y(t)，则当输入为f(t)的积分时，其响应变为y(t)的积分 上述线性系统的直观描述如图1-29所示。9292图1-29 线性系统的微分、积分特性9393(3)频率保持性。如果线性系统的输入信号含有1，2，n的成分，则系统的稳态响应也只含有1，2，n的成分(其中有些频率
12、成分的大小可能为零)。换言之，信号通过线性系统后不会产生新的频率分量。94943.时不变系统与时变系统 系统可分为时不变系统(Time Invariant System)和时变系统(Timevarying System)。一个系统，如果在零状态条件下，系统的输出波形仅取决于输入波形而与输入的起始时刻无关，就称为时不变系统，这一特性可直观地用图1-30描述。不满足上述特性的系统就称为时变系统。时不变系统可表示为f(t)yzs(t)则f(tt0)yzs(tt0)(1-41)9595同理，对于时不变离散系统，可表示为f(n)yzs(n)则f(nm)yzs(nm)(1-42)式中，n、m为任意整数。9
13、696图1-30 时不变系统的响应9797如果一个系统的元件参数不随时间而变化，例如图1-31所示的RLC串联电路，对常参数RLC有方程而且该方程的各系数都是常数，故该系统是时不变(或称非时变)系统。只要有一个元件为时变的，如R(t)或C(t)，系统即为时变的。同理，时不变离散系统的差分方程的系数也应为常数。9898图1-31 时不变系统的例子9999例1-7 试判断以下系统是否为时不变系统：(1)yzs(t)=a cosf(t)，t0;(2)yzs(t)=f(2t)，t0。输入输出方程中f(t)和yzs(t)分别表示系统的激励和零状态响应，a为常数。100100解 (1)已知 设 10110
14、1则其零状态响应为显然 故该系统是时不变系统。102102(2)这个系统代表一个时间上的尺寸压缩，系统输出yzs(t)波形是输入f(t)在时间上压缩1/2后得到的波形。设 相应的零状态响应为103103而由于故该系统是时变系统。1041044.因果系统和非因果系统如果把激励看成是引起系统响应的原因，即响应看成是激励作用于系统的结果，那么，我们还可以从因果关系方面来研究系统的特性。一个系统，如果激励在tt0(或nn0)时为零，相应的零状态响应在tt0(或n5/(4.8+5.32)2系统将直接计算表达式的结果，并且给出答案：ans=0.0488 120120说明：这里的符号“”为MATLAB的命令
15、行提示符；“”表示键入表达式之后按回车键；计算得到的结果显示为ans(英文单词“answer”的缩写)，它是MATLAB默认的系统变量。所有MATLAB的计算结果和数值都默认使用双精度类型显示。MATLAB的数学运算符(如*、/等)与其他的计算机高级语言(例如C语言)类似。1211211.5.2 MATLAB程序设计基础1.MATLAB的基本运算单位 MATLAB的基本运算单位就是矩阵和向量，而M语言本身就是以向量化运算为基础的编程语言。从编程语言的角度上看，向量也就是一维数组。在MATLAB中创建向量可以使用不同的方法，最直接也最简单的方法就是逐个输入向量的元素，还有使用冒号(：)运算符、使
16、用函数linspace和logspace创建向量等方法。创建矩阵的方法也类似，如用直接输入矩阵元素的方法创建矩阵“A=1 2 3；4 5 6；7 8 9”。122122访问向量的元素只要使用相应元素的索引即可，如访问向量的最后四个元素时输入“A(end-3：end)”，按一定规则访问矩阵元素的方式见表1-1。可以通过访问元素的方法，对具体的元素赋值，如“A(3)=-3”。访问矩阵的元素也需要使用矩阵元素的索引。注意，MATLAB的矩阵元素的排列以列元素优先，与C语言的二维数组元素的排列不同。1231231241242.M文件和M函数简介MATLAB提供了完整的编写应用程序的能力，这种能力通过一
17、种被称为M语言的高级语言来实现。M语言是一种解释性语言，利用该语言编写的代码仅能被MATLAB接受，被MATLAB解释、执行。其实，一个M文件就是由若干MATLAB的命令组合在一起构成的。与C语言类似，M文件的结构也有流程控制，包括选择结构(使用if语句或者switch 语句)、循环结构(while循环和for循环)等。125125和C语言类似，M语言文件都是标准的纯文本格式的文件，利用任何一种纯文本编辑器都可以编写相应的文件，其文件的扩展名为.m。为了方便编辑M文件，MATLAB提供了一个编辑器，叫作Meditor，它也是系统默认的M文件编辑器，如图1-33所示。在MATLAB命令行窗口中键
18、入指令“edit”，就可以打开Meditor。在MATLAB中，M文件有两类：脚本(Script)文件和函数(Function)文件。这两类文件的命名必须以字母开头，其余部分可以是字母、数字或下划线(不能是汉字)。126126图1-33 MATLAB的M文件编辑器(Meditor/Debugger)1271271)M脚本文件 所谓脚本文件，就是由一系列的MATLAB指令和命令组成的纯文本格式的M文件。脚本文件的主要用途是使输入更加简化，如果用户需要重复输入许多指令，即可将这些指令放在一个脚本文件中。可以说，脚本文件就是将用户在MATLAB指令窗口中输入的一组指令用另外一个名称(文件名)来代替。
19、在程序设计中，指令文件常作为主程序来设计。1281282)M函数文件函数文件的主要用途是扩充MATLAB的应用范围和满足用户不同的实际应用需求。M函数文件和脚本文件不同，M函数文件不仅可以有一个输入参数和一个返回值，还可以为M语言函数文件定义多个输入参数和多个输出参数。除了输入变量和输出变量以外，在函数文件内部的其他变量通常为该函数文件的局部变量，只在本函数的工作区内有效，一旦退出该函数，即为无效变量。而脚本文件中定义或使用的变量都是全局变量，在退出文件后仍是有效变量，且保留在工作空间中，其他脚本文件和函数可以共享这些变量。1291293)M函数M函数主要有两类：一类被称为内建(Buildin
20、)函数，这类函数是由MATLAB的内核提供的，能够完成基本的运算，例如三角函数、矩阵运算的函数等；另外一类函数就是利用高级语言开发的函数文件，这里的函数文件既包括用C语言开发的MEX函数文件，又包含M函数文件。MATLAB的功能是通过大量的M语言函数或者MATLAB内建的指令来完成的，在命令行窗口中，调用这些函数的方法就是直接键入函数或者指令，并且根据不同的函数提供相应的参数列表。130130M函数文件的文件名必须以关键词“Function”开头，第一行为函数说明语句，其格式为 Function返回变量1，返回变量2，函数名(输入变量1，输入变量2，)其中函数名由用户自己定义，一般推荐将函数名
21、称用小写的英文字母表示。其存储文件的文件名与函数名最好一致。若不一致，则在调用时应使用文件名。131131 M语言函数文件由下面几部分组成：函数定义行。在线帮助。注释行。M语言代码。132132例1-9 函数文件：average.m示例。解 MATLAB程序如下：133133134134在上面程序中，每行最前面的数字编号(行号)是编辑器固有的，不用输入。在MATLAB命令行中，键入下面的指令运行例1-9的代码：z=1：99；y=average(z)y=50 上例中的M文件存盘“average.m”文件即得“average”函数。135135 M文件的注释行需要使用%定义符，在%之后的所有文本都
22、认为是注释文本，不过，M文件的注释定义符仅能影响一行代码。给程序添加适当的注释是良好的编程习惯，希望读者能够在日常编程中多多使用。同一个M函数文件中可以包含多个函数。如果在同一个M函数文件中包含了多个函数，那么出现在文件中的第一个M函数称为主函数(primary function)，其余的函数称为子函数(subfunction)。1361361.5.3 MATLAB语言在信号与系统中的应用 “信号与系统”是电子信息类专业一门重要的专业基础课，其特点是理论性强，对学生的数学知识要求较高，理论计算繁琐，系统分析时出现的时域图和频域图较多，在传统学习中学生要将大量时间花在手工计算和绘图中。MATLA
23、B软件是由美国Mathworks公司推出的用于数值计算和图形处理的科学计算系统环境，它集高效的数值分析、完备的信号和图形处理、功能丰富的应用工具箱为一体，构成了一个方便且界面友好的用户环境，是一种适应多种硬件平台的数学计算工具。MATLAB在信号与系统课程的教学中，主要有以下两方面的作用：137137(1)利用MATLAB的数值计算和分析功能，将学生从繁杂的数学运算及推导中解脱出来。“信号与系统”课程中有许多复杂的数学运算及推导，例如微积分运算、微分方程求解、差分方程求解、多项式求根、系统零极点计算、部分分式展开、卷积积分、卷积和运算等，在传统的教学中，这类运算都是由学生经过手算来完成的，既耗
24、费了大量的时间又达不到理想的学习效果。利用MATLAB可以让学生学会用科学的运算方法解决问题，从繁重的手工数学运算中解脱出来，将学习重点放在对信号与系统分析的基本概念、方法和原理的理解和运用上。138138(2)利用MATLAB具有计算结果可视化及强大的图形处理功能，将信号与系统课程中大量较为抽象、学生难以理解的概念和习题，编制成MATLAB程序，用文字、声音、图形、动态画面及友好的人机交互界面展现出来，使学生易于理解和掌握。通过后续章节的理论学习和MATLAB的具体操作，读者肯定会对以上两点有较深感受。139139小 结本章首先给出了信号的概念和分类。信号是随时间变化的某种物理量，是传送各种
25、消息的工具。常见的信号形式有连续时间信号和离散时间信号两大类。在常见的信号中，单位阶跃信号和单位冲激信号有许多特殊的性质，它们是分析其他信号的有力工具。信号的运算有相加(减)、相乘、数乘、微分、积分、延迟、反转、压缩展宽等。140140系统是由若干单元按一定规则相互连接并完成确定功能的有机整体。系统可分为连续时间系统、离散时间系统和混合系统三大类。线性非时变(时不变)系统是实际系统的一类重要理论模型，本章主要讨论了线性非时变(时不变)系统的概念和性质，系统响应的分解性、齐次性和叠加性是线性系统的充要条件。线性时不变系统具有微分特性、积分特性和频率保持性。MATLAB是一种功能强大的工程计算软件
26、，其强大的数值计算和符号运算功能、可视化图形功能等为信号与系统的研究提供了强有力的计算机辅助手段。141141习 题 11-1 试画出下列信号的波形：1421421-2 试写出题1-2图中各信号的时域表达式。题1-2图1431431-3 写出题1-3图所示各序列的闭合形式表达式。题1-3图1441441-4 信号f1(t)和f2(t)的波形如题1-4图所示，试绘出f1(t)+f2(t)、f1(t)f2(t)、f1(t)f2(t)的波形。题1-4图1451451-5 信号f(t)的波形如题1-5图所示，试画出2f(t2)、f(2t)、f(t+1)的波形。题1-5图 1461461-6 信号f(t
27、)的波形如题1-6图所示，试画出f(t)、的波形。题1-6图 1471471-7 试判断下列系统是否为线性系统，并说明理由。其中：x(t)为激励，q(0)为初始状态，y(t)为响应。1481481-8 判断下列连续时间系统是否为线性系统。其中：y(t)为系统的完全响应,f(t)为系统的激励,x(0)为系统的初始状态。1491491-9 试判断下列动态方程式所描述的连续时间系统是否为线性时不变系统。其中：f(t)为系统输入信号，y(t)为系统输出信号，系统初始状态为零。1501501-10 题1-10图(a)和(b)的系统是由两个子系统级联而成，其中S1x1(t)=tx1(t),若x(t)=t，
28、求y(t)。题1-10图1511511-11 若有线性时不变系统方程为在系统输入信号f(t)作用下其响应为y(t)=1et，试求方程的响应(提示：利用线性和微分特性)。1521521-12 已知某线性时不变系统有两个初始状态x1(0)和x2(0)，其零输入响应为yx(t)。当x1(0)=1，x2(0)=0时，yx1(t)=4e2t+6e4t，(t0)；当x1(0)=0，x2(0)=1时，yx2(t)=3e2t2e4t，(t0)；而当x1(0)=0，x2(0)=0时，在f(t)作用下，产生零状态响应yf(t)=5e2t+e4t+2et，(t0)。试求：(1)当x1(0)=2，x2(0)=3时，系统的零输入响应yx3(t)；(2)当x1(0)=3，x2(0)=3，3f(t)作用时，系统的完全响应y(t)。
