1、高三数学试题第 1 页（共 21 页） 南京市南京市 2021 届高三年级学情调研届高三年级学情调研 数数 学学 2020.09 注意事项：注意事项： 1本试卷共 6 页，包括单项选择题（第 1 题第 8 题） 、多项选择题（第 9 题第 12 题） 、 填空题（第 13 题第 16 题） 、解答题（第 17 题第 22 题）四部分本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟 2答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置 3作答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信 息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答
2、在试卷上 4 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内， 在其他位置作答一律无效 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上 1已知集合 Ax|x2x20，Bx|1x3 ，则 AB Ax|1x3 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|2x3 2已知(34i)z1i，其中 i 为虚数单位，则在复平面内 z 对应的点位于 A第一象限 B
3、第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知向量 a，b 满足|a|1，|b|2，且|ab| 3，则 a 与 b 的夹角为 A 6 B 3 C 5 6 D2 3 4在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(4 3，0)到双曲线 C：x 2 a2 y2 91 的一条渐近线的距离 为 6，则双曲线 C 的离心率为 A2 B4 C 2 D 3 5在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 2bcosC2ac，则角 B 的取值范 围是 A(0， 3 B(0， 2 3 C 3，) D 2 3 ，) 6设 alog4 9，b2 1.2，c(8 27) 1 3，则 Aabc Bbac Cacb D
4、cab 高三数学试题第 2 页（共 21 页） 7在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 A：(x1)2y21，点 B(3，0)，过动点 P 引圆 A 的 切线，切点为 T若 PT 2PB，则动点 P 的轨迹方程为 Ax2y214x180 Bx2y214x180 Cx2y210 x180 Dx2y210 x180 8已知奇函数 f (x)的定义域为 R，且 f (1x)f (1x)若当 x(0，1时，f(x)log2(2x 3)，则 f (93 2 )的值是 A3 B2 C2 D3 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题
5、给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得 5 分，部分选对分，部分选对 得得 3 分，不选或有错选的得分，不选或有错选的得 0 分分 95G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的 快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经 济各行业的发展，创造出更多的经济增加值如图，某单位结合近年数据，对今后几年 的 5G 经济产出做出预测 由上图提供的信息可知 A运营商的经济产出逐年增加 B设备制造商的
6、经济产出前期增长较快，后期放缓 C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 10将函数 f(x)sin2x 的图象向左平移 6个单位后，得到函数 yg(x)的图象，则 A函数 g(x)的图象关于直线 x 12对称 B函数 g(x)的图象关于点( 6，0)对称 高三数学试题第 3 页（共 21 页） C函数 g(x)在区间(5 12， 6)上单调递增 D函数 g(x)在区间(0， 7 6 )上有 2 个零点 11已知(2x)(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6，则 Aa0的值为 2 Ba5的值为 16 Ca1a
7、2a3a4a5a6的值为5 Da1a3a5的值为 120 12记函数 f(x)与 g(x)的定义域的交集为 I若存在 x0I，使得对任意 xI，不等式 f(x)g(x)(xx0)0 恒成立，则称(f(x)，g(x)构成“M 函数对”下列所给的两个函数能 构成“M 函数对”的有（ ） Af(x)lnx，g(x)1 x Bf(x)ex，g(x)ex Cf(x)x3，g(x)x2 Df(x)x1 x，g(x)3 x 三三、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上 13如图，一个底面半径为
8、R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁 球（小球完全浸入水中） ，水面高度恰好 升高r 3，则 R r 14被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前 287前 212） ，是古希腊伟大的物理学家、数学 家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的 封闭图形的面积， 等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三 分之二这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形在 平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：y4 与抛物线 C：y1 4x 2交于 A，B 两点，则弦 AB 与抛物线 C 所围成的封闭图形的面积为
9、 15 已知数列an的各项均为正数， 其前 n 项和为 Sn， 且 2Snanan1， nN*， 则 a4 ； 若 a12，则 S20 (本题第一空 2 分，第二空 3 分) 16若不等式(ax2bx1)ex1 对一切 xR 恒成立，其中 a，bR，e 为自然对数的底数， 则 ab 的取值范围是 r r 3 高三数学试题第 4 页（共 21 页） 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要 的文字说明，证明过程或演算步骤的文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分
10、） 已知向量 m(2cosx，1)，n( 3sinx，2cos2x)，xR设函数 f(x)m n1 （1）求函数 f(x)的最小正周期； （2）若 3， 7 12，且 f() 8 5，求 cos2 的值 18 （本小题满分 12 分） 已知数列an是公比为 2 的等比数列，其前 n 项和为 Sn （1）在S1S32S22，S37 3，a2a34a4 这三个条件中任选一个，补充到上述 题干中 求数列an的通项公式， 并判断此时数列an是否满足条件 P： 任意 m， nN*， aman 均为数列an中的项，说明理由； （2）设数列bn满足 bnn(an 1 an )n 1，nN*，求数列b n的前
11、 n 项和 Tn 注：在第（注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 19 （本小题满分 12 分） 为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校 100 名学生（男生 60 人，女生 40 人） ， 统计了他们的课外阅读达标情况 （一个学期中课外阅读是否达到规定时间） ， 结果如下： （1）是否有 99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？ 是否达标 性别 不达标 达标 男生 36 24 女生 10 30 高三数学试题第 5 页（共 21 页） E D C B A P 附：2 n(adbc)2 (ab)(cd)(ac)(b
12、d) ， （2）如果用这 100 名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和 女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立现从该校学生中随机抽取 3 人（2 男 1 女） ，设随机变量 X 表示“3 人中课外阅读达标的人数”，试求 X 的分布列和数学 期望 20 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，AD/BC，ABBCPA1， AD2，PADDAB90 ，点 E 在棱 PC 上，设 CECP （1）求证：CDAE； （2）记二面角 CAED 的平面角为 ， 且|cos| 10 5 ，求实数 的值 P(2k) 0.
13、050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 高三数学试题第 6 页（共 21 页） 21 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x 2 4 y21 （1）设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，T 是椭圆 C 上的一个动点，求TF1 TF 2 的 取值范围； （2）设 A(0，1)，与坐标轴不垂直 的直线 l 交椭圆 C 于 B，D 两点若 ABD 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 l 的方程 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 f (x)kxxlnx，kR （1
14、）当 k2 时，求函数 f (x)的单调区间； （2）当 0 x1 时，f (x)k 恒成立，求 k 的取值范围； （3）设 nN*，求证：ln1 2 ln2 3 lnn n1 n(n1) 4 高三数学试题第 7 页（共 21 页） 南京市南京市 2021 届高三年级学情调研届高三年级学情调研测试数学试卷测试数学试卷 考点扫描考点扫描 一、单项选择题： 题号 考点 所属章节/模块 第 1 题 集合的运算（交集） 集合 第 2 题 复数的运算 复数 第 3 题 平面向量的数量积运算 平面向量 第 4 题 圆锥曲线的几何性质（离心率） 圆锥曲线 第 5 题 解三角形（正余弦定理） 解三角形 第 6
15、 题 指数、对数比较大小 指数函数、对数函数 第 7 题 动点的轨迹方程（直线与圆） 解析几何 第 8 题 函数的基本性质 （奇偶性、 周期性、 对称性） 函数的概念与性质 整体分析：1-6 题较为基础；第 7 题需要掌握切线长的转换，进而表示 PA 与 PB 的表达式，通过设 P 点求出轨迹方程；第 8 题需要利用已知条件中的关系式（关 于直线 x=1 对称） 、奇函数得出周期，进而求出对应区间的函数值。单项选择题 基本上都是考查基础，难度较低或中等偏下一些，需要平时多多注重基础的扎实 度，拿到满分比较容易。 二、多项选择题： 题号 考点 所属章节/模块 第 9 题 统计图的信息 统计 第
16、10 题 三角函数的对称轴、对称中心、单调性、零点 三角函数的图像与性 质 第 11 题 二项式定理中项的系数 二项式定理 第 12 题 新定义函数 函数的概念与性质 高三数学试题第 8 页（共 21 页） 整体分析：9-11 题考查较为基础，难度较低，但要注意所学知识的全面性，不能 有漏洞，另外，多选题更需要策略和方法。12 题要注意理解新定义的概念，并 运用函数的性质验证即可，难度一般，但是容易失分或少得分。 三、填空题： 题号 考点 所属章节/模块 第 13 题 圆柱体与球的体积 几何体的体积 第 14 题 文化题（抛物线的切线、面积） 圆锥曲线、导数的几 何意义 第 15 题 数列的项
17、、求和 数列求和 第 16 题 含参函数的恒成立问题 函数与导数 整体分析：13 题较为基础，主要考查几何体的体积运算；14 题考查文化题题型， 需要理解阿基米德三角形或定理的运算， 然后应用到抛物线求解切线方程以及直 线构成的三角形的面积，当然千万不要忘记最后的三分之二，难度一般，此题为 新题型：文化题，需要注意训练；15 题考查数列的性质及求和，该数列较为容 易递推出来奇数项和偶数项都是隔项成等差数列，而且奇数项和偶数项一样，进 而求出第 4 项和求和，难度适中，此题为新题型：双空题，需要注意训练；16 题考查多参数的函数恒成立问题，需要分类进行讨论，分析求导并判断单调性得 出答案，难度中
18、等偏上，一般情况下不一定能做出来。 四、解答题： 题号 考点 所属章节/模块 第 17 题 平面向量数量积坐标公式、 三角函数的图像 与性质、三角恒等变换求三角函数值 平面向量、三角函数 第 18 题 数列求通项公式、错位相减求和 数列 高三数学试题第 9 页（共 21 页） 第 19 题 线性回归分析、随机变量的分布列、期望 统计案例、概率统计 第 20 题 立体几何证明平行与垂直、二面角问题 立体几何、空间向量 第 21 题 椭圆的几何性质、 直线与椭圆的位置关系综 合 圆锥曲线 第 22 题 函数的单调性、恒成立问题、推理与证明 函数与导数 整体分析：17 题考查平面向量数量积坐标公式、
19、三角函数的图像与性质、三角 恒等变换求三角函数值等，难度较小，需要拿到满分；18 题考查数列的通项公 式、错位相减法求和，此题为新题型：开放性试题，平时需要注意训练；19 题 考查线性回归分析、随机变量的概率、期望、分布列等，难度不大，较为基础， 需要注意计算正确；20 题考查立体几何证明平行与垂直、利用二面角的余弦值 求实数，需要利用空间向量建立空间直角坐标系解题，难度不大，同样需要注意 求解面的法向量时的计算；21 题考查圆锥曲线综合，整体来说，第一问考查较 为新颖，而不是老套的求解标准方程，第二问考查较为经典：中点弦、向量垂直 等关系，需要设出直线方程，利用垂直求得关系式得出结果，注意不
20、要忘记检验 二次函数的判别式是否满足题意，难度中等，也许拿到满分不是那么容易；21 题考查导数与函数综合应用，第一问，较为简单，求函数的单调区间；第二问， 考查含参函数的恒成立问题，需要分类讨论，最好是构造新函数解决，较为清晰 化，难度中等；第三问，利用第二问的一般性结论证明不等式，并合理利用函数 性质建立不等关系，证明结果，难度较大。 高三数学试题第 10 页（共 21 页） 南京市南京市 2021 届高三年级学情调研届高三年级学情调研全解析全解析 数数 学学 2020.09 注意事项：注意事项： 1本试卷共 6 页，包括单项选择题（第 1 题第 8 题） 、多项选择题（第 9 题第 12
21、题） 、 填空题（第 13 题第 16 题） 、解答题（第 17 题第 22 题）四部分本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟 2答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置 3作答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信 息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上 4 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内， 在其他位置作答一律无效 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题分在每小题给
22、出的四个选项中，给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上 1已知集合 Ax|x2x20，Bx|1x3 ，则 AB Ax|1x3 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|2x3 解析解析：集合 Ax|x2x20=x|-1x2，ABx|1x2 ，答案选 C. 2已知(34i)z1i，其中 i 为虚数单位，则在复平面内 z 对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析解析：z= 25 71 4343 431 43 1i ii ii i i ，z 对应的点位于第二象限，答案选 B. 3已知向量
23、a，b 满足|a|1，|b|2，且|ab| 3，则 a 与 b 的夹角为 A 6 B 3 C 5 6 D2 3 解析解析：|ab|2=|a|2+2a b+|b|25+4cos=3，解得，0 2 1 cos，所以 3 2 ， 答案选 D. 4在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(4 3，0)到双曲线 C：x 2 a2 y2 91 的一条渐近线的距离 为 6，则双曲线 C 的离心率为 A2 B4 C 2 D 3 解析解析：双曲线 C：x 2 a2 y2 91 的一条渐进线方程为 3x ay=0，则点 P 到该渐进线方程的距离 高三数学试题第 11 页（共 21 页） 为6 3 334 22 a
24、d，解得 a2=3，所以椭圆的离心率为2 3 93 a c e，故答案选 A. 5在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 2bcosC2ac，则角 B 的取值范 围是 A(0， 3 B(0， 2 3 C 3，) D 2 3 ，) 解析解析：因为 2bcosC2ac，所以由余弦定理可得 ab cba b 2 2 222 2ac，化简得 aca2+c2 b2，即 2 1 cosB，因为，0B，则 3 0 ，B，答案选 A. 6设 alog4 9，b2 1.2，c(8 27) 1 3，则 Aabc Bbac Cacb Dcab 解析解析：由题意 b2 1.20 2=1，alog4
25、 9=log2 3=log2 9 2 3 log 22 2 ，c( 8 27) 1 3 2 3 ，所 以 acb，答案选 C. 7在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 A：(x1)2y21，点 B(3，0)，过动点 P 引圆 A 的 切线，切点为 T若 PT 2PB，则动点 P 的轨迹方程为 Ax2y214x180 Bx2y214x180 Cx2y210 x180 Dx2y210 x180 解析解析：根据切线长的求解方法得到 PT=1 2 PA= 2PB，即 22 21PBPA，设点 P(x， y)，代入到公式中化简得，x2y210 x180，答案选 C. 8已知奇函数 f (x)的定义域为
26、R，且 f (1x)f (1x)若当 x(0，1时，f(x)log2(2x 3)，则 f (93 2 )的值是 A3 B2 C2 D3 解析解析：由题意 f (1x)f (1x)可得函数关于直线 x=1 对称，则有 f (2x)f (x) ，且 f (x) 为奇函数， 则 f (2x)f (x)f (x)， f (4x)f (2x)f (x)， 即周期为 4， 所以 f (93 2 ) 2 2 1 2 1 2 5 fff，答案选 B. 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，
27、 高三数学试题第 12 页（共 21 页） 有多项符合题目要求，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得 5 分，部分选对分，部分选对 得得 3 分，不选或有错选的得分，不选或有错选的得 0 分分 95G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的 快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经 济各行业的发展，创造出更多的经济增加值如图，某单位结合近年数据，对今后几年 的 5G 经济产出做出预测 由上图提供的信息可知 A运营商的经济产出逐年增加 B设备制造商的经济
28、产出前期增长较快，后期放缓 C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 解析解析：由图可知设备制造商在各年的总经济产出中并非一直处于领先地位，很明显 C 选项 不正确，答案选 ABD. 10将函数 f(x)sin2x 的图象向左平移 6个单位后，得到函数 yg(x)的图象，则 A函数 g(x)的图象关于直线 x 12对称 B函数 g(x)的图象关于点( 6，0)对称 C函数 g(x)在区间(5 12， 6)上单调递增 D函数 g(x)在区间(0， 7 6 )上有 2 个零点 解析解析：由题意可知 yg(x)sin 3 2 x，可验证
29、g( 12)1，所以 A 选项正确；g( 6)0，所 以 B 选项错误；令 23 2 2 x，解得 1221 5 x，所以 C 选项正确；法一：可 通过五点作图法画出图像验证 D 选项； 法二： 可令 kx 3 2， 解得Zk k x， 62 ， 高三数学试题第 13 页（共 21 页） 在区间(0，7 6 )上有 6 5 3 ，满足题意，为两个零点，所以 D 选项正确，答案选 ACD. 11已知(2x)(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6，则 Aa0的值为 2 Ba5的值为 16 Ca1a2a3a4a5a6的值为5 Da1a3a5的值为 120 解析解析：由题意可令
30、 x=0，解得 a0=2，所以 A 选项正确；a564222 5 5 5 4 4 5 CC， 所以 B 选项正确；令 x=1，解得 a0a1a2a3a4a5a6=3，所以 a1a2a3a4 a5a6=5，所以 C 选项正确；令 x=1，解得 a0a1a2a3a4a5a6=(a0a2 a4a6)(a1a3a5)=243，式子间进行联立，可解得 a1a3a5=123，所以 D 选 项错误，答案选 ABC. 12记函数 f(x)与 g(x)的定义域的交集为 I若存在 x0I，使得对任意 xI，不等式 f(x)g(x)(xx0)0 恒成立，则称(f(x)，g(x)构成“M 函数对”下列所给的两个函数能
31、 构成“M 函数对”的有（ ） Af(x)lnx，g(x)1 x Bf(x)ex，g(x)ex Cf(x)x3，g(x)x2 Df(x)x1 x，g(x)3 x 解析解析： 由题意f(x)g(x)(xx0)0 恒成立， 可知当 0 xx 时， f(x)g(x)， 当 0 xx 时， f(x)g(x)， 则可根据图象验证选项，只有 AC 选项符合，故答案选 AC. 三三、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请把答分请把答案填写在答题卡相应位置上案填写在答题卡相应位置上 13如图，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为
32、 r 的实心铁 球（小球完全浸入水中） ，水面高度恰好 升高r 3，则 R r 答案答案：2 解析解析：由题意可列出体积公式为： 32 3 4 3 r r R ，解得R r2. 14被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前 287前 212） ，是古希腊伟大的物理学家、数学 家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的 封闭图形的面积， 等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三 分之二这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形在 r r 3 高三数学试题第 14 页（共 21 页） 平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：
33、y4 与抛物线 C：y1 4x 2交于 A，B 两点，则弦 AB 与抛物线 C 所围成的封闭图形的面积为 答案答案：64 3 解析解析：由题意可求出 A，B 点的坐标分别为 A(4，4)，B(4，4)，且求得在 A，B 两点的切 线方程分别为：y2x4，y2x4，两直线交点为(0，4)，则弦 AB 与两切线构 成的三角形的面积为88 2 1 ，则弦 AB 与抛物线 C 所围成的封闭图形的面积为 3 64 3 2 88 2 1 . 15 已知数列an的各项均为正数， 其前 n 项和为 Sn， 且 2Snanan1， nN*， 则 a4 ； 若 a12，则 S20 (本题第一空 2 分，第二空 3
34、 分) 答案答案：4；220 解析解析：由 2Snanan1可得 2Sn1an1an2，两式相减得 2an1an1(an2an)，由数列an 的各项均为正数，可得到 an2an2，令 n=1，则有 2S12a1a1a2，解得 a22，所 以 a44；若 a12，则 a34，即奇数列与偶数列均为首项为 2，公差为 2 的等差数列， 可求得 S202 2 2 910 210220. 16若不等式(ax2bx1)ex1 对一切 xR 恒成立，其中 a，bR，e 为自然对数的底数， 则 ab 的取值范围是 答案答案：(，1 解析解析：可设 f(x)=(ax2bx1)ex，可知 f(0)=1，又由一切
35、xR 时，(ax2bx1)ex1 恒成立， 则得到 0 为函数 f(x)取得最大值的点， 也是极大值点， 则由 f(x)=ax2(2a+b)xb1ex， f(0)=b1=0，解得 b=1，所以 f(x)=(ax2x1)ex， f(x)=ax2a1xex，所以当 a=0 时，可得到 f(x)在0，上单调递增，在，0上单调递减，可得 f(x)f(0)，满足题 意； 当 a0 时， f(x)在 a a21 ，上单调递减， 在 0 21 ， a a 上单调递增,在，0 上单调递减， 且在 a a x 2-1 时， ax2x10， 则 f(x)=(ax2bx1)ex1， 则可得 f(x)f(0)， 满足
36、题意；综上，a0，b=1，则 ab(，1 高三数学试题第 15 页（共 21 页） 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分请在分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要 的文字说明，证明过程或演算步骤的文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 已知向量 m(2cosx，1)，n( 3sinx，2cos2x)，xR设函数 f(x)m n1 （1）求函数 f(x)的最小正周期； （2）若 3， 7 12，且 f() 8 5，求 cos2 的值 解析解析：因为 m(2cosx，1)，n( 3sinx，2co
37、s2x)， 所以 f(x)m n12 3sinxcosx2cos2x1 3sin2xcos2x2sin(2x 6) 4 分 （1）T2 2 5 分 （2）由 f()8 5，得 sin(2 6) 4 5 由 3， 7 12，得 22 6， 所以 cos(2 6) 1sin2(2 6) 1(4 5) 23 5， 7 分 从而 cos2cos(2 6) 6cos(2 6)cos 6sin(2 6)sin 6 3 5 3 2 4 5 1 2 43 3 10 10 分 18 （本小题满分 12 分） 已知数列an是公比为 2 的等比数列，其前 n 项和为 Sn （1）在S1S32S22，S37 3，a2
38、a34a4 这三个条件中任选一个，补充到上述 题干中 求数列an的通项公式， 并判断此时数列an是否满足条件 P： 任意 m， nN*， aman 均为数列an中的项，说明理由； （2）设数列bn满足 bnn(an 1 an )n 1，nN*，求数列b n的前 n 项和 Tn 注：在第（注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解析解析： （1）选， 因为 S1S32S22， 所以 S3S2S2S12，即 a3a22， 高三数学试题第 16 页（共 21 页） 又数列an是公比为 2 的等比数列， 所以 4a12a12，解
39、得 a11， 因此 an1 2n 12n1 4 分 此时任意 m，nN*，aman2m 1 2n12mn2， 由于 mn1N*，所以 aman是数列an的第 mn1 项， 因此数列an满足条件 P 7 分 选， 因为 S37 3，即 a1a2a3 7 3， 又数列an是公比为 2 的等比数列， 所以 a12a14a17 3，解得 a1 1 3， 因此 an1 3 2 n1 4 分 此时 a1a22 9a1an，即 a1a2不为数列an中的项， 因此数列an不满足条件 P 7 分 选， 因为 a2a34a4， 又数列an是公比为 2 的等比数列， 所以 2a1 4a14 8a1，又 a10，故
40、a14， 因此 an4 2n 12n1 4 分 此时任意 m，nN*，aman2m 1 2n12mn2， 由于 mn1N*，所以 aman是为数列an的第 mn1 项， 因此数列an满足条件 P 7 分 （2）因为数列an是公比为 2 的等比数列， 所以an 1 an 2，因此 bnn 2n 1 所以 Tn1 202 213 22n 2n1， 则 2Tn 1 212 22(n1) 2n1n 2n， 两式相减得Tn121222n1n 2n 10 分 12 n 12 n 2n (1n)2n1， 高三数学试题第 17 页（共 21 页） 所以 Tn(n1)2n1 12 分 19 （本小题满分 12
41、分） 为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校 100 名学生（男生 60 人，女生 40 人） ， 统计了他们的课外阅读达标情况 （一个学期中课外阅读是否达到规定时间） ， 结果如下： （1）是否有 99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？ 附：2 n(adbc)2 (ab)(cd)(ac)(bd) ， （2）如果用这 100 名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和 女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立现从该校学生中随机抽取 3 人（2 男 1 女） ，设随机变量 X 表示“3 人中课外阅读达标的人数”，试求 X 的分布列和数学 期望 解析解析
42、： （1）假设 H0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得 2 100 (36 3024 10)2 (3624) (1030) (3610) (2430) 2450 207 11.8366.635， 因为当 H0成立时，26.635 的概率约为 0.01， 所以有 99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关 4 分 （2）记事件 A 为：从该校男生中随机抽取 1 人，课外阅读达标； 事件 B 为：从该校女生中随机抽取 1 人，课外阅读达标 由题意知：P(A)24 60 2 5，P(B) 30 40 3 4 6 分 随机变量 X 的取值可能为 0，1，2，3 P(X0)(12 5) 2 (1
43、3 4) 9 100， P(X1)C12 2 5 (1 2 5) (1 3 4) 3 4 (1 2 5) 239 100， 是否达标 性别 不达标 达标 男生 36 24 女生 10 30 P(2k) 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 高三数学试题第 18 页（共 21 页） E D C B A P P(X2)(2 5) 2 (13 4)C 1 2 2 5 (1 2 5) 3 4 2 5， P(X3)(2 5) 23 4 3 25 所以随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 9 100 39
44、 100 2 5 3 25 10 分 期望 E(X)0 9 1001 39 1002 2 53 3 25 1.55 12 分 20 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，AD/BC，ABBCPA1， AD2，PADDAB90 ，点 E 在棱 PC 上，设 CECP （1）求证：CDAE； （2）记二面角 CAED 的平面角为 ， 且|cos| 10 5 ，求实数 的值 解析：解析： （1）证明：证明：因为PAD90 ，所以 PAAD 因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PA平面 PAD， 所以 PA平面 ABCD 2
45、分 又 CD平面 ABCD，所以 CDPA 在四边形 ABCD 中，AD/BC，DAB90 ，所以ABC90 ， 又 ABBC1，所以 ABC 是等腰直角三角形，即BACCAD45 ，AC 2 在 CAD 中，CAD45 ，AC 2，AD2， 所以 CD AC2AD22 AC AD cosCAD 2，从而 AC2CD24AD2 所以 CDAC 4 分 又 ACPAA，AC，PA平面 PAC，所以 CD平面 PAC 又 AE平面 PAC，所以 CDAE 6 分 （2）解：解：因为 PA平面 ABCD，BAAD， 高三数学试题第 19 页（共 21 页） z x P A B C D E 故以AB，AD，AP为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 因为 ABBCPA1，AD2， 所以 A(0，0，0)，P(0，0，1)， C(1，1，0)，D(0，2，0)， 则CD(1，1，0)，AD(0，2，0) 因为点 E 在棱 PC 上，且 CECP， 所以CECP， 设 E(x，y，z)，则(x1，y1，z)(1，1，1)， 故 E(1，1，)，所以AE(1，1，) 由（1）知，C
