1、新教材必修第一册 2.3：二次函数与一元二次方程、不等式 课标解读： 1. 一元二次不等式的概念.（理解） 2. 一元二次不等式的解法.（掌握） 3. 二次函数与一元二次方程、不等式的关系.（理解） 4. 一元二次不等式的应用（理解） 学习指导： 1. 从函数观点理解方程和不等式时数学的基本思想方法.学习本节时，用二次函数认识 一元二次方程和一元二次不等式，通过理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数 学的整体性，提升数学运算的核心素养. 2. 深刻体会一元二次不等式的图像特征及其不等式恒成立的相关关系. 3. 通过具体问题，认识一元二次不等式在现实生活中的广泛应用，培养数学建模等核 心素养.
2、 知识导图： 教材全解 知识点 1：一元二次不等式及其解法（重点） 1.一元二次不等式的定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一 元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是00 22 cbxaxcbxax或， 其中cba,均为常数，0a. 2.一元二次不等式的解集 满足一元二次不等式)0(0)0(0 22 acbxaxacbxax或的实数x组成的集合叫 做一元二次不等式)0(0)0(0 22 acbxaxacbxax或的解集，即0| 2 cbxaxx或 0| 2 cbxaxx. 3.一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤是： （1）对不等式变
3、形，使一端为零且二次项系数大于零，即标准形式0 2 cbxax（或 0 或0 或0） ，0a. （2）计算相应方程的根的判别式； （3）当0时，求出相应的一元二次方程两根. （4）根据一元二次不等式解的结构，写出解集. 当0时，设方程0 2 cbxax的两根分别为 21,x x，且 12 xx ，利用“大于取两边，小 于取中间”写出不等式的解集，也就是0 2 cbxax（0a）的解集是| 12 xxxxx或， 即大于大根或小于小根，0 2 cbxax（0a）的解集为| 21 xxxx，即大于小根且小 于大根. 当0时，则可结合二次函数的图像和不等号方向来确定不等式的解集. 其求解过程（以0 2
4、 cbxax（0a）为例）用框图表示如下： 例 1-1：下面哪些不等式是一元二次不等式（其中cba,为常数）？ （1）; 0 2 x （2）5 2 xx； （3）065 3 xx； （4）05 2 yx； （5）0 2 cbxax. 答案： （1） （2）是一元二次不等式； （3） （4）不是一元二次不等式； （5）不确定，因 为当0a时，是一元二次不等式. 例 1-2：解下列不等式； （1）; 9 2 x （2）52 2 xx； （3）12 2 xx； （4）. 96 2 xx 答案： （1）33|xxx或； （2）R； （3）； （4）3|xRx. 知识点 2：二次函数与一元二次方程、不等
5、式的关系 0 0 0 一 元 二 次 不 等 式 的 解集 bxax 2 0c)0( a | 21 xxxxx或 2 | a b xRx R bxax 2 0c)0( a | 21 xxxx 例 2-3：解不等式012 2 xx. 答案：1 2 1 |xxx或 重难拓展 知识点 3：一元高次不等式的解法 最高次项的次数高于 2 的不等式称为高次不等式.解一元高次不等式的基本思想方法是 “化归” ，即将高次不等式转化为低次不等式来求解.常见的方法有： （1）不等式组法 将高次不等式)0(0)(xf中的多项式)(xf分解成若干个不可约因式的乘积， 然后利用不 等式的性质将高次不等式等价转化为一个或
6、多个一元一次或一元二次不等式组，原不 等式的解集就是各不等式组解集的并集. （2）列表法 解题步骤如下： 将不等式化为一端为 0，另一端为若干个因式（一次因式或二次不可约因式）乘积的 形式（各因式中x最高次数的项的系数符号化为“+” ） ，求出相应方程的根； 根据不等式对应方程的根把x的取值分成几部分，并按端点值的大小横向排列（由小 到大） ，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列） ； 判断各取值范围内因式的符号，表格最下面一行是各取值范围内对应的各因式乘积 的符号； 根据最下面一行积的符号写出不等式的解集. （3）穿根引线法（零点分段法） 用穿根引线法解一元高次不等式非
7、常方便，因此应熟练掌握.其解题步骤如下： 分解因式，将不等式化为一端为 0，另一端为若干个因式（一次因式或二次不可约因 式）乘积的形式（各因式中x最高次数的项的系数符号化为“+” ）. 求出相应方程的根，并在数轴上表示出来. 由数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则 （即某个因式是奇数次，就从数轴的一侧穿到数轴的另一侧；某个因式是偶数次时， 则不穿过数轴）,简称“奇过偶不过”. 若不等式（x最高次数的项的符号化为“+”后） “0” ，则找“线”在数轴上方对应 的x的取值范围；若不等式“0” ，则找“线”在数轴下方对应的x的取值范围. 例 3-4:解不等式0)12
8、)(2( 2 xxx. 答案：234|xxx或. 例 3-5：解不等式0 1 43 2 2 x xx . 答案：41 | xx. 题型与方法 题型 1：一元二次不等式的解法 1.不含参数的一元二次不等式的解法 例 6：解下列不等式： ; 0372) 1 ( 2 xx ; 038)2( 2 xx ; 054) 3( 2 xx ; 0 4 81 184)4( 2 xx ; 053 2 1 )5( 2 xx . 0232)6( 2 xx 答案： （1）3 2 1 |xxx或； （2）134134|xx； （3）51|xx； （4） 4 9 |xx； （5）解集为 R. 变式训练 1：已知集合032|
9、,0| 2 xxxBxxA，则BA（ ） A.30| xx B.01|xx C.30|xxx或 D.4|xx 答案：A 变式训练 2：如果，Ra且0 2 aa，那么 22 ,aaaa的大小关系为（ ） A.aaaa 22 B.aaaa 22 C. 22 aaaa D. 22 aaaa 答案：B 2.已知一元二次方程不等式的解集，求参数问题 例 7：若不等式0 2 cbxax的解集为43|xx，则不等式032 2 bcaxbx的解集 为 . 答案：53|xx 变式训练：0，已知不等式0 2 cbxax的解集为| xx， 求：不等式0)2()( 2 axabxbca的解集. 答案： 1 1 1 1
10、 | xx 3.含参数的一元二次不等式的解法 例 8： （1）解关于x的不等式：)(0)( 322 Raaxaax. （2）解关于x不等式：).(02 2 Raaxax 答案： （1）当0a时，不等式的解集为;| 2 axaxx 或 当0a时，不等式的解集为;0|xx 当10a时，不等式的解集为;| 2 axaxx或 当1a时，不等式的解集为;1|xx 当1a时，不等式的解集为.| 2 axaxx 或 （2）当1a，不等式的解集为 当10a时，不等式的解集为. 1111 | 22 a a x a a xx 或 当0a，不等式的解集为0|xx 当01a时，不等式的解集为. 1111 | 22 a
11、 a x a a xx 或 当1a时，不等式的解集为1|xx. 当1a时，不等式的解集为 R. 变式训练 1：若01a，则关于x的不等式0) 1 )( a xxa的解集是 . 答案： 1 |ax a x 变式训练 2：已知0a，关于x的一元二次不等式02)2( 2 xaax的解集为（ ） A.1 2 |x a xx或 B.1 2 | x a x C. 2 1| a xxx 或 D. 2 1 | a xx 答案：B 题型 2：一元二次不等式恒成立问题 1.在 R 上恒成立问题 例 9：若对任意实数x，关于x的不等式01) 1() 1( 22 xaxa恒成立，则实数a的取值 范围为 . 答案：1
12、5 3 |xx 变式训练：已知关于x的不等式03) 1(4)54( 22 xmxmm对一切实数x恒成立，则实 数m的取值范围是 . 答案：191 | mm 2.在某范围内恒成立问题 例 10：已知aaxxxf3)( 2 ，若22x时，2)(xf恒成立，则实数a的取值范围是 . 答案：2225|aa 变式训练 1：已知关于x的不等式086 2 kkxkx对任意的Rx恒成立，则实数k的取 值范围是（ ）. A.10| kk B.10| kk C.10|kkk或 D.10|kkk或 答案：A 变式训练 2： 设函数1 2 1 mxmxy，若对于任意的4, 31 1 myx恒成立，则实数m的 取值范围
13、为（ ）. A.0|mm B. 7 5 0| mm C. 7 5 00|mmm或 D. 7 5 |mm 答案：D 题型 3：可转化为一元二次不等式（组）的不等式的解法 1.利用换元法转化为一元二次不等式 例 11：解下列不等式： （1）; 0103 24 xx （2）6xx； （3）. 03|2 2 xx 答案： （1）22|xx （2）40| xx （3）33|xxx或 2.分式不等式的解法 例 12：不等式2 2 x x 的解集为 . 答案：02|xx 3.一元高次不等式的解法 例 13：已知不等式0)( 2 dxcbxax的解集是413|xxx或. 则不等式0)()( 23 cdxbdc
14、xadbax的解集为 . 答案：314|xxx或 例 14：设0a，解关于x的不等式0 2 22 axxaax x 答案：当0a时，原不等式的解集为02|xx； 当10a时，原不等式的解集为 1 2| a xaxx或； 当 2 1 a时，原不等式的解集为 1 2|ax a xx或； 当 2 1 a时，原不等式的解集为2 2 1 |xxx且； 当0 2 1 a时，原不等式的解集为2 1 |ax a xx或； 4.含绝对值不等式的解法 例 15：1| 4 3 | 2 x x 的解集为 . 答案：4114|xxxx或或 易错提醒 易错 1：解含参不等式时忽略分类的完备性 例 17：解含参不等式)(
15、1 2 ) 1( Ra x xa . 答案：当1a时，原不等式的解集为2|xx；当1a时，原不等式的解集为 2 1 2 | a a a xx或；当10a时，原不等式的解集为 1 2 2| a a xx；当0a时，原不等 式的解集为；当0a时，原不等式的解集为2 1 2 | x a a x； 易错 2：忽略最高次项系数的符号特征 例 18：要使1 2 mmxmxy的值恒为负值，求 m 的取值范围. 答案：0|mm 感知高考 考向 1：一元二次不等式的解法 例 19： （1）已知集合06|,24| 2 xxxNxxM，则NM（ ）. A.34|xx B.24|xx C.22|xx D.32| xx
16、 （2）已知集合02| 2 xxxA，则ACR（ ）. A.21|xx B.21|xx C.2|1|xxxx D.2|1|xxxx 答案： （1）C （2）B 考向 2：一元二次不等式的应用 例 20：甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件101 x） ，每小时可获得 的利润是) 3 15(100 x x元. （1）要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求x的取值范围； （2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并 求此最大利润. 答案： （1）103 x； （2）甲厂应以 6 千克/时的速度生产产品，最大利润为 457500
17、元. 基础巩固： 1.设集合0|,0)3)(2( |xxTxxxS，则TS（ ）. A.32| xx B.32|xxx或 C.3|xx D.320|xxx或 2.不等式组 1|x| 0)2(xx 的解集为（ ）. A.12|xx B.01|xx C.10| xx D.1|xx 3.若Rx，式子1 2 axx都有意义，则实数a的取值范围为（ ）. A.22|aa B.22|aaa或 C.22|aaa或 D.22|aa 4.已知方程0) 1(2 2 mxmx有两个不等正实数根，则实数m的取值范围是（ ）. A.2232230|mmm或 B.223223|mmm或 C.2232230|mmm或 D.
18、223223|mmm或 5.不等式043 2 xx的解集为 . 6.若不等式023 2 xax的解集为1|bxxx 或，则ba= . 7.不等式1 23 15 2 2 xx xx 的解集为 . 能力提升 9.下列选项中，使不等式 2 1 x x x成立的x的取值范围是（ ）. A.1|xx B.01|xx C.10| xx D.1|xx 10.若10a，则不等式0) 1 )( a xax的解集为（ ）. A. 1 | a xax B. 1 |ax a x C. 1 |ax a xx或 D. 1 |ax a xx或 11.不等式1 1 x ax 的解集为,21|xxx或则（ ）. A. 2 1
19、a B. 2 1 a C. 2 1 a D. 2 1 a 12.若关于x的不等式0bax的解集为1|xx，则关于x的不等式0 65 2 xx bax 的解集 为 . 13.不等式012 2 mxx对一切31 x都成立，则m的取值范围为 . 14.若不等式1|x成立时，不等式0)4()1(axax也成立，则实数a的取值范围 为 . 15.若不等式04)4( 2222 ymyxymx对一切非负的yx,恒成立，则实数m的取值范围 为 . 16.已知集合1 2 2 | x x xA，集合0) 12(| 22 mmxmxxB. （1）求集合 A，B； （2）若AB ，求实数m的取值范围. 17.解关于x
20、的不等式)(02) 12( 2 Rmxmmx. 18.解关于x的不等式组： , 1)2() 1( 01)2( 2 xax xa 其中1a. 参考答案 1. D 2. C 3. D 4. C 5. 14|xx 6. 3 7. 3 2 1 12|xxx或 9. A 10. A 11. C 12.116|xxx或 13.0|mm 14.23|aa 15.0 4 1 |mmm或 16.（1）1|mxmxB （2）12|mm 17.当 2 1 m时，解集为 1 2| m xx; 当 2 1 m时，解集为; 当0 2 1 m时，解集为2 1 | x m x; 当0m时，解集为2|xx; 当0m时，解集为 1 2| m xxx或; 18.当21a时，解集为 1 22|ax a xx 或; 当2a时，解集为.2 2 3 |xxx或; 当2a时，解集为.2 1 2|x a axx或;
