1、绪论本章主要内容1. 学习现代控制理论的意义2. 关于自动化的介绍3. 控制理论的发展历程4. 现代控制理论研究的对象、方法及内容5. 现代控制理论与经典控制理论的对比1 学习现代控制理论的意义 科学技术的发展不仅需要迅速地发展控制理论，而且也给现代控制理论 的发展准备了两个重要的条件一现代数学和数字计算机。 现代数学，例如泛函分析、现代代数等，为现代控制理论提供了多种多 样的分析工具；而数字计算机为现代控制理论发展提供了应用的平台。 在二十世纪五十年代末开始，随着计算机的飞速发展，推动了核能技术、 空间技术的发展，从而对出现的多输入多输出系统、非线性系统和时变 系统。 是自动化专业的理论基础
2、 是提高学生专业理论水平的重要环节 是许多专业报考研究生的必考课2 关于自动化的介绍 Brief Introduction toAutomation 定义 Definition所谓自动化是指机器或装置在无人干预的情况下按规定的程序或指令自 动的进行操作或运行。广义地讲，自动化还包括模拟或再现人的智能活 动。The art of making processes or machines self-acting or self-moving.Also pertains to the technique of making a device,machine,process or procedure
3、more fully automatic.自动化的理论基础Fundamental knowledge of automation自动化技术是一门新兴的科学技术，它以控制论、信息论和系统论为理 论基础，以哲学的方法论为研究方法。CyberneticsInformation Theory Systemism 狭义自动化和广义自动化狭义自动化是指工业自动化，自动化也是最早应用于工业生产领域的。 广义的自动化包括工业自动化、生活自动化、办公自动化和商务自动化。3 控制理论的发展历程 Progress of Control Theory 经典控制理论 (Classical Control Theory)
4、 现代控制理论 (Modern Control Theory) 智 能 控 制 理 论 (Intelligent Control Theory) 控制理论发展趋势 (Trend of Development of Control Theory) 经典控制理论经典控制理论的形成和发展在20世纪30-40年代，初步形成。 在20世纪40年代形成体系。频率理论 根轨迹法以 SISO 线性定常系统为研究对象。以拉氏变换为工具，以传递函数为基础在频率域中分析与设计。经典控制理论的局限性难以有效地应用于时变系统、多变量系统 难以有效地应用于非线性系统。现代控制理论的形成和发展Formation and P
5、rogress在20世纪50年代形成动态规划法 极大值原理 卡尔曼滤波上世纪60年代末至80年代迅速发展。 非线性系统大系统智能系统对象：以 MIMO 线性、非线性、时变与非时变系统为主要研究对象； 工具：以线性代数和微分方程为工具，以状态空间法为基础。智能控制理论19701980 大系统理论 控制管理综合19801990 智能控制理论智能自动化199021c 集成控制理论 网络控制自动化专家系统，模糊控制，人工智能 神经网络，人脑模型，遗传算法控制理论与计算机技术相结合计算机控制技术 控制理论发展趋势企业：资源共享、因特网、信息集成、信息技术+控制技术(集成控制技术) 网络控制技术计算机集成
6、制造CIMS: (工厂自动化) 现代控制理论研究的对象线性系统 (Linear systems)非线性系统 (Nonlinear systems)时变系统 (Time variable systems)多变量系统 (Multivariable systems)连续与离散系统 (Continuous/discrete time systems)4现代控制理论研究的内容线性系统理论 (Theory of Linear Systems)非线性系统理论 (Theory of Nonlinear Systems) 最优控制 (Optimal Control)系统辨识 (System Identifica
7、tion)自适应控制 (Adaptive Control)最优滤波理论等 (Optimal filtering Theory) 现代控制理论研究的方法研究系统输入/输出特性和内部性能(Input/output properties of systems and internal performance)5 现代控制理论与经典控制理论的对比 对 象 系统共同主要内容分析：研究系统的原理和性能设计：改变系统的可靠性(综合性能)区别古典现代研究对象：单入单出 (SIS0) 系统，线性定常工具：传递函数(结构图),已有初始条件为零时才适用试探法解决问题： PID串联、超前、滞后、反馈研究对象：多入多出
8、 (MIMO)系统、线性定常、非线性、时变工具：状态空间法、研究系统内部、输入一状态(内部)一输出改善系统的方法：状态反馈、输出反馈第一章控制系统的状态空间表达式Chapter 1 State space representation of control systems本章内容 状态变量及状态空间表达式 状态空间表达式的模拟结构图 状态空间表达式的建立(1)状态矢量的线性变换 由传递函数求状态方程() 状态空间表达式的建立(2)时变系统和非线性系统的状态空间表达式:奈究间表达式求传递函数阵系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部 独立变量的响应，因而能同时确定系
9、统的全部内部运动状态。yy yymMuu系统u1.1状态变量及状态空间表达式1.1 State space representation ofcontrol systems 状态变量 (State variables)状态：表征系统运动的信息和行为状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量x(),x(1),xn(0)状态向量(State vectors)由状态变量构成的向量 x(t)x(0)=x(1),x(1),x,(1)x,(1 状态空间 (State space) 以各状态变量x(t),x(1).xn(1) 为坐标轴组的几维空间。 状态轨迹：在特定时刻t,状态向量可用状态空间的一
10、个点来表示，随着时间的推移，x(t)将在状态空间描绘出一条轨迹线。 状态方程 (State equations) 由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。 例1.1 设有一质量弹簧阻尼系统。试确定其状态变量和状态方程。解：系统动态方程设 y(t)=x(1),y(t)=x(t)状态方程的标准形式：x(t)=Ax(t)+Bu(t)(A: 系统矩阵 B: 输入矩阵) 输出方程 (Output equation)系统的输出量与状态变量之间的关系y(t)=Cx(t)(C:输出矩阵)状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。它构成对一个系统动态行为 的完整描述。x(t)=Ax(t)+
11、Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t)A: 系数矩阵B: 控制矩阵(输入矩阵) C: 输出矩阵D: 直接矩阵y(t) 一输出向量 u(t) 一输入向量状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。它构成对一个系统动态行为 的完整描述。状态空间表达式的系统框图x(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)xcTAMByx(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)Dy CAB1.2状态空间表达式的模拟结构图1.2 Simulation structural diagram of state space模拟结构图(Simulation structural diagr
12、am)用来反映系统各状态变量之间的信息传递关系，对建立系统的状态空间表达式 很有帮助。用模拟结构图代替模拟计算机的详细模拟图。 模拟结构图绘制步骤(Drawing Procedures)根据所给的输出方程，画出相应的加法器、比例器和状态变量；积分器的数目应等于状态变量个数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输 出表示相应的某个状态变量；根据所给的状态方程，画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连 接起来。微分方程x(t)=ax(t)+bu(t)模拟结构图Ub十x十X Ja微分方程x+ax+ax+ax=bu x=-ax-ax-ax-bu模拟结构图义Sa2aiaoXbJJxxu1.3状态空
13、间表达式的建立(1)1.3 Establishment of state space representation (1)用状态空间分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式。 建立表达式三个途径：由系统传递函数方块图来建立；从系统的物理或化学的机理出发进行推导；由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得。 从系统框图出发建立状态空间表达式将系统传递函数方块图的各个环节变换成相应的模拟图；把每个积分器的输出选作为一个状态变量x, 其输入便是相应的x,; 根据系统的实际连结，写出相应的状态空间表达式。例1 - 4 系统传递函数方块图如图所示，输入为u, 输 出 为y。 试求其状态
14、空间表 达式。2十K4y从图可知 状态方程输出方程y=x写成向量矩阵形式，系统的状态空间表达式为y=100x各环节的模拟结构图如图所示x XS上1 Tkx XJT1 TxS十+u从系统的机理法出发建立状态空间表达式对不同控制系统，根据其机理，即相应的物理或化学定律，可建立系统的状态 空间表达式，步骤如下：1)确定系统输入、输出和状态变量；2)列出方程；3)消去中间变量；4)整理成标准的状态和输出方程。例求图中网络的状态方程，系统输入为u,u, 输出y。解：根据基尔霍夫定律写出回路、节点电压和电流方程y=Ri+u状态变量选为 x=ix=ix=u将状态变量代入，并整理:写成矩阵形式y=0 R0x+
15、01ux=Ax+Buy=Cx+Dux=xxx;u=uu1.4状态空间表达式的建立(2)1.4 Establishment of state space representation (2)1.4.1 n 阶常系数微分方程(单入单出)y+a-1y(-1)+ay+ay=bu(m)+bm_1u(m-1)+.+bum=n相应的传递函数为问题：将上式转换成状态空间表达式 1.4.2传递函数中没有零点的实现n 阶常系数微分方程(单入单出) y(m)+a-1y-1)+.+ay+ay=buu 一输入 y 一输出 相应的传递函数为建立x 方程x=y,x=y,.x=y-1)x=X2,x2=x,.x,_ 1=x,x
16、,=yn) ym)=-ay-ay-.-an-1y-1)+bu=-ax-ax-.-a,-1x,+bux=Ax+BuB 具有这种形式，则称为能控标准型。 系统输出方程其中：y=CX C=100 0结构图bo +an-1十an-2+十a1十aox1 yxn-1XnX2能控标准型，能控性：是控制作用u(t) 支配系统x(t) 的能力例：系统方程为y+6y+1ly+16y=6u 求系统的状态空间表达式。解：选取x=y,x=y,x=j, 由y=-16y-1ly-6j+6u得到一阶微分方程组写成矩阵形式x=x x=Xx=-6x-11x-16x+6u状态方程和输出方程(模拟结构图)U 十 x x(x)S J十
17、十6十 十-11-16x(x)SX y6状态变量的选择不唯一 ，选择的不同状态空间表达式也不同。 例：求系统y+6y+1ly+16y=6u 的状态空间表达式。解：设状态变量 x=y+6y+1ly x=y+6yX=y 状态方程：x=y+6y+1ly=6u-16y=6u-16x x=y+6y=x-1ly=x-11xx=y=x-6x 输出方程：y=X 矩阵形式：模拟结构图u x X x x x x6 J J 5y-6-11-16如果单输入单输出系统的微分方程为： y()+a_1y(0-1)+ay+ay=b,u(+b_u0-)+bu+bu一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数n。为了避免在状态方
18、程中出现u 的导数 项，可以选择如下的一组状态变量。x=y-ux=x-1ux,=xi-1-_ux-1=Xn-2-a-2u x,=Xn-1-n-1u即：x=y-uy=x+ux=y-u-uy=x+u+u x=y-o-u-u业y=x+o+u+uxn=y(n-1)-u(2-1)-u(n-2)_-n-1u业xn=y(“)-ou”-u(2-1)-_u将y(n)=-a,-1y(2-1)-a,-2y(0-2)-ay-ay+b,u(m)+b_u(-1)+bu+bu代入xn=y(“-ou(”-u(0-1)_-1u 得：y(m)=-an-1x,-an-2xn-1-ax-aox-an_1(u(n-1)+u(n-2)+
19、n-1u) -an-(u(”-2)+u(n-3)+n-2u)-a(u+u)-au+b,u(”+b_1u(0-1)+bu+buxn=-aox-qx-a2x-axx+(b,-)u()+(b_1-an-1o)u(2-1) +(b,-2-a-1-an-)u(0-2)+b-n-1-a-1n-2-an-2n-3-a)u+(b-an-1n-1-an-2n-2-a-a)u选择o,n-1, 使得上式中u 的各阶导数项的系数都等于0,即可解得：=b=b-1-an-1=bn-2-an-2-an-1=bn-3-an-3-an-2-an-1n-1=b-an-1n-2-an-2n-3-a令上式中u 的系数为,则：n=b-
20、a-1n-1-an-2n-2-a-a最后可得系统的状态方程：y=x+u可写成矩阵的形式：x=Ax+Buy=Cx+Du即 ：例：y+4y+2y+y=u+u+3u试写出它的状态空间表达式。解：由于n=3,b=0,b=1,b=1,b=3 a=1,a=2,a=4则：=b=0=b-a=1=b-a-a=-3=b-a-a-a=13状态空间表达式为1.5状态矢量的线性变换对于一个给定的线性定常系统，可以选取许多种状态变量，相应地有许多种状态空间表达式 描述同一系统，也就是说系统可以有多种结构形式。所选取的状态矢量之间，实际上是一种 矢量的线性变换(或称坐标变换)。1.5.1系统状态空间表达式的非唯一性 设线性
21、定常系统的状态空间表达式为： x(0)=x 取线性非奇异变换：令 ：x=Tz ( 即z=T-x)T 为线性变换(矩阵T 非奇异),带入上式，得：z=T-ATz+T-Bu=Az+Bu y=CTz+Du=Cz+Duz(0)=T-x(0)则有A=T-AT B=T-B C=CTD=D(显然，由于T 为任意非奇异矩阵，所以，状态空间表达式为非唯一。T 称为变换矩阵)即一组状态变量是另一组的线性组合，且这种组合具有唯一的对应关系，均能完全描述同一 系统的行为。状态向量的这种变换称为状态的线性变换或等价变换。 例设系统状态空间表达式为,y=30x解：取线性变换阵设新状态变量为则在新状态变量下，系统状态空间描
22、述为z=T-ATz+T-Bu1.5.2特征值不变性与系统的不变量系统特征值 系统x=Ax+Buy=Cx+Du的特征值就是系统矩阵A的特征值，即特征方程：|AI-A|=0 的根。系统不变量和特征值的不变性对上面的系统进行变换 x=Tz ( 即z=T-x),得：z=T-ATz+T-Bu y=CTz+Du其特征方程为：|AI-T-Ar|=|aT-T-T-Ar =T-T-T-AT=-|AI-A|T|=|T-r|2I-A|=|aI-A|特征方程写成多项式|aI-A|=2+a-12-+a+a=0经过非奇异变换后，系统的特征值不变，系统的特征方程系数也不变。 特征方程多项式的系数称为系统的不变量。特征矢量一
23、个n 维矢量P, 经过A作为变换矩阵的变换，得到一个新的矢量，P 。即， P,=AP (i=1,n)如果此P=A,P, 即矢量P,经A变换后，方向不变，仅长度变化,倍，则称P 为A 的对应于,的特征向量，此时有AP =,P (A-A,I)P。1.5.3状态变量表达式变化为约旦标准型 问题：将系统x=Ax+Bu y=Cx+Du转换成i=Jz+T-Bu y=CTx+DTu根据系统矩阵A, 求其特征值，可以直接写出系统的约旦标准矩阵J。 当特征值无重根时，有当特征值有q(1qn) 个重根时，有几种求T 得方法：1)A 矩阵为任意形式(1)A 矩阵的特征根无重根时对线性定常系统，若系统的特征值两两互异
24、，则必存在非奇异变换，将状态方程化为对角线 标准型。实际上，T:=P PpRn,AP=A,PAT=AP APAP=zP AP,P例：设系统状态空间描述为y=30x将系统的转换成约旦标准型状态空间表达式。 解：由上例中已求出=-1,2=-2C=CT=11(2)A 矩阵的特征根有重根时如果系统矩阵A 有重根，且A的线性独立的特征向量数等于系统的阶数n, 则可将其化为对 角线标准型。当A 有重根时，经线性变换一般可将A 化为约当标准型J, 矩 阵J 是主对角线上均为约当块 的准对角型矩阵，即T-AT=J=diag(J,J,Jm),JRaa, a+am=n,a,: , 的代数重数,:,的几何重数 若当
25、块具有形式：将AP(当)标准 PpJ(型的变)o(换)lp(矩阵)定T-AT=JAT=TJ=AP=PJAP,=P,J令由此AP,=P,J;口,对应的广义特征向量：其第一个向量是,对应的特征向量：n+n=;,+m=n 例设系统状态方程为转化成约旦标准型。 解：特征方程|AI-A|=x-4+5+2=(-1)(-2)=0=1(=2),2=2(a=1) 对应的广义特征向量第3个方程不独立，令P=1, 得又由(第3个方程不独立)再由(矛盾方程，无解)对应的广义特征向量第3个方程不独立，令Pi=1, 得由此，可构造出变换矩阵P:2)A 矩阵为标准型(1)A 的特征值无重根时A的特征值两两相异，则化A为对角
26、线标准型的变换阵T 为范德蒙德(Vandermonde) 矩阵， 即实际上，设入；对应的特征向量为P=pnpm将其写为：Pn-P=0Pi-Pi=0P;,n-1-Pm=0a,P+an-1Pi+aP,m-1+(,+an-1)Pm=0令Pn=1Pn-Pi=0Pi-Pi=0P;n-1-Pm=0a,Pi+an-1Pi+aPi,n-1+(,+an-1)Pm=0(2) A 特征值又重根时(3) 有共轭复根时3)系统的并联型实现 已知系统的传递函数为：将上式展开成部分分式。由于系统的特征根有两种情况： 一是所有根均为互异，另一种是有 重根。(1) 具有互异根的情况系统特征根为互异，将系统传递函数写成(为系统的
27、特征根，i=1,2,n)将其展开成部分分式：c,(i=1,2,n) 由待定系数法确定。取每个积分器的输出作为一个状态变量，系统的状态空间表达式分别为：y=ccc,x 或者y=11 1x以上两式为互为对偶。系统的模拟结构图也互为对偶，分别绘制如下。(2) 有重根的情况设有q 个重根，其余+,A+2,a,为互异根。此时W(s)的部分展开式为：系统的状态空间表达式为：x=x+xx=Ax+Xx-1=xq-1+x x=xq+uxq+1=q+1xq+1+u xn=,x,+uy=CgXi+Ci(q-1)x+Cxq-1+Cxq+Cq+1xq+1+C,Xn系统的状态空间表达式为系统的模拟结构图为：1.6由状态空
28、间表达式求传递函数1.6.1 传递函数(阵)已知系统的状态空间表达式为一般情况D=0, 假设相应变量的初始条件为0。 对上式进行拉氏变换：sX(s)=AX(s)+BU(s) Y(s)=CX(s)+DU(s)sX(s)-AX(s)=BU(s)sI-AX(s)=BU(s) X(s)=sI-A-BU(s)则Y(s)=CsI-A-BU(s)+DU(s)输入U(s)- 输出Y(s) 之间的传递函数关系为W(s)为mr 维传递函数矩阵，即意义：建立现代与经典的关系，从状态方程的ABCD 可求出传递阵(函数)。 传递函数的不变性：对于同一个系统，尽管其状态空间表达式可以作各种非奇异变换而不是唯一的，但它的传
29、递 函数矩阵是不变的。令x=Tz 或 z=T-x(T 为非奇异矩阵),则原状态空间表达式转换成i=T-ATz+T-Bu y=CTz+Du则，对应的传递函数矩阵为W(s)=CT(sI-T-AT)-T-B+D=CT(sT-T-T-AT)-T-B+D =C(sT-T-T-AT)-B+D=C(sI-A)-B+D=W(s)即同一系统其传递函数矩阵是唯一的。例：(多输入-多输出)已知系统的状态空间表达式为其中求系统的传递函数矩阵。例：(单输入-单输出)已知系统的状态空间表达式同上 其中求传递函数矩阵。 解 ：W(s)=CsI-A-B+D1.6.2子系统在各种连接时的传递函数在控制系统中，往往有多个子系统组
30、成一个系统，其连接方式有串联、并联或反馈连接等。 设已知两个子系统：简记为Z1:(A,B,C,D)和并联连接u=u=u,y=yy则系统的状态方程表达式为：系统的传递函数阵为：=CsI-A-B+DC(sI-A)-B+D =W(s)+W(s)子系统并联时，其系统的传递函数矩阵等于传递函数的代数和。 串联连接y=yu=Uy=uZZ子系统串联时，其传递函数矩阵为：W(s)=W(s)W(s) 输出反馈系统x=Ax+Bu=Ax+Bu-BCxx=AX+Bu=AX+BCx y=Cx写成向量形式就是传递函数矩阵Y(s)=Y(s)=W(s)U(s)=W(s)U(s)-Y(s) =W(s)U(s)-W(s)W(s)
31、Y(s)UI+W(s)W(s)Y(s)=W(s)U(s) 从而，有W(s)=1+W(s)W(s)-W(s)且有W(s)=W(s)I+W(s)W(s)F1.7离散时间系统的状态空间表达式线性离散系统状态空间描述，形式上类似于连续系统，一般形式为其中：x(k)R:n 维状态向量u(k)R:r 维输入/控制向量y(k)R:m 维输出向量 离散系统结构图如下若系数矩阵均为常阵，则为定常系统：经典论中，离散系统的数学模型分为差分方程和脉冲传递函数两类，以下分别讨论其与状态 空间表达式的关系：1.7.1差分方程化为状态空间表达式根据输入函数，分两种情况 1.差分方程输入函数为 bu(k) 设系统差分方程为
32、y(k+n)+ay(k+n-1)+an-1y(k+1)+a,y(k)=bu(k) 选取状态变量写成矩阵形式y(k)=x(k)=10 00x(k)或2.差分方程输入函数为u(k),u(k+1). 设系统差分方程为y(k+n)+ay(k+n-1)+an-1y(k+1)+a,y(k)=bu(k+n)+bu(k+n-1)+b_1u(k+1)+b,u(k) 与连续情形中包含输入函数导数类似，取其中，输出方程y(k)=110 0x(k)+bu(k)例已知离散系统差分方程为y(k+3)+2y(k+2)+3y(k+1)+y(k)=u(k+1)+2u(k) i.e.n=3;a=2,a=3,a=1;b=b=0,b
33、=1,b=2向量形式y(k)=100x(k)1.7.2脉冲传递函数化为状态空间表达式 线性离散系统的脉冲传递函数为1.脉冲传递函数仅含单极点情形令Y(z)=cX(z)+cX(z)+c,X,(z)+dU(z)即输出方程为y(k)=cx(k)+Cx(k)+c,x(k)+du(k)写成向量形式.y(k)=ccc,x(k)+du(k)2.脉冲传递函数含重极点情形 设选取状态变量而Y(z)=cX(z)+cmXm(z)+cm+1Xm+;(z)+c,X,(z)+dU(z)y(k)=Cx(k)+Cmxm(k)+cm+1xm+1(k)+cnxn(k)+du(k) 写成向量形式即为y(k)=c C c,x(k)+
34、du(k)例已知系统脉冲传递函数为写出离散系统的状态表达式第二章控制系统状态空间分析法本章内容线性定常齐次状态方程的解矩阵指数函数-状态转移矩阵线性定常系统非齐次方程的解线性时变系统的解离散系统状态方程的解连续时间状态表达式的离散化 在本章里，讨论1、对或 如何求解出x(t),x(k), 分析动态过程。2、内容：(1)线性定常系统、时变系统、离散系统状态方程的解；(2)连续系统状态方程离散化。2.1线性定常系统齐次状态方程的解(自由解)由 x(t)=Ax(t)+Bu(t)在u(t)=0时 ，x(t)-Ax(t)=0为一阶齐次微分方程组。 自由解：系统在没有输入的情况下，由初始状态引起的自由运动
35、。一阶齐次微分方程组的解t=t 。时，初始状态为x(t)=xx(t)=eA(-to)xt=0 时，初始状态为x(0)=xx(t)=eAx1.矩阵指数法：(关键求eA) 设x(t)-Ax(t)=0 的解为：x(t)=b+bt+bt+bt*+,x(0)=bx(t)=b+2bt+3bt+kbtk-+ ,x(t)=Ax(t),对应于t 的同次幂系数相等所以因为记eA称矩阵指数函数。则齐次状态方程的解x(t)=eAx(0)当初始时刻为t。,则x(t),=x(t)解为：x(t)=eA(-6o)x(t) 证明：x(t)=eAox(0)x(0)=e-Aox(t)x(t)=eAx(0)=eNe-Aox(t)=e
36、A(-o)x(t)例：已知求 eA。例.用状态变量法求解方程y+y=0,y(1)|_o=y(0),j(t),_0=j(0) 解：选状态变量为x=y,x=j由前例知依 x=eAx(0) 解为得原方程的解为y(t)=x(t)=y(0)cost+y(0)sint2拉氏变换法x(t)=Ax(t)x(1)_0=x(0)sx(s)-x(0)=Ax(s) sx(s)-Ax(s)=x(0)sI-Ax(s)=x(0) x(s)=sI-Ax(0)x(t)=L-x(s)=L-sI-Ax(0)即e=L-sI-A 也可理解为求e的另一种方法。例 已 知求解。解： eA的性质1收敛： 对所有有限时间绝对收敛。2.可微：3
37、.分解：eA(+t)=eAeA。4.可逆：(e)=e-。 2.2状态转移矩阵 2.2.1定义：将x(t)=Ax(t)的解写成x(t)=eAx(0)=(t)x(0),(t)是满足(t)=A(t)(0)=I的nn 的矩阵。 证明：x(0)=(0)x(0)=Ix(0) (0)=Ix(t)=(t)x(0)=Ax(t)=A(t)x(0) (t)=A(t)(t)定义为转移矩阵。对于线性定常方程(t)=eA。(t)=eA表示x(0)到x(t)的转移矩阵。(t-t)=eA(-6)表示x(t)到x(t)的转移矩阵。 这样，x(t)=Ax(t)的解可以表示为：x(t)=(t)x(0)或 x(t)=(t-t)x(t)X 状态转移轨线意义：说明齐次方程的解仅是初始状态的转移。2.2.2 (t)的几条重要性质(t)=e=L-(SI-A)-=I+At+tAt+ +A*tk+ (t)=e=I+At+At+ +A*tk+ (t)具有如下的性质：1. 组合特性：(t)(t)=(t)p(t)=(t+t)。2. 初始特性：(t-t)=(0)=I。3. 传递特性：(-t)(t-t)=(t
