1、 1 第三章第三章 函数的概念与性质函数的概念与性质 3.2.2 奇偶性奇偶性 教学设计教学设计 一、教学目标一、教学目标 1.结合具体函数了解函数奇偶性的含义； 2.掌握判断函数奇偶性的方法； 3.能运用函数图象理解和研究函数的奇偶性，了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系. 二、教学重难点二、教学重难点 1. 教学重点教学重点 函数的奇偶性的概念与判定. 2. 教学难点教学难点 函数奇偶性的应用. 三、教学过程三、教学过程 （一）新课导入（一）新课导入 上节课我们用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或下降）的性 质.下面我们继续研究函数的其他性质. （二）探索新知（
2、二）探索新知 探究一：探究一：偶函数偶函数 （老师给出图片，让学生观察两个函数图象有什么共同特征 学生回答关于 y 轴对称） 老师提问探究问题，引导学生说出相对规范的描述，最后在给予补充 探究：类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象关于 y 轴对称”这一特征 吗？ 答案：若将函数 f(x)的图象沿 y 轴对折，y 轴两边的图象重合，则称该函数的图象关于 y 轴对称. 取特殊值观察相应的函数值情况，如下表 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 2 ( )f xx 9 4 1 0 1 4 9 ( )2g xx -1 0 1 2 1 0 -1 可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的
3、两个函数值相等. 例如，对于函数 2 ( )f xx，有 f(-3)=9=f(3); f(-2)=4=f(2); f(-1)=1=f(1). 实际上，x R，都有 22 ()()( )fxxxf x ，这时称函数 2 ( )f xx为偶函数. （老师让学生观察表格的内容，并说明发现什么，并让同学们仿照这个过程说明函数 ( )2g xx也是偶函数） 对于函数( )2g xx，有 g(-3)=-1=g(3); g(-2)=0=g(2); g(-1)=1=g(1). 实际上，x R，都有()22( )gxxxg x ，这时称函数( )2g xx为偶函 数. （分析完 g(x)后很自然的引出偶函数定义
4、） 定义：一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果xI ，都有xI ，且 f(-x)=f(x),那么 函数 f(x)就叫做偶函数. 探究二：探究二：奇函数奇函数 3 （老师在结合上面学习的知识的情况下， 让学生讨论两个函数图象的共同特征， 并用符 号语言精确描述） f(x)=x 的图象是一条直线，将该直线绕原点旋转 180 后与原直线重合，所以该直线关于 原点成中心对称. 1 ( )g x x 的图象为双曲线，将该双曲线绕原点旋转 180 后与原双曲线重合，所以该双 曲线关于原点成中心对称. 为了用符号语言描述这一特征，取特殊值观察相应的函数值情况，如下表 x -3 -2 -1 0 1 2
5、 3 f(x)=x -3 -2 -1 0 1 2 3 1 ( )g x x 1 3 1 2 -1 无意义 1 1 2 1 3 可以发现，当自变量 x 取一对相反数时，相应的函数值 f(x)也是一对相反数. 例如，对于函数 f(x)=x，有 f(-3)=-3=-f(3); f(-2)=-2=-f(2); f(-1)=-1=-f(1). 实际上，x R，都有 f(-x)=-x=-f(x).这时称函数 f(x)=x 为奇函数. （由学生来仿照这个过程，说明函数 1 ( )g x x 为奇函数） 对于函数 1 ( )g x x ，有 1 ( 3)(3), 3 gg 1 ( 2)(2), 2 gg (
6、1)1(1).gg 4 实际上，x R且0 x ，都有 1 ()( )gxg x x . 这时称函数 1 ( )g x x 为奇函数. （老师指导学生完成函数 1 ( )g x x 的分析后，自然的引出奇函数的定义） 定义：一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果xI ，都有xI ，且 f(-x)=-f(x)，那 么函数 f(x)就叫做奇函数. 常见函数（一次函数，反比例函数，二次函数）的奇偶性： 函数 奇偶性 一次函数 y=kx+b(k0) 当 b=0 时是奇函数；当 b0 时既不是奇函数 也不是偶函数 反比例函数(0) a ya x 奇函数 二次函数 2 (0)yaxbxc a 当 b
7、=0 时是偶函数；当 b0 时既不是奇函数 也不是偶函数 例例 6 判断下列函数的奇偶性： (1) 4 ( )f xx； (2) 5 ( )f xx； (3) 1 ( )f xx x ； (4) 2 1 ( )f x x . 解：(1)函数 4 ( )f xx的定义域为 R. 因为x R，都有x R，且 44 ()()( ),fxxxf x 所以，函数 4 ( )f xx为偶函数. (2)函数 5 ( )f xx的定义域为 R.因为x R， 都有x R， 55 ()()( )fxxxf x ， 所以，函数 5 ( )f xx为奇函数. (3)函数 1 ( )f xx x 的定义域为0 x x
8、.因为0 xx x ，都有0 xx x ，且 11 ()( )fxxxf x xx ，所以，函数 1 ( )f xx x 为奇函数. (4)函数 2 1 ( )f x x 的定义域为0 x x .因为0 xx x ，都有0 xx x ，且 22 11 ()( ) () fxf x xx ，所以，函数 2 1 ( )f x x 为偶函数. （完成例 6 后，老师留出时间让学生小组或单独完成思考题，最后在统一讲解） 5 思考： (1)判断函数 3 ( )f xxx的奇偶性. (2)如图是函数 3 ( )f xxx图象的一部分， 你能根据 f(x)的奇偶性 画出它在 y 轴左边的图象吗？ (3)一般
9、地，如果知道 y=f(x)为偶(奇)函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？ 答：(1)利用定义判断奇偶性.函数 3 ( )f xxx的定义域为 R，对每一个 x，都有 33 ()()()()( )fxxxxxf x ，即 f(x)是奇函数. (2)由奇函数的图象关于原定对称可画出 f(x)在 y 轴左边的图象，如图所示. (3)如果知道 y=f(x)为偶(奇)函数，在作它的图象时，只需作出 y 轴右侧的图象，然后利 用对称性作出 y 轴左侧的图象即可；在求()(0)fa a的值时，可先利用奇偶性处理掉括号 中的“-”在进行计算. （三）课堂练习（三）课堂练习 1.已知函数 2 ( ) xa f
10、 x x ,且(1)2f，判断并证明函数( )f x在其定义域上的奇偶性. 答案：( )f x在其定义域上为奇函数,证明如下: 由题意知( )f x的定义域为(,0)(0,). ( ),(1)12 a f xxfa x ,1a. 1 ( )f xx x . 又 1 ()( )fxxf x x ,f(x)为奇函数. 2.已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(-1)=1,f(27)=9, 当01x时,( )0,1f x . 判断 f(x)的奇偶性. 答案：令 y=-1,则 f(-x)=f(x)f(-1). ( 1)1f ,()( )fxf x,f(x)为偶函数.
11、3.函数 f x是 R 上的偶函数,且当0 x 时,函数的解析式为 2 ( )1f x x . （1）用定义证明: f x在0,上是减函数; （2）求当0 x 时,函数的解析式. 6 答案： （1）证明:设0ab, 222 11 ba f af b abab , 由0ab知, 2 0 ba ab , f af b, f x在0,上是减函数; （2）设0 x 时,则0 x ,所以 2 1fxf x x , 又 f x为偶函数,所以 2 1f xfx x . （四）小结作业（四）小结作业 小结： 1.本节课我们主要学习了哪些内容？ 2.奇函数，偶函数的定义 3.函数奇偶性的判定 作业： 四、板书设计四、板书设计 3.2.2 奇偶性 1.偶函数的定义 2.奇函数的定义
