1、反比例函数全章复习与巩固反比例函数全章复习与巩固（基础）（基础） 【学习目标】【学习目标】 1使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析 式0 k yk x ，能判断一个给定函数是否为反比例函数； 2能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式； 3能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数0 k yk x 的性质，能利用这些性质分 析和解决一些简单的实际问题. 【知识网络】【知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、反比例函数的概念要点一、反比例函数的概念 一般地，形如 k y x (k为常数，0k )的函数称为反比例函数，其中x是自变量
2、，y 是函数，自变量x的取值范围是不等于 0 的一切实数. 要点诠释：要点诠释：在 k y x 中，自变量x的取值范围是， k y x ()可以写成 ()的形式，也可以写成的形式. 要点二、反比例函数解析式的确定要点二、反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数 k y x 中，只有一个待定 系数k，因此只需要知道一对xy、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值， 从而确定其解析式. 要点三、反比例函数的图象和性质要点三、反比例函数的图象和性质 1.1.反比例函数的图象反比例函数的图象 反比例函数0 k yk x 的图象是双曲线，它有两个分支，这两个
3、分支分别位于第一、 三象限或第二、四象限它们关于原点对称，反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点， 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交 要点诠释：要点诠释： 观察反比例函数的图象可得：x和y的值都不能为 0， 并且图象既是轴对 称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点 )0(k x k y的图象是轴对称图形，对称轴为xyxy 和两条直线； )0(k x k y的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0） ； x k y x k y和(k0)在同一坐标系中的图象关于x轴对称，也关于y轴对称. 注：正比例函数xky 1 与反比例函数 x k y 2 ， 当
4、0 21 kk时，两图象没有交点；当0 21 kk时，两图象必有两个交点，且这两 个交点关于原点成中心对称. 2.2.反比例函数的性质反比例函数的性质 （1）图象位置与反比例函数性质 当0k 时，x y、 同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减 小；当0k 时，x y、 异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增 大. （2）若点(ab，)在反比例函数 k y x 的图象上，则点（ab，）也在此图象上，故反比 例函数的图象关于原点对称. （3）正比例函数与反比例函数的性质比较 正比例函数 反比例函数 解析式 图 像 直线 有两个分支组成的曲线（双曲线） 位
5、置 0k ，一、三象限； 0k ，二、四象限 0k ，一、三象限 0k ，二、四象限 增减性 0k ，y随x的增大而增大 0k ，在每个象限，y随x的增大而减小 0k ，y随x的增大而减小 0k ，在每个象限，y随x的增大而增大 （4）反比例函数 y中k的意义 过双曲线 x k y (k0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为k. 过双曲线 x k y (k0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的 面积为 2 k . 要要点点四、四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点 1反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例
6、函数知识解决实际问题时，要注 意将实际问题转化为数学问题. 2列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、确定反确定反比例函数的解析式比例函数的解析式 1、已知函数 3 2 k ykx 是反比例函数，则k的值为 . 【答案【答案】2k 【解析解析】根据反比例函数概念，3k 1且20k ，可确定k的值. 【总结升华总结升华】反比例函数要满足以下两点：一个是自变量的次数是1，另一个是自变量的 系数不等于 0. 举一反三：举一反三： 【变式】反比例函数 5n y x 图象经过点（2，3） ，则n的值是（ ）. A. 2 B. 1 C. 0 D. 1 【答案】
7、【答案】D； 反比例函数 5n y x 过点（2，3） 5 3,1 2 n n 类型二、反比例函数的图象及性质类型二、反比例函数的图象及性质 2、已知，反比例函数 42m y x 的图象在每个分支中y随x的增大而减小，试求 21m的取值范围 【思路点拨】【思路点拨】由反比例函数性质知，当k0 时，在每个象限内y随x的增大而减小，由此 可求出m的取值范围，进一步可求出21m的取值范围 【答案【答案与解析与解析】 解：由题意得：420m，解得2m， 所以24m，则21m3 【总结升华总结升华】熟记并能灵活运用反比例函数的性质是解答本题的关键 举一反三：举一反三： 【变式】 已知反比例函数 2k y
8、 x ， 其图象位于第一、 第三象限内， 则k的值可为_ （写出满足条件的一个k的值即可） 【答案】【答案】3（满足k2 即可）. 3、在函数 |k y x （0k ，k为常数）的图象上有三点(3， 1 y)、(2， 2 y)、 (4， 3 y)，则函数值的大小关系是（ ） A 123 yyy B 321 yyy C 231 yyy D 312 yyy 【答案【答案】D； 【解析【解析】 |k|0， |k|0，反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一个象限里， y随x增大而增大，(3， 1 y)、(2， 2 y)在第二象限，(4， 3 y)在第四象限， 它们 的大小关系是： 312 yyy 【
9、总结升华总结升华】根据反比例函数的性质，比较函数值的大小时，要注意相应点所在的象限，不 能一概而论，本题的点(3， 1 y)、(2， 2 y)在双曲线的第二象限的分支上，因为32， 所以 12 yy，点(4， 3 y)在第四象限，其函数值小于其他两个函数值 举一反三：举一反三： 【变式 1】在同一坐标系中，函数 y= 和 y=kx+3（k0）的图象大致是（ ）. A. B. C. D. 【答案】【答案】C； 提示：分两种情况讨论： 当 k0 时，y=kx+3 与 y 轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y= 的图象在第一、三 象限； 当 k0 时，y=kx+3 与 y 轴的交点在正半轴，过一、
10、二、四象限，y= 的图象在第二、四 象限故选 C 【变式 2】已知ba,且, 0, 0, 0baba则函数baxy与 x ba y 在同一坐标 系中的图象不可能是( ) . 【答案】【答案】B ； 提示：因为从 B 的图像上分析，对于直线来说是0,0ab ，则0ab，对于反比例函数 来说，0ab，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形. 4、如图所示，P 是反比例函数 k y x 图象上一点，若图中阴影部分的面积是 2，求此 反比例函数的关系式 【思路点拨】【思路点拨】 要求函数关系式， 必须先求出k的值， P 点既在函数的图象上又是矩形的顶点， 也就是说，P 点的横、纵坐标的绝对值是矩形
11、的边长 【答案【答案与解析与解析】 解：设 P 点的坐标为(x，y)，由图可知，P 点在第二象限， x0，y0 图中阴影部分矩形的长、宽分别为x、y 矩形的面积为 2， xy2， xy2 xyk， k2 此反比例函数的关系式是 2 y x 【总结升华总结升华】此类题目，要充分利用过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线所得矩形面积 为|k|这一条件，进行坐标、线段、面积间的转换 举一反三：举一反三： 【变式】如图，过反比例函数)(0 x x 2 y的图象上任意两点 A、B，分别作x轴的垂线， 垂足为 BA、，连接 OA，OB， AA与 OB 的交点为 P，记AOP 与梯形BBPA 的面积分别 为
12、21 SS、，试比较 21 SS与的大小. 【答案】【答案】 解： AOPAOAAOP SSS ， OBA OPA PBB S B SS 梯形 且 AOA 11 21 22 AA Sx y ， OB 11 21 22 BBB Sx y 21 SS . 类型三、反比例函数与一次函数综合类型三、反比例函数与一次函数综合 5、已知反比例函数 k y x 和一次函数ymxn的图象的一个交点坐标是(3，4)， 且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为 5，分别确定反比例函数和一次函数的表达 式 【思路点拨】【思路点拨】因为点(3，4)是反比例函数 k y x 与一次函数ymxn的图象的一个交 点，所以
13、把(3，4)代入 k y x 中即可求出反比例函数的表达式欲求一次函数ymxn 的表达式，有两个待定未知数mn，已知一个点(3，4)，只需再求一个一次函数图象上 的点即可由已知一次函数图象与x轴的交点到原点的距离是 5，则这个交点坐标为(5， 0)或(5，0)，分类讨论即可求得一次函数的解析式 【答案【答案与解析与解析】 解：因为函数 k y x 的图象经过点(3，4)， 所以4 3 k ，所以k12 所以反比例函数的表达式是 12 y x 由题意可知，一次函数ymxn的图象与x轴的交点坐标为(5，0)或(5，0)，则 分两种情况讨论： 当直线ymxn经过点(3，4)和(5，0)时， 有 43
14、, 05, mn mn 解得 1 , 2 5 . 2 m n 所以 15 22 yx 当直线ymxn经过点(3，4)和(5，0)时， 有 43, 05, mn mn 解得 2, 10. m n 所以210yx 所以所求反比例函数的表达式为 12 y x ，一次函数的表达式为 15 22 yx 或 210yx 【总结升华总结升华】本题考查待定系数法求函数解析式，解答本题时要注意分两种情况讨论，不能 漏解 举一反三：举一反三： 【变式】如图所示，A、B 两点在函数(0) m yx x 的图象上 （1）求m的值及直线 AB 的解析式； （2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点请直
15、接写出图中 阴影部分（不包括边界）所含格点的个数 【答案】【答案】 解： （1）由图象可知，函数(0) m yx x 的图象经过点 A(1，6)，可得m6 设直线 AB 的解析式为ykxb A(1，6)，B(6，1)两点在函数ykxb的图象上， 6, 61, kb kb 解得 1, 7. k b 直线 AB 的解析式为7yx （2）题图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是 3 类型四、反比例类型四、反比例函数应用函数应用 6、一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度 v（千米/小时）与所用时间 t（小时）的 函数关系如图所示，其中 60v120 （1）直接写出 v 与 t 的函数关系式； （2
16、）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶 20 千米，3 小时 后两车相遇 求两车的平均速度； 甲、乙两地间有两个加油站 A、B，它们相距 200 千米，当客车进入 B 加油站时，货车 恰好进入 A 加油站（两车加油的时间忽略不计） ，求甲地与 B 加油站的距离 【答案【答案与解析与解析】 解： （1）设函数关系式为 v= ， t=5，v=120， k=1205=600， v 与 t 的函数关系式为 v=（5t10） ； （2）依题意，得 3（v+v20）=600， 解得 v=110， 经检验，v=110 符合题意 当 v=110 时，v20=90 答：客车和货车的平均速度分别为 110 千米/小时和 90 千米/小时； 当 A 加油站在甲地和 B 加油站之间时， 110t（60090t）=200， 解得 t=4，此时 110t=1104=440； 当 B 加油站在甲地和 A 加油站之间时， 110t+200+90t=600， 解得 t=2，此时 110t=1102=220 答：甲地与 B 加油站的距离为 220 或 440 千米 【总结升华总结升华】 解决反比例函数与实际问题相结合的问题， 要理解问题的实际意义及与之相关 的数学知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具.
