1、 2019 年年 1 月广东省普通高中学业水平考试数学试卷月广东省普通高中学业水平考试数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 15 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A=0,2,4,B=-2,0,2,则 AB=( ) A.0,2 B.-2,4 C.0,2 D.-2,0,2,4 1.D 【解析】由并集的定义，可得 AB=-2,0,2,4.故选 D. 2.设 i 为虚数单位,则复数 i(3+i)=( ) A.1+3i B.-1+3i C.1-
2、3i D.-1-3i 2.B 【解析】i(3+i)=3i+i2=3i-1.故选 B. 3.函数 y=log3(x+2)的定义域为( ) A.(-2,+) B.(2,+) C.-2,+) D.2,+) 3.A 【解析】要使 y=log3(x+2)有意义，则 x+20，解得 x-2，即定义域为(-2,+).故选 A. 4.已知向量 a=(2,-2),b=(2,-1),则|a+b|=( ) A.1 B. 5 C.5 D.25 4.C 【解析】由 a=(2,-2),b=(2,-1),可得 a+b=(4,-3),则|a+b|= 42+(-3)2=5.故选 C. 5.直线 3x+2y-6=0 的斜率是(
3、) A.3 2 B.-3 2 C.2 3 D.-2 3 5.B 【解析】直线 3x+2y-6=0，可化为 y=-3 2x+3，故斜率为- 3 2.故选 B. 6.不等式 x2-90 的解集为( ) A.x|x-3 B.x|x3 C.x|x3 D.x|-3x3 6.D 【解析】由 x2-90，可得 x29，的-3x0，则 a 3 a2 =( ) A.a 1 2 B.a 3 2 C.a 2 3 D.a 1 3 7.D 【解析】3a2=a 2 3，则 a 3 a2 = a a 2 3 =a1- 2 3=a 1 3.故选 D. 8.某地区连续六天的最低气温(单位:)为:9,8,7,6,5,7,则该六天
4、最低气温的平均数和方差分别 为( ) A.7 和5 3 B.8 和8 3 C.7 和 1 D.8 和2 3 8.A 【解析】平均数-x=1 6 (9+8+7+6+5+7)=7,方差 s 2=1 6(9-7) 2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(7- 7)2=5 3.故选 A. 9.如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,BD1=2，则 AA1=( ) D1 C1 B1 A1 D C B A A.1 B. 2 C.2 D. 3 9.B 【解析】在长方体中，BD12=AB2+AD2+AA12，则 22=12+12+AA12，解得 AA1= 2.故选 B
5、. 10.命题“xR，sinx+10”的否定是( ) A.x0R，sinx0+10 B.xR，sinx+10 C.x0R，sinx0+10 D.xR，sinx+10 10.A 【解析】全称命题的否定是把全称量词改为存在量词，并否定结论，则原命题的否定 为“x0R，sinx0+13 时， an0,bn=|an|=an=2n-6， 即b4=2,b5=4， b6=6,b7=8.所以数列bn的前7项和为4+2+0+2+4+6+8=26. 故选 C. 15.已知椭圆x 2 a2+ y2 b2=1(ab0)的长轴为 A1A2，P 为椭圆的下顶点，设直线 PA1,PA2的斜率分别 为 k1，k2，且 k1
6、k2=-1 2，则该椭圆的离心率为( ) A. 3 2 B. 2 2 C.1 2 D.1 4 15.B 【解析】由题意得 A1(-a,0),A2(a,0),P(0,-b)，则 k1=-b a,k2= b a，则 k1 k2=- b2 a2=- 1 2，即 a 2=2b2， 所以 c2=a2-b2=b2，离心率 e=c a= c2 a2= b2 2b2= 2 2 .故选 B. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 16 分分. 16.已知角 的顶点与坐标原点重合，终边经过点 P(4,-3)，则 cos=_. 16.4 5 【解析】由题意得
7、x=4,y=-3，r= x 2+y2= 42+(-3)2=5,cos=x r= 4 5. 17.在等比数列an中，a1=1，a2=2，则 a4=_. 17.8 【解析】设等比数列an的公比为 q,由题意得 q=a2 a1=2，则 a4=a1q 3=1 23=8. 18.袋中装有五个除颜色外完全相同的球，其中 2 个白球，3 个黑球，从中任取两球，则取出 的两球颜色相同的概率是_. 18.2 5 【解析】记 2 个白球分别为白 1,白2,3 个黑球分别为黑1，黑2，黑3，从这 5 个球中任 取两球，所有的取法有白1，白2，白1，黑1，白1，黑2，白1，黑3，白2，黑1， 白2，黑2，白2，黑3，
8、黑1，黑2，黑1，黑3，黑2，黑3，共 10 种.其中取出的 两球颜色相同取法的有 4 种，所以所求概率为 p= 4 10= 2 5. 19.已知函数 f(x)是定义在(-，+)上的奇函数，当 x0,+)时，f(x)=x2-4x，则当 x(-， 0)时，f(x)=_. 19.-x2-4x 【解析】 当 x(-，0)时，-x(0,+),由奇函数可得 f(x)=-f(-x)=-(-x)2-4(-x)=-x2-4x. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 12 分，满分分，满分 24 分分.解答须写出文字说明、证明过程解答须写出文字说明、证明过程 和演算步骤和演算步
9、骤. 20.ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 cosA=3 5，bc=5. (1)求ABC 的面积； (2)若 b+c=6,求 a 的值. 20.【解析】(1)A 是ABC 的内角，即 A(0,)，cosA=3 5，sinA= 1-cos 2A=4 5. 又 bc=5，S ABC =1 2bcsinA= 1 2 5 4 5=2. (2)由 cosA=b 2+c2-a2 2bc =3 5,bc=5，可得 b 2+c2-a2=6. 由 bc=5,b+c=6,可得 b2+c2=(b+c)2-2bc=26. 26-a2=6，解得 a=2 5. 21.如图，三棱锥 P-ABC
10、中，PAPB,PBPC,PCPA,PA=PB=PC=2，E 是 AC 的中点，点 F 在线段 PC 上. (1)求证：PBAC; (2)若 PA平面 BEF,求四棱锥 B-APFE 的体积. (参考公式：锥体的体积公式 V=1 3Sh，其中 S 是底面积，h 是高.) F E C B A P 21.【解析】(1)PAPB,PBPC,PA平面 PAC,PC平面 PAC,PAPC=P，PB平面 PAC. 又 AC平面 PAC，PBAC. (2)PA平面 BEF,PA平面 PAC,平面 BEF平面 PAC=EF，PAEF. 又 E 为 AC 的中点，F 为 PC 的中点. S四边形APFE=S PAC -S FEC =3 4S PAC . PCPA,PA=PC=2，S PAC =1 2 2 2=2. S四边形APFE=3 2. 由(1)得 PB平面 PAC, PB=2 是四棱锥 B-APFE 的高. V四棱锥B-APFE=1 3S 四边形APFE PB=1 3 3 2 2=1.
