1、获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 1 专题专题 7 数列数列 数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列 基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数 列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数 列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要 预测预测 2021 年将保持稳定，注意主观题与不等式、函数等相结合年将保持稳定，注意主观题与不等
2、式、函数等相结合. 一、单选题一、单选题 1 （2020 届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算 出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三 个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频 率为 f，则第八个单音的频率为 A 3 2 f B 32 2 f C12 5 2 f D12 7 2 f 【答案】D 【解析】 分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为122
3、， 所以 12 1 2(2,) nn aannN ， 又 1 af，则 1277712 81 ( 2)2aa qff 故选 D. 2（2020 届山东省潍坊市高三下学期开学考试） 已知数列 n a中， 前n项和为 n S， 且 2 3 nn n Sa ， 则 1 n n a a 的最大值为（ ） A3 B1 C3 D1 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 2 【答案】C 【解析】 当2n 时， 11 21 , 33 nnnn nn Sa Sa 两式作差可得： 1 1 2112 1 3311 n nnn n annn aaa ann ， 据此可得
4、，当2n 时， 1 n n a a 的最大值为 3 3 （2020 届山东省济宁市高三 3 月月考）在增减算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行 健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”则下列说法错误的是（ ） A此人第二天走了九十六里路 B此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里. C此人第三天走的路程占全程的 1 8 D此人后三天共走了 42 里路 【答案】C 【解析】 由题意可知，每天走的路程里数构成以 1 2 为公比的等比数列，由 S6=378 求得首项，再由等比数列的通项公 式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案 4 （2020 届山东省济宁市第一中学高三二
5、轮检测） 已知正项等比数列 n a满足： 28535 16,20a aa aa， 若存在两项, mn aa使得32 mn a a ，则 14 mn 的最小值为 A 3 4 B 9 10 C 3 2 D 9 5 【答案】A 【解析】 因为数列 n a是正项等比数列， 285 16a aa=， 35 20aa， 所以 2 2855 16a aaa=， 5 16a ， 3 4a ， 所以 2 53 aa q，2q =， 4 51 aa q=， 1 1a ， 11 1 2 nn n aa q ， 因为32 mn a a ，所以 1110 222 mn- = ，12mn， ()()() 4141141
6、1212 5 nm mnmnmn m n+ =+=+ 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 3 () () 431 124 5 20,0 nm mn mn?，当且仅当2nm时“=”成立， 所以 14 mn +的最小值为 3 4 ，故选 A。 5 （2020 届山东省青岛市高三上期末）已知数列 n a中, 3 2a , 7 1a .若 1 n a 为等差数列,则 5 a ( ) A 2 3 B 3 2 C 4 3 D 3 4 【答案】C 【解析】 设等差数列 1 n a 的公差为d， 则 73 11 4d aa ，即 1 14 2 d，解得 1 8
7、 d 则 53 11113 2 244 d aa ，解得 3 4 3 a 故选：C 二、多选题二、多选题 6 （2020 届山东省潍坊市高三模拟一）记 n S为等差数列 n a的前 n 项和.若 45 24aa， 6 48S ，则下 列正确的是（ ） A 1 2a B 1 2a C4d D4d 【答案】AC 【解析】 因为 451 61 2724 61548 aaad Sad ，所以 1 2 4 a d ， 故选：AC. 7 （2020 山东曲阜一中高三 3 月月考）在增删算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健 步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ）
8、A此人第二天走了九十六里路 B此人第三天走的路程站全程的 1 8 C此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D此人后三天共走了 42 里路 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 4 【答案】ACD 【解析】 设此人第n天走 n a里路，则数列 n a是首项为 1 a，公比为 1 2 q 的等比数列， 因为 6 378S ，所以 1 6 6 1 (1) 2 =378 1 1 2 a S ，解得 1 192a ， 对于 A，由于 2 1 19296 2 a ，所以此人第二天走了九十六里路，所以 A 正确； 对于 B，由于 3 1481 19248,
9、 43788 a ，所以 B 不正确； 对于 C，由于378 192186,192 1866，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以 C 正确； 对于 D，由于 456 111 19242 81632 aaa ，所以 D 正确， 故选：ACD 8 （2020 届山东省潍坊市高三模拟二）将 n2个数排成 n 行 n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的 n 个数 从上到下构成以 m 为公差的等差数列， 每一行的 n 个数从左到右构成以 m 为公比的等比数列 （其中 m0） . 已知 a112，a13a61+1，记这 n2个数的和为 S.下列结论正确的有（ ） Am3 B 7 67 17
10、 3a C 1 313j ij ai D 1 31 31 4 n Snn 【答案】ACD 【解析】 a112，a13a61+1，2m22+5m+1，解得 m3 或 m 1 2 （舍去） ， aija i13 j12+（i1） m3j1（3i1）3j1， 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 5 a6717 36， S(a11+a12+a13+a1n)+(a21+a22+a23+a2n)+(an1an2an3ann) 11121 1 31 31 3 1 31 31 3 nnn n aaa （）（）（） 1 2 （3n1） 231 2 nn（） 1
11、4 n（3n+1） （3n1） 故选：ACD. 9（2020 届山东省济宁市第一中学高三一轮检测） 等差数列 n a是递增数列， 满足 75 3aa， 前n项和为 n S， 下列选择项正确的是（ ） A 0d B 1 0a C当5n时 n S最小 D 0 n S 时n的最小值为8 【答案】ABD 【解析】 由题意，设等差数列 n a的公差为d， 因为 75 3aa，可得 11 634adad，解得 1 3ad ， 又由等差数列 n a是递增数列，可知0d ，则 1 0a ，故,A B正确； 因为 22 1 7 2222 n dddd Snannn ， 由 7 7 2 2 d n n d 可知，
12、当3n或4时 n S最小，故C错误， 令 2 7 0 22 n dd Snn，解得0n或7n，即0 n S 时n的最小值为8，故D正确. 故选：.ABD 10 （2020 山东滕州市第一中学高三 3 月模拟）已知数列 , nn ab满足 1111 3 1 2,2ln(),0 nnnnnn n aab babnNab n 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 6 A数列 nn ab单调递增； B数列 nn ab 单调递增； C数 n a从某项以后单调递增； D数列 n b从某项以后单调递增. 【答案】BCD
13、【解析】 因为 11 1 2,2ln nnnnnn n aab bab n ，所以 11 3 1 ln nnnn n abab n ， 当1n 时, 2211 ln2abab,所以 2211 abab，所以 A 错误； 11 3 1 3()ln nnnn n abab n ， 11 ln(1)3(ln ) nnnn abnabn ， 所以ln nn abn是等比数列， 1 11 3ln n nn ababn，所以 B 正确； 1 111 2ln()3n nnnn aabanab ，故 1 111 ln()30 n nn aanab ，C 正确； 因为 1 3 1 ln nnnn n bbab
14、n ，所以 1 111 ln(1)2ln()3n nn bbnnab ， 根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以 D 正确. 故选：BCD. 三、填空题三、填空题 11 （2020 届山东省烟台市高三模拟）已知数列 n a的前n项和公式为 2 21 n Snn，则数列 n a的通 项公式为_ 【答案】 2,1 43,2 n n a nn 【解析】 由题意，可知当1n 时， 11 2aS； 当2n时， 2 2 1 221143 nnn aSSnnnnn . 又因为 1 1a 不满足43 n an，所以 2,1 43,2 n n a nn . 12 （2020 届山东省潍坊市高三模拟一
15、）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中， 用 n a表示解下 * 9,n nnN 个圆环所需移动的最少次数， n a满足 1 1a ，且 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 7 1 1 21 22 n n n an a an 为偶数 为奇数 ，则解下 5 个圆环需最少移动_次. 【答案】16 【解析】 因为 5433 222 2124aaaa， 所以 532211 44 22888 2181616aaaaaa ， 所以解下5个圆环需最少移动的次数为16. 故答案为：16. 四、解答题四、解答题 13 （2020 山东高三模拟
16、）已知各项均不相等的等差数列 n a的前4项和为 4 14S , 且 137 ,a a a成等比数 列. （1）求数列 n a的通项公式; （2）求数列 1 1 nn a a 的前n项和 n T. 【答案】 （1）1 n an； （2） 22 n n n 【解析】 （1） 设公差为d.由已知得 1 2 111 4614 26 ad adaad ,解得1d 或0d （舍去） , 所以1 2a ,故1 n an. （2） 1 1111 1212 nn a annnn , 111111 . 23341222 n n T nnn 14 （2020 届山东省烟台市高三模拟）已知数列 n a的前 n 项和
17、 2 38 n Snn， n b是等差数列，且 1nnn abb . （）求数列 n b的通项公式； 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 8 （）令 1 (1) (2) n n n n n a c b .求数列 n c的前 n 项和 n T. 【答案】 （）;（） 【解析】 （1）由题意知当2n时， 1 65 nnn aSSn ， 当1n 时， 11 11aS，所以65 n an 设数列 n b的公差为d， 由 112 223 a bb abb ，即 1 1 112 1723 bd bd ，可解得 1 4,3bd， 所以31 n bn （2）由
18、（1）知 1 1 66 31 2 33 n n n n n cn n ，又 123nn Tcccc，得 2341 32 23 24 212n n Tn ， 3452 232 23 24 212n n Tn ，两式作差，得 2341222 4 21 32 222212341232 2 1 n nnnn n Tnnn 所以 2 32n n Tn 15 （2020 届山东省高考模拟）已知数列 n a的前n项和为 n S，且 1 2 nn Saa（ * nN） ，数列 n b满 足 1 6b ， 1 4 nn n bS a （ * nN） （）求数列 n a通项公式； （）记数列 1 n b 的前n项
19、和为 n T，证明： 1 2 n T 【答案】 （） 1 2n n a （）证明见解析 【解析】 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 9 （） 1 2 nn Saa（ * nN） ， 当 2n时， 111 2 nn Saa ， 得 1 22 nnn aaa ， 即 1 2 nn aa ，2n， 1 4 nn n bS a ， 11 1 1 4ba a ， 又 1 6b ， 1 1a ， 数列 n a是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 1 2n n a - = （）由（）可得 1 221 n nn Saa， 211 11 1123 21 42
20、14 22 nn n nn nn n bS a （ * nN） ， 11 2111 1 12211 23 21212121 21 nn nnnn nn n b ， 01121 111111111 2121212121212212 n nnn T ， 1 2 n T . 16 （2020 届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知 n a是等差数列， n b是等比数列，且 2 3b ， 3 9b ， 11 ab， 144 ab （1）求 n a的通项公式； （2）设 nnn cab，求数列 n c的前 n 项和 【答案】 （1）21 n an； （2） 2 31 2 n n 【解析】 （1）设等差
21、数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q， 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 10 因为 23 3,9bb，可得 3 2 3 b q b ，所以 221 2 3 33 nnn n bb q ， 又由 11144 1,27abab，所以 141 2 14 1 aa d ， 所以数列 n a的通项公式为 1 (1)1 2(1)21 n aandnn （2）由题意知 1 (21)3n nnn cabn ， 则数列 n c的前n项和为 12 (1 21)1 331 1 3(21)(1 393) 21 32 nn n nn nn 17 （20
22、20 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列 n a中， 1 1a ， 1 21 nn aan ， nn ban. （1）求证：数列 n b是等比数列; （2）求数列 n a的前n项和 n S. 【答案】 （1）证明见解析 （2） 1 1 22 2 n n nn S 【解析】 （1）证明：因为 1 21, nnnn aanban 所以 11 121122 nnnnn banannanb , 又因为 11 120ba ,则 1 2 n n b b , 所以数列 n b是首项为 2,公比为 2 的等比数列. （2）由（1）知2n nn anb,所以2n n an, 所以 23 2 12223
23、2n n Sn 23 2222123 n n 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 11 1 2 1 2 11 22 1 222 n n nnnn 18 （2020 山东滕州市第一中学高三 3 月模拟）已知等差数列 n a的公差0d ，其前n项和为 n S，若 28 22aa，且 4712 ,a a a成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 12 111 n n T SSS ，证明： 3 4 n T . 【答案】 （1）21 n an； （2）证明见解析. 【解析】 （）数列 n a为等差数列，且 28 22aa， 528 1 1
24、1 2 aaa 4712 ,a a a成等比数列， 2 7412 aaa， 即 2 11211117ddd， 又0,d 2d ， 1 11 4 23a ， 3 2121* n annnN . （2）证明：由（1）得 1 2 2 n n n aa Sn n ， 111 11 222 n Sn nnn 12 111 n n T SSS 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 12 1111111111 1 232435112nnnn 1111 1 2212nn 31113 42124nn 3 4 n T 点睛：对于通项公式是分式型的数列求和时一般用裂项
25、法，解题时注意以下两点： （1）裂项时，一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止； （2）消项的规律为：消项 后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，即剩余的项具有对称性 19 （2020 届山东省泰安市肥城市一模）记 n S为公差不为零的等差数列 n a的前n项和，已知 22 19 aa， 6 18S . （1）求 n a的通项公式； （2）求 n S的最大值及对应n的大小. 【答案】 （1） * (2)10 n an nN（2）当4n或5n时, n S有最大值为 20 【解析】 （1）设 n a的公差为d，且0d 由 22 19 aa，得 1 40ad
26、， 由 6 18S ，得 1 5 3 2 ad， 于是 1 8a ,2d 所以 n a的通项公式为 * (2)10 n an nN （2）由（1）得 (1) 8( 2) 2 n n n Sn 2 9nn 2 981 () 24 n 因为 * nN， 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 13 所以当4n或5n时, n S有最大值为 20 20 （2020 届山东省济宁市高三 3 月月考）已知数列 n a为公差不为 0 的等差数列，且 139 aaa、 、成等比 数列， 24 6aa. （1）求数列 n a的通项 n a； （2）设 21 cos
27、3 n nn a ba ，求数列 n b的前 2020 项的和 2020 S. 【答案】 （1）= n an； （2） 2020 2021 2 S . 【解析】 （1）设等差数列 n a的公差为0d d ， 由 2 319 24 6 aa a aa 得： 2 111 11 28 36 ada ad adad 解得 1 1 1 a d 所以数列 n a的通项 1 1 n aandn； （2）由（1）知 2121 coscos 33 n nn an ban 数列 n b的最小正周期为3T ， 32313kkk bbb 2 3212 3112 31 32 cos31 cos3cos 333 kkk
28、kkk * 3133 32N 222 kk kk 数列 n b的前 2020 项的和 2020122020 Sbbb 1234562017201820192020 bbbbbbbbbb 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 14 2 2020 13 6732020cos 23 20192021 2020 22 21（2020届山东省菏泽一中高三 2月月考） 设数列 n a的前 n项和为 n S,已知 1 1a , 1 21 nn SS ,n N. (1)证明:1 n S 为等比数列,求出 n a的通项公式; (2)若 n n n b a ,求 n
29、 b的前 n 项和 n T,并判断是否存在正整数 n 使得 1 250 n n Tn 成立?若存在求出所有 n 值;若不存在说明理由. 【答案】(1)证明见解析, 1 2n n a - =;(2)不存在,理由见解析. 【解析】 (1) 1 21 nn SS 1 121 nn SS ， * nN 因为 11 1aS，所以可推出10 n S 故 1 1 2 1 n n S S ，即1 n S 为等比数列 1 12S ，公比为 2 12n n S ，即21 n n S ， 1 1 21 n n S ，当2n时， 1 1 2n nnn aSS ， 1 1a 也满足此式， 1 2n n a - =； (
30、2) 因为 1 2 n n n nn b a ， 011 12 222 n n n T 12 112 2222 n n n T ，两式相减得: 011 11112 2 222222 n nnn nn T 即 1 2 4 2 n n n T ，代入 1 250 n n Tn ，得2 260 n n 令( )226 x f xx(1x )， 2 ln2 10 x fx 在1,x成立， 226 x f xx ，1,x为增函数， 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 15 而 540ff，所以不存在正整数 n 使得 1 250 n n Tn 成立 22
31、（2020 届山东省潍坊市高三模拟一）已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 3 4a ， 6 27S . （1）求 n a的通项公式； （2）设2 n a n b ，记 n T为数列 n b的前 n 项和.若124 m T ，求 m. 【答案】 （1）1 n an（2）5m. 【解析】 （1）设数列 n a的首项为 1 a，公差为 d， 由已知得 1 1 24 61527 ad ad 解得 1 2 1 a d ， 所以 1 11 n aandn. （2）由（1）可得 1 2n n b ， n b是首项为 4，公比为 2 的等比数列， 则 4 1 2 4 21 1 2 n n n T
32、. 由124 m T ，得4 21124 m ， 解得5m. 23 （2020 届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列an的首项为 a11，且 * 1 2(1)() nn aanN . （）证明：数列an+2是等比数列，并求数列an的通项公式； （）设 bnlog2（an+2）log23，求数列 3 2 n n b a 的前 n 项和 n T. 【答案】(1) 1 3 22 n n anN ;(2) 1 1 2 2 n n n T . 【解析】 （） ， 11 21 ,222 nnnn aaaa ， 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 16 则数列
33、2 n a 是以 3 为首项，以 2 为公比的等比数列， 1 23 2n n a ，即 1* 3 22 n n anN . （）由（）知， 1 222 log2log 3log 21 n nn ban ， 1 31 22 n n n bn a . 01221 01221 22222 n nn nn T ， 1231 101221 222222 n nn nn T ， 13n 1 11 1111111 22 1 1 2222222 1 2 n n nnn nnn T ， 则 1 1 2 2 n n n T . 24 （2020 届山东省六地市部分学校高三 3 月线考）数列 n a满足： 123
34、aaaL 1 31 2 n n a （1）求 n a的通项公式； （2）若数列 n b满足3 n n a b n a ，求 n b的前n项和 n T. 【答案】 （1） 1 3 n n a; （2） 1 321 1 ()( ) 443 n n n T - + =-. 【解析】 （1）令 123 Sn n aaaa=+ 1n 时， 1 1a 2n时， 1 1 3n nnn aSS - - =-=， 1 1a 满足 所以 1 3 n n a； （2）由3 n n a b n a ， 1 1 (1)( ) 3 n n bn - =- 12nn Tbbb=+= 2 11 2( ) 33 +? 1 1
35、(1)( ) 3 n n - - 23 111 ( )2( ) 333 n T =+? 1 1 (2)( ) 3 n n - +- 1 (1)( ) 3 n n+- 得 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 17 2 211 ( ) 333 n T =+ 1 11 ( )(1)( ) 33 nn n - - 1 11 1( ) 2 33 1 3 1( ) 3 n n T - - = - 1 (1)( ) 3 n n- 1 321 1 ()( ) 443 n n n T - + =- 25 （2020 届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知函数(
36、)logkf xx（k 为常数，0k 且1k ） （1）在下列条件中选择一个_使数列 n a是等比数列，说明理由； 数列 n f a是首项为 2，公比为 2 的等比数列； 数列 n f a是首项为 4，公差为 2 的等差数列； 数列 n f a是首项为 2，公差为 2 的等差数列的前 n 项和构成的数列 （2）在（1）的条件下，当 2k 时，设 1 2 2 41 n nn a b n ，求数列 n b的前 n 项和 n T. 【答案】 （1），理由见解析； （2） 21 n n T n 【解析】 （1）不能使 n a成等比数列.可以：由题意4(1) 222 n f ann ， 即log22 k
37、n an，得 22n n ak ，且 4 1 0ak， 2(1) 2 2 1 22 n n n n ak k ak . 常数0k 且1k ， 2 k为非零常数， 数列 n a是以 4 k为首项， 2 k为公比的等比数列 （2）由（1）知 1 4222 n k n akkk ，所以当 2k 时， 1 2n n a . 因为 1 2 2 41 n nn a b n ， 所以 2 1 41 n b n ，所以 1111 (21)(21)2 2121 n b nnnn ， 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 18 12 111111 L1L 23352
38、121 nn Tbbb nn 11 1 22121 n nn . 26 （2020 届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在 3252 56aaab，； 2343 23baab，； 3452 98Saab，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答 已知等差数列 n a的公差为1d d ，前 n 项和为 n S，等比数列 n b的公比为 q，且 11 abdq， _ （1）求数列 n a， n b的通项公式 （2）记 n n n a c b ，求数列 n c，的前 n 项和 n T注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】 （1）见解析（2）见解析 【解析】 方案一：选条件 （1
39、） 325211 561aaababdqd， ， 1 11 25 256 ad ada d 解得 1 1 2 a d 或 1 25 6 5 12 a d （舍去） 1 1 2 b q 1 1 n nd 21n 11 1 2 nn n bbq - = （2） n n n a c b 1 1 211 (21)( ) 22 n n n n cn 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 19 221 1111 135(23)(21) 2222 nn n Tnn 231 111111 35(23)(21) 222222 nn n Tnn 21 11111 1
40、2(21) 22222 nn n Tn 1 11 1 22 1 12(21) 1 2 1 2 n n n 1 3(23) 2 n n 1 1 6(23) 2 n n Tn 方案二：选条件 （1） 234311 2,3 ,1baab ab dq d 1 2 11 2 253 a d ada d 1 1 2 256 a d add 解得 1 1 2 a d 或 1 1 2 a d （舍去） 1 1 2 b q 1 (1) = n aand =2n-1 11 1 2 nn n bbq - = （2） n n n a c b 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质
41、讲义库. 20 1 1 211 (21)( ) 22 n n n n cn 221 1111 135(23)(21) 2222 nn n Tnn 231 111111 35(23)(21) 222222 nn n Tnn 21 11111 12(21) 22222 nn n Tn 1 11 1 22 1 12(21) 1 2 1 2 n n n 1 3(23) 2 n n 1 1 6(23) 2 n n Tn 方案三：选条件 345211 9,8 ,1Saab ab dq d 1 11 3 278 ad ada d 解得 1 1 2 a d 或 1 21 8 3 8 a d （舍去） 1 1
42、2 b q 1 (1) n aand 21n 1 1 n n bbq 1 2n 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 21 （2） n n n a c b 1 1 211 (21) 22 n n n n cn 221 1111 135(23)(21) 2222 nn n Tnn 231 111111 35(23)(21) 222222 nn n Tnn 21 11111 12(21) 22222 nn n Tn 1 11 1 22 1 12(21) 1 2 1 2 m n n 1 3(23) 2 n n 1 1 6(23) 2 n n Tn 27
43、 （2020 山东高三下学期开学）已知数列 n a满足 123 123 252525253 n nn aaaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 1 1 nn a a 的前n项和为 n T，证明： 11 226 n T 【答案】 （1） 35 2 n n a （2）证明见解析 【解析】 （1）解： 123 123 252525253 n nn aaaa ， 当1n 时， 1 4a 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 22 当2n时， 1231 12311 252525253 n nn aaaa ， 由-，得 35 2 2 n n
44、an ， 因为 1 4a 符合上式，所以 35 2 n n a （2）证明： 1 14411 35383 3538 nn a annnn 12231 111 n nn T a aa aa a 4111111 381111143538nn 411 3838n 因为 11 0 3811n ，所以 11 226 n T 28 （2020 届山东省淄博市高三二模）已知数列 n a满足 1 3 2 a ，且 1 1 1 2, 22 n n n a ann N. （1）求证：数列2 n n a 是等差数列，并求出数列 n a的通项公式； （2）求数列 n a的前n项和 n S. 【答案】 （1）证明见解析
45、， 21 2 n n n a ； （2） 25 5 2 n n n S . 【解析】 （1）因为 1 1 1 2, 22 n n n a ann N，所以 1 1 222 n n n na a ，即 1 1 222 nn nn aa ， 所以数列2 n n a 是等差数列，且公差2d ，其首项 1 23a 所以23(1)221 n n ann，解得 21 2 n n n a ； （2） 231 3572121 22222 n nn nn S ， 4231 3572121 222222 n nn Snn ， 获取 资料请加 QQ 群 52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库. 23 ，得 2311 1 11 21 31112132142 2 1 22222222 1 2 n nn n n Snn 1
