1、 散射过程实际上是由于空间小区域中的相互作用导散射过程实际上是由于空间小区域中的相互作用导致的粒子从一个自由态到另一自由态的跃迁。但是，这种致的粒子从一个自由态到另一自由态的跃迁。但是，这种跃迁的初末态能量是相同的，并且组成连续谱。本讲主要跃迁的初末态能量是相同的，并且组成连续谱。本讲主要讨论的仍属于跃迁概率问题，而中心问题是散射截面。散讨论的仍属于跃迁概率问题，而中心问题是散射截面。散射截面的计算，主要通过两种近似方法：分波法和玻恩近射截面的计算，主要通过两种近似方法：分波法和玻恩近似法。似法。1 散射截面散射截面 1、1 入射入射 设自由粒子流沿着设自由粒子流沿着 轴向散射中心入射。首先，
2、我轴向散射中心入射。首先，我们定义：单位时间内穿过垂直于入射方向的单位面积的入们定义：单位时间内穿过垂直于入射方向的单位面积的入射粒子数称为入射粒子流强度，记为射粒子数称为入射粒子流强度，记为 。从波动理论出。从波动理论出发，入射波取为发，入射波取为 其中其中 ，是约化质量，是约化质量，是入射粒子动量，是入射粒子动量，是入射粒子的速度是入射粒子的速度 zNikze1（1）22Ekkpkv入射波的概率流密度入射波的概率流密度 其数量大小即给出入射粒子流强度，其数量大小即给出入射粒子流强度，。由此可见，。由此可见，描述的是单位体积内只有一个入射粒子的情况。描述的是单位体积内只有一个入射粒子的情况。
3、1.2 散射散射 入射粒子流受散射中心的作用而偏离原来的运动方入射粒子流受散射中心的作用而偏离原来的运动方 向，沿着不同的散射角向，沿着不同的散射角 射出，单位时间内散射到射出，单位时间内散射到 方向上的面积元方向上的面积元 上的粒子数上的粒子数 应由下面关系应由下面关系 vkikikizziJz1*1*111*1*1122（2）vN ikze1),(),(dSdnNdrdSNdn2Ndqdn),(（3）式中式中 是比例系数，与入射粒子的能量、散射中心的是比例系数，与入射粒子的能量、散射中心的性质及粒子出射的方向性质及粒子出射的方向 有关。有关。实际上由实际上由 可以看出可以看出 （1）表明单
4、位时间内沿不同角度表明单位时间内沿不同角度 散射粒子数散射粒子数 目的多少，或散射粒子的概率的大小，所以称它为目的多少，或散射粒子的概率的大小，所以称它为 散射粒子的角分布。散射粒子的角分布。（2）从量纲看，）从量纲看，具有面积的量纲，因此又称它为具有面积的量纲，因此又称它为 方向上的微分散射截面，而把方向上的微分散射截面，而把 称为总散射面积。称为总散射面积。),(q),(dqNdn),(/),(q),(),(q),(020sin),(),(ddqdqQ（4）“截面截面”一词，可作如下解释：一词，可作如下解释：按着（按着（3）式，在入射粒子流中，每单位时间穿过与入射）式，在入射粒子流中，每单
5、位时间穿过与入射 方向垂直的方向垂直的 面积的粒子数，即为单位面积的粒子数，即为单位时间被散射到立体角时间被散射到立体角 中去的粒子数中去的粒子数 ，而单位时间，而单位时间被散射的总粒子数被散射的总粒子数 则等于单位时间穿过垂直于入射方向则等于单位时间穿过垂直于入射方向的面积的面积 的入射粒子数。因此，对于入射粒子流来说，的入射粒子数。因此，对于入射粒子流来说，散射体的作用等效于一块横截面积，凡是打在这块面积上散射体的作用等效于一块横截面积，凡是打在这块面积上的粒子，都被散射到各个方向上去。的粒子，都被散射到各个方向上去。及及 都是可由实验测定的量，需要讨论的问题是：都是可由实验测定的量，需要
6、讨论的问题是：如何从薛定谔方程的解来计算散射截面，以便与实验值相如何从薛定谔方程的解来计算散射截面，以便与实验值相比较，从而来研究粒子间相互作用的性质及其它问题。所比较，从而来研究粒子间相互作用的性质及其它问题。所以说，散射截面是散射理论的核心问题。下面讨论散射截以说，散射截面是散射理论的核心问题。下面讨论散射截面与散射粒子的波函数之间的关系。面与散射粒子的波函数之间的关系。dqdQ),(),(ddnQ),(qQ 受散射中心作用后，入射粒子将改变方向，动量不再守受散射中心作用后，入射粒子将改变方向，动量不再守恒，从而出现散射波。而实验上观测都是在远离散射中心的恒，从而出现散射波。而实验上观测都
7、是在远离散射中心的地方进行的，因此散射波应该是球面波地方进行的，因此散射波应该是球面波 其中其中 是沿是沿 方向向外传播的散射波的振幅，称为方向向外传播的散射波的振幅，称为散射振幅。由上式可得散射波的概率流密度散射振幅。由上式可得散射波的概率流密度它的数值即为单位时间内穿过它的数值即为单位时间内穿过 方向上的单位面积的方向上的单位面积的粒子数粒子数 refikr),(2（5）),(f),(rriJr2*2*22222222),(),(2frvrikrikfi（6）),(因此穿过因此穿过 面积的粒子数是面积的粒子数是 与（与（3）比较，可得）比较，可得 即散射截面可由散射波的散射振幅决定。问题又
8、转化为对即散射截面可由散射波的散射振幅决定。问题又转化为对 散射波的研究。散射波的研究。dfNdfvdSfrvdSJdnr2222),(),(),(2),(),(fq（7）dS2.分波法分波法 2.1薛定谔方程及其边界条件薛定谔方程及其边界条件 若入射粒子与散射中心之间的相互作用势能用中心力若入射粒子与散射中心之间的相互作用势能用中心力 场场 表示，并假定表示，并假定 ，则体系的薛定谔方程写，则体系的薛定谔方程写为为令令 ，且在中心力场情况下，势，且在中心力场情况下，势能只与能只与 大小有关，所以大小有关，所以)(rU0)(limrUrErU)(222（8）22222pEk)(2)(2rUrV
9、r0)(22rVk（9）如前所述，实验上观测散射粒子都是在远离散射中心的地方如前所述，实验上观测散射粒子都是在远离散射中心的地方进行，所以我们总是关注波函数在进行，所以我们总是关注波函数在 时的渐进行为。时的渐进行为。而在无穷远处，不但有平面波存在，而且有散射波存在，而在无穷远处，不但有平面波存在，而且有散射波存在，所以满足（所以满足（9）式的波函数应具有如下的渐进行为（边界条）式的波函数应具有如下的渐进行为（边界条件）件）综上所述，中心力场中的散射问题，归结为按不同的势能综上所述，中心力场中的散射问题，归结为按不同的势能函数求解薛定谔方程（函数求解薛定谔方程（9）式，并使其解得的波函数渐进行
10、）式，并使其解得的波函数渐进行为满足（为满足（10）式，这样就得到散射振幅）式，这样就得到散射振幅亦得到散射截亦得到散射截面。面。rrefeikrikzr),(21（10）2.2薛定谔方程的渐近解薛定谔方程的渐近解 对于中心力场问题，我们已知对于确定的能量对于中心力场问题，我们已知对于确定的能量 ，方程，方程 （9）的一般解可写为）的一般解可写为 若选取粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，则若选取粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，则中心力场的散射问题具有轴对称性，波函数及散射振幅都与中心力场的散射问题具有轴对称性，波函数及散射振幅都与 无关，即无关，即 ，所以有，所以有式中的式中的
11、，对应的各项称为，对应的各项称为 分波，每一个分分波，每一个分波波 都是方程（都是方程（9）的解。）的解。nEmllmlYrRr,),()(),(0m)(cos)(),(lllPrRr（11）,2,1,0l,dps)(cos)(llPrR其中勒让德多项式其中勒让德多项式 为已知，所以我们只需讨论为已知，所以我们只需讨论满足的径向方程满足的径向方程 令令 得得 满足的方程满足的方程这里，这里，的函数形式尚依赖于的函数形式尚依赖于 的具体形式，考查的具体形式，考查处的渐进形式，则上式简化为处的渐进形式，则上式简化为 )(coslP)(rRl0)()1()()(12222rRrllrVkdrrdRr
12、drdrll（12）rrurRll)()(（13）)(rul0)()1()()(2222rurllrVkdrrudll（14）)(rul)(rUr0)()(222rukdrrudll其一般解为其一般解为 因此，因此，的渐进形式是的渐进形式是为了与入射波进行方便的比较引入为了与入射波进行方便的比较引入 及及将（将（15）式代入（）式代入（11）式，得出方程的渐近解为）式，得出方程的渐近解为2.3散射波与入射波的比较散射波与入射波的比较 因为平面波因为平面波 可以按着数理方程中的展开公式展开成可以按着数理方程中的展开公式展开成一系列球面波的叠加一系列球面波的叠加)sin()(lllkrAru)(r
13、Rl)2sin()sin()(llllrllkrkrAkrrArR（15）llAkAlll21llllrPlkrkrAr)(cos)2sin(),(（16）ikzellllikrikzPkrjilee)(cos)()12(cos式中球贝塞耳函数式中球贝塞耳函数 的渐近式为的渐近式为 所以入射波的渐近式为所以入射波的渐近式为（17）式与（）式与（16）式比较可以看出，入射波被散射后，第）式比较可以看出，入射波被散射后，第 个分波个分波 变成了变成了 ，角度部分角度部分 保持不变，径向部分多了一个相角保持不变，径向部分多了一个相角 ，相角相角 称为第称为第 分波的相移。分波的相移。)(krjl)2
14、sin(1)(2)(21lkrkrkrJkrkrjrlllllrikzPlkrkrile)(cos)2sin()12(（17）)(cos)2sin(lPlkr)(cos)2sin(llPlkr)(coslPllll入射波展开后，散射波函数的边界条件变为入射波展开后，散射波函数的边界条件变为 2.4 散射截面散射截面 薛定谔方程的渐近解（薛定谔方程的渐近解（16）式一定满足波函数的边界条）式一定满足波函数的边界条件（件（18）式，即）式，即 ikrlllrerfPlkrkrilr)()(cos)2sin()12(),(（18）0)(cos)2sin(llllPlkrkrAikrlllerfPlk
15、rkril)()(cos)2sin()12(0（19）由此可解出散射振幅（详细推导见教材）由此可解出散射振幅（详细推导见教材）微分散射截面的表达式为微分散射截面的表达式为由此可以看出：求散射振幅由此可以看出：求散射振幅 的问题归结为求相移的问题归结为求相移 ，而，而 的获得需要根据的获得需要根据 的具体情况解径向方程求的具体情况解径向方程求 ，然，然后取其渐近解，并写成后取其渐近解，并写成 02)(cos)1)(12(21)(lliPelkifl0sin)(cos)12(1llillePlk（20）2022sin)(cos)12(1)()(llillePlkfq（21）)(fll)(rU)(r
16、Rl)2sin(1)(lrllkrkrrR即可得到第即可得到第 个分波的相移个分波的相移 。由于每个分波都将产生相。由于每个分波都将产生相移，所以，必须寻找各个分波的相移来计算散射截面，这种移，所以，必须寻找各个分波的相移来计算散射截面，这种方法叫作分波法。方法叫作分波法。最后，利用勒让德函数的正交性，可得出总散射截面为最后，利用勒让德函数的正交性，可得出总散射截面为 可以证明可以证明 （光学定理）（光学定理）ll0022sin)12(4llllQlkQlllkQ22sin)12(4（22）（23）)0(Im4fkQ（24）2.5分波法的适用范围分波法的适用范围 分波法求散射截面是一个无穷级数
17、的问题，从原则上讲，分波法求散射截面是一个无穷级数的问题，从原则上讲，分波法是求解散射问题的普遍方法。但实际上，顺次计算分波法是求解散射问题的普遍方法。但实际上，顺次计算级数中的各项是相当复杂的，有时也是不可能的。所以只级数中的各项是相当复杂的，有时也是不可能的。所以只能在一定条件下计算级数中的前几项，达到一定的精确度能在一定条件下计算级数中的前几项，达到一定的精确度即可。即可。分波法适用的条件写成分波法适用的条件写成 ，而，而 的分波不必的分波不必考考 虑，虑，愈小，则需计算的项数愈少，当愈小，则需计算的项数愈少，当 时，时，只需计算一个相移只需计算一个相移 就足够了。就足够了。足够小意味着
18、入射粒足够小意味着入射粒子的动能较低，所以分波法适用于低能散射。子的动能较低，所以分波法适用于低能散射。kal kal ka1ka0l0ka由径向方程由径向方程 相移相移 散射振幅散射振幅 散射截面散射截面 )(fl)(rRl)(q例一例一 求粒子受势能求粒子受势能 散射的微分散射截面。散射的微分散射截面。解：解：把把 代入径向方程，得代入径向方程，得 令令 ，得，得 的方程为的方程为式中式中 ，这是一个贝塞耳方程，其解为，这是一个贝塞耳方程，其解为考虑到考虑到 时波函数应为有限值，则时波函数应为有限值，则 ，故，故2/)(rarU2/)(rarU0)()1(2)(1222222rRrllra
19、kdrrdRrdrdrllrruRll)()(rul0)(122222lllurpkdrdurdrud2222)21(alp)()()(krBNkrAJruPPl0r0B)()(krJrArruRPll考虑到考虑到 的渐近行为的渐近行为 故有故有与与 相比较，得相比较，得当当 很小时，上式展开并略去高次项得很小时，上式展开并略去高次项得)(krJP)42sin(2)(pkrkrkrJrP)42sin(1)(pkrrrRrl)2sin(1llkrrllp242)21(2)21(224222lallpla2/1/22lal将结果代入将结果代入 ，并考虑到，并考虑到 ，所以，所以 （1）对）对 分波
20、，分波，所以所以)(fliiel21202)(cos)1)(12(21)(lliPelkifl02)(cos2/1/2)12(1llPlalkllPka)(cos2s0l1)(cos0P2)(kaf22)(kaq（2）一般情况，利用勒让德函数的母函数，可得）一般情况，利用勒让德函数的母函数，可得 所以所以 llP)2/sin(21)(cos)2/sin(21)(2kaf22)2/sin(2)(kaq3 玻恩近似玻恩近似 如果入射粒子的动能比粒子与散射中心的相互作用势能如果入射粒子的动能比粒子与散射中心的相互作用势能大得多，以致势能大得多，以致势能 可以看作是微扰时，体系的哈密顿可以看作是微扰时
21、，体系的哈密顿算符可以写成算符可以写成 式中式中 是自由粒子的哈密顿算符。从微扰角度出发，粒子是自由粒子的哈密顿算符。从微扰角度出发，粒子的散射相当于在常微扰的散射相当于在常微扰 的作用下，从动量的作用下，从动量 的初态跃的初态跃迁到动量为迁到动量为 的末态，在弹性散射情况下，的末态，在弹性散射情况下，即弹性散射只改变粒子的运动方向，不改变其动量的大小。即弹性散射只改变粒子的运动方向，不改变其动量的大小。)(rUHHrUPH)(202（25）0H)(rUkk 222kkk（26）由常微扰跃迁概率公式由常微扰跃迁概率公式 式中式中 是微扰矩阵元，是微扰矩阵元，是动量大小为是动量大小为 ，在，在
22、方向方向上立体角上立体角 内的末态的态密度。上式在数量上即表示单位内的末态的态密度。上式在数量上即表示单位时间内跃迁到立体角时间内跃迁到立体角 内的粒子数内的粒子数 ，由（，由（3）式）式 比较后可得微分散射截面比较后可得微分散射截面式中的微扰矩阵元式中的微扰矩阵元 ，入射粒子流强度，入射粒子流强度 及态密度及态密度的具体表达形式取决于体系的初态与末态的具体情况。我们的具体表达形式取决于体系的初态与末态的具体情况。我们这里的初末态是具有确定动量这里的初末态是具有确定动量 和和 的自由粒子，设其的自由粒子，设其波函数分别为波函数分别为)(22mHwkkkkH)(mkdddnNdqdn)(NdmH
23、qkk)(2)(2（27）kkHN)(mkk rpipeV1rpipeV 1式中式中 为归一化体积，为归一化体积，表示单位体积内具有确定动量表示单位体积内具有确定动量的粒子数（即状态数），所以入射粒子流强度的粒子数（即状态数），所以入射粒子流强度微扰矩阵元为微扰矩阵元为而在动量表象的波函数而在动量表象的波函数VV/1VvN（28a）derUVdrUHrppikkkk)(*)(1)(（28b）deVdrrprppipp)(*1)()()(pVpVppV333)2()2()()2(可见在动量空间中具有确定动量可见在动量空间中具有确定动量 的状态数变为的状态数变为 个，于是在个，于是在 范围内的状态
24、数应为范围内的状态数应为 ，用球坐标，用球坐标表示表示即沿即沿 方向的立体角方向的立体角 内的末状态密度内的末状态密度而而 ，代入上式得代入上式得 p3)2(VpdpdV3)2(dpdpVdddppV2323)2(sin)2(ddpdpVdm23)2()(22pvdppdpdvdVpm32)2()(（28c）将（将（28a），（），（28b），（），（28c）代入（）代入（27)式，得式，得式中绝对值号内留有负号是因为用格林函数法算出的散射振式中绝对值号内留有负号是因为用格林函数法算出的散射振幅幅 有一负号，引进矢量有一负号，引进矢量若入射波矢与散射波矢间的夹角（即散射角）为若入射波矢与散射波
25、矢间的夹角（即散射角）为 ，则，则 的数值为的数值为20)(422)(4)(derUvpqrppi20)(422)(4derUrppi（29）)(fkkK（30）K2sin2)cos1(22222kkkkkkK（31）我们取我们取 的方向为球坐标的极轴方向，的方向为球坐标的极轴方向，为方位角，为方位角，则可简化积分为则可简化积分为 因而散射截面为因而散射截面为上式即为玻恩近似表达式。若势能已知，计算积分后即可求上式即为玻恩近似表达式。若势能已知，计算积分后即可求出微分散射截面。出微分散射截面。K,0020cos2sin)()(ddedrrrUderUikrrKi0)sin()(4drKrrrU
26、K20422)sin()(4)(drKrrrUKq（32）所以应用玻恩近似法计算微分散射截面时，主要难点在于给所以应用玻恩近似法计算微分散射截面时，主要难点在于给出出 的具体形式后，如何计算积分的具体形式后，如何计算积分 ，下面，下面给出几种常见的较复杂的作用势能及对应的积分公式给出几种常见的较复杂的作用势能及对应的积分公式)(rU0)sin()(drKrrrU02002220040022202)sin(1)sin(2)cos()(2)sin()(222222drrKrrUKaKdrKrereUaedrKreeUKaaKdrKrreeUrUararaKraraarar式中式中0a玻恩近似法只适
27、用于粒子的高能散射，这里不作过多讨论，玻恩近似法只适用于粒子的高能散射，这里不作过多讨论，它与分波法（适用于粒子的低能散射）相互补充，作为散射它与分波法（适用于粒子的低能散射）相互补充，作为散射问题的两种主要近似方法。问题的两种主要近似方法。例一例一 计算高速带电粒子被中性原子内部的屏蔽库仑场计算高速带电粒子被中性原子内部的屏蔽库仑场 所散射的散射截面。所散射的散射截面。解：高速带电粒子属高能粒子，故解：高速带电粒子属高能粒子，故 arsereZZrU/2)(4242224)(KeZZqs20/)sin(drKrear224242222224242221114)/1(4aKKeZZaKKKeZ
28、Zss 若若 ，即入射粒子能量较高，散射角较，即入射粒子能量较高，散射角较大，这时散射在原子核附近发生，即入射粒子深入到原子内大，这时散射在原子核附近发生，即入射粒子深入到原子内部，核外电子不起屏蔽作用，微分散射截面为部，核外电子不起屏蔽作用，微分散射截面为 卢瑟福卢瑟福(Rutherfoed)散射公式散射公式 12sin2kaKa2csc44)(442422424222veZZKeZZqss例二例二 用玻恩近似法求粒子在势能场用玻恩近似法求粒子在势能场 中散射时的散射截面。中散射时的散射截面。解：解：由由 得得 式中式中 220)(raeUrU20422)sin()(4)(drKrrrUKq204220222)sin(4)(dreKrrKUqra222222224340042)cos()sin(aKaKraraeaKaeKdrKreKdreKrr于是于是 微分散射截面为微分散射截面为 2222264202262242202444)(aKaKeaUeaKKUq 总散射截面总散射截面0sin)(2),(dqdqQdeaUaK222064202sin42deaUak2222/2sin40642022sin2)1(2)(cos22222/22442022)1(cos0642022akaKekaUdeaU
