1、12.6.2 质点系的角动量定理质点系的角动量定理1、质点系对固定点的角动量定理、质点系对固定点的角动量定理i质点对固定点质点对固定点O的角动量定理的角动量定理)()(11iiinjjiiivmrdtdfFr外设有一质点系，共有设有一质点系，共有n个质点，其第个质点，其第i个质点受力为个质点受力为11njjiifF外则则i质点对固定点质点对固定点o的角动量定理为的角动量定理为2对对i求和求和质点系对固定点质点系对固定点O的角动量定理的角动量定理)(1111iiinijinjiniiinivmrdtdfrFr外由于内力成对出现，每对内力对由于内力成对出现，每对内力对O的力矩之和为零，因此内的力矩
2、之和为零，因此内 力矩之总和为零，于是有力矩之总和为零，于是有)(11iiiniiinivmrdtdFr外（i)内力矩对系统的总角动量无贡献，（与质点系的动量定理内力矩对系统的总角动量无贡献，（与质点系的动量定理 相似）相似）niiiivmrdLddtMdtLdM1外外3(iii)质点系对固定点的角动量定理的物理意义：质点系对固定点的角动量定理的物理意义：质点系对质点系对o点的角动量随时间的变化率等于外力对该点力矩的矢量和。点的角动量随时间的变化率等于外力对该点力矩的矢量和。(ii)在质点系的情况下，求外力对固定点的力矩之和时，不能先求合力，再求合力在质点系的情况下，求外力对固定点的力矩之和时
3、，不能先求合力，再求合力矩。只能说外力矩之和不能说合外力之矩。矩。只能说外力矩之和不能说合外力之矩。42、质点系对轴的角动量定理、质点系对轴的角动量定理如果将作用于质点系上的外力矩之矢量和及质点系的角动量分别向给定轴投影，如果将作用于质点系上的外力矩之矢量和及质点系的角动量分别向给定轴投影，即可得质点系对轴的角动量定理。即可得质点系对轴的角动量定理。)sin(iiiiizvmrdtdM 式中式中 ri 为为 i 质点到质点到 z 轴的距离，轴的距离，i 是是 vi 与与 ri 间的夹角。间的夹角。若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度 作圆周运动，
4、则这时作圆周运动，则这时,1sin2iiiirv 且则有则有)(2iiizrmdtdM 为简单记只讨论沿为简单记只讨论沿z轴的角动量定理轴的角动量定理这时组成质点系的这时组成质点系的n个质点位于个质点位于z轴的转轴的转动平面内，于是有动平面内，于是有5将其与线动量将其与线动量相比相比vmp2iirmI若令 m 表示物体的平动惯性，则表示物体的平动惯性，则 I 表示转动惯性，故将表示转动惯性，故将 2iirmI命名为对轴的命名为对轴的转动惯量，转动惯量，（式中（式中 ri 为为 mi 到轴的距离）到轴的距离）IrmLii2则有3、转动惯量的引入、转动惯量的引入 即：即：若质点系内各质点均绕同一轴
5、、并以相同角速度若质点系内各质点均绕同一轴、并以相同角速度 作圆周运动，则这时系作圆周运动，则这时系统对轴的角动量为统对轴的角动量为IL dtIdrmdtdMiiiz)(2此时质点系对轴的角动量定理为此时质点系对轴的角动量定理为6 转动惯量计算举例：转动惯量计算举例：转动惯量的单位：千克转动惯量的单位：千克米米2（kgm2）4、转动惯量的计算、转动惯量的计算对于单个质点对于单个质点 2mrI 质点系质点系 niiirmI12dVrdmrImm22若物体质量连续分布若物体质量连续分布，7解(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直22dIx dmx dx2222112llIdIx dxml例例2.18如图
6、如图2.35所示，求质量为所示，求质量为m，长为，长为l的均匀细棒的转动惯量：的均匀细棒的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直；转轴通过棒的中心并与棒垂直；(2)转轴通过棒一端并与棒垂直转轴通过棒一端并与棒垂直.lm在棒上任取一质元，其长度为dx，距轴O的距离为x，设棒的线密度(即单位长度上的质量)为 ，则该质元的质量dmdx.该质元对中心轴的转动惯量为整个棒对中心轴的转动惯量为8(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为22013lIx dxml由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.9解(1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图2.36(a)
7、所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距离为R，则该质元对转轴的转动惯量为考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为dmRdI2222mmIdIR dmRdmmR例例2.192.19设质量为设质量为m m，半径为，半径为R R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.10则整个圆盘对中心轴的转动惯量为232dIr dmr dr320122RIdIr drmR(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许多半径不同的同
8、心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如图2.36(b)所示，其面积为dS2rdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量)，则小圆环的质量dmdS2rdr，该小圆环对中心轴的转动惯量为2mR以上计算表明，质量相同，转轴位置相同的刚体，由于质量分布不同，转动惯量不同.11(2)质量元的选取：质量元的选取：)(dldxdm或线分布线分布面分布面分布 dsdm体分布体分布 dvdm(1)刚体的转动惯量刚体的转动惯量 以上各例说明：以上各例说明：线分布线分布体分布体分布面分布面分布与刚体的总质量有关，与刚体的总质量有关，与刚体的质量分布有关，与刚体的质量分布有关，与轴的位置有关。与轴的位置有关
9、。12(3)由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对位移，对于给定的刚体其由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对位移，对于给定的刚体其质量分布不随时间变化，故对于质量分布不随时间变化，故对于 定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。定轴而言，刚体的转动惯量是一个常数。132.6.3 刚体的转动定律刚体的转动定律1、刚体定轴转动的角动量定理：、刚体定轴转动的角动量定理：当刚体作定轴转动时，所有质点均在各自的转动平面内以当刚体作定轴转动时，所有质点均在各自的转动平面内以相同角速度相同角速度 绕轴绕轴作作圆周运动，故有圆周运动，故有即刚体作定轴转动时，即刚体作定轴转动时，刚体对轴的角动量为刚体
10、对轴的角动量为IL 刚体对轴的角动量刚体对轴的角动量IrmLii2故刚体定轴转动的角动量定理为故刚体定轴转动的角动量定理为 dtIddtdLM142、刚体定轴转动的转动定理、刚体定轴转动的转动定理 由于刚体是一个特殊质点系，即刚体对给定轴的转动惯量是常数，故有由于刚体是一个特殊质点系，即刚体对给定轴的转动惯量是常数，故有IM 即：作定轴转动的刚体，其转动角加速度与外力对该轴的力矩之和成正比，与刚即：作定轴转动的刚体，其转动角加速度与外力对该轴的力矩之和成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。体对该轴的转动惯量成反比。其在定轴转动中的地位与牛顿定律在质点运动中地位相当。其在定轴转动中的地位与牛顿定
11、律在质点运动中地位相当。IdtdM dtdII 转动定律说明了转动定律说明了 I 是物体转动惯性大小的量度。因为：是物体转动惯性大小的量度。因为：IM一定时I15即即 I 越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性就越大；反之，越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性就越大；反之，I 越越小，越容易改变其转动状态，保持原有状态的能力越弱，或者说转动惯性越小。小，越容易改变其转动状态，保持原有状态的能力越弱，或者说转动惯性越小。如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若 受力和力矩一受力和力矩一样，谁转动得快些呢？样，谁转动得快些呢
12、？ZZIMMM16例例2.20如图如图2.37(a)所示，质量均为所示，质量均为m的两物体的两物体A，B.A放在倾角放在倾角为为的光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与的光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连相连.定滑轮是半定滑轮是半径为径为R的圆盘，其质量也为的圆盘，其质量也为m.物体运动时，绳与滑轮无相对滑动物体运动时，绳与滑轮无相对滑动.求绳中求绳中张力张力 和和 及物体的加速度及物体的加速度a(轮轴光滑轮轴光滑).1T2T1sinATmgma解物体A，B，定滑轮受力图见图2.37(b).对于作平动的物体A，B，分别由牛顿定律得2BmgTma1122,.TTTT又对定滑轮，由转
13、动定律得21T RT RI17由于绳不可伸长，所以ABaaR212ImR又联立式，得12+3sin5Tmg2(1-sin)5ABaag23+2sin5Tmg18例例2.21转动着的飞轮的转动惯量为转动着的飞轮的转动惯量为I，在，在t0时角速度为时角速度为 .此后飞轮经此后飞轮经历制动过程，阻力矩历制动过程，阻力矩M的大小与角速度的大小与角速度的平方成正比，比例系数为的平方成正比，比例系数为k(k为大于零的常数为大于零的常数)，当，当 时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？到现在经历的时间是多少？0013解(1)由题知 ，故由转动定律有
14、2Mk 2kI2kI 即将 代入，求得这时飞轮的角加速度为013209kI 19(2)为求经历的时间t，将转动定律写成微分方程的形式，即dMIIdt2dkIdt分离变量，并考虑到t0时，两边积分0001t320kdtId 013故当 时，制动经历的时间为02.Itk201、转动动能、转动动能221IkEikiEiiivm221iiirm2221iiirm22)(21 可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方可见，刚体的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方 乘积的一半。乘积的一半。注意比较注意比较EIk122转动动能转动动能Emvk122平动动能平动动能i质点的动能质点的动能 221
15、iikivmE 整个刚体的动能整个刚体的动能 对对i 求和求和2.6.4 定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理2221iirm212、力矩的功、力矩的功 对于对于i 质点其受外力为质点其受外力为 Fi，iiiiiirdFrdFdAcos对对 i 求和，当整个刚体转动求和，当整个刚体转动d ，则力矩的元功，则力矩的元功dMdAi 式中式中M 为作用于刚体上外力矩之和为作用于刚体上外力矩之和-其表明：其表明：力矩的元功等于力矩与角位移之乘积力矩的元功等于力矩与角位移之乘积（内力矩之和为零）内力矩之和为零）当刚体转过有限角时，力矩的功为当刚体转过有限角时，力矩的功为 21MdAiriFiirddid
16、simMiidsFdrFiidMiMddMi)(223、刚体定轴转动的动能定理：、刚体定轴转动的动能定理：21MdA)21(221IMd力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。2122212121IIdIddtdI21dtdtdI2121dI234、刚体的势能、刚体的势能 ciiiPmgygymE其中其中m为刚体的总质量为刚体的总质量,yc为刚为刚体质心的高度。体质心的高度。质量分布均匀而有一定几何形质量分布均匀而有一定几何形状的刚体，质心的位置为它的状的刚体，质心的位置为它的几何中心。几何中心。OXY miMCCviyCy24例例2.222.2
17、2如图如图2.392.39所示，一根质量为所示，一根质量为m m，长为，长为l l的均匀细棒的均匀细棒OAOA，可绕固定点，可绕固定点O O在竖直平面内转动在竖直平面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成成3030角时中心点角时中心点C C和端点和端点A A的速度的速度.解棒受力如图2.39所示，其中重力G对O轴的力矩大小等于 ，是的函数，轴的支持力对O轴的力矩为零.由转动动能定理，有cos2lmg222600mgcos dIII2222llll 等式左边的积分为重力矩的功.即60mgcos d()24GccllAmgmg h
18、h 末初式中 是棒的质心所在处相对棒的质心C在最低点(即棒在竖直位置处)的高度.ch25则中心点C和端点A的速度分别为1624clvgl将 及 代入式，得4GlAmg213Iml32gl162Avlgl261212122(mm)g2(mm)MMa例例2.23如图如图2.40所示，物体的质量为所示，物体的质量为 ，且，且 .圆盘状定滑圆盘状定滑轮的质量为轮的质量为 和和 ，半径为，半径为 ，质量均匀分布，质量均匀分布.绳轻且不可伸长绳轻且不可伸长，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑.试求当试求当 下降了下降了x距离时两物体距离时两物体的速度和加速度的速度和加速度.
19、1m2m1m2m1M2M2R1R1m解以两物体、两滑轮、地球成为一系统，故机械能守恒.以 下降x时的位置为重力势能零点，则有00AA外内非，1m22221221211221111mmm2m vm vII2222gxgxg x由于 ，可解得22112211122211M RM R22vRRII，12212124 mmgx2 mmMMv由于运动过程中物体所受合力为恒力，a为常数，2ax，故有2v27 1、对轴的角动量定理、对轴的角动量定理已知质点对轴的角动量定理的积分形式为已知质点对轴的角动量定理的积分形式为 可以证明，这个结论对刚体定轴转动同样成立，同时考虑到可以证明，这个结论对刚体定轴转动同样
20、成立，同时考虑到ILz00IIMdttt 即：刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在这段时间内角动量的增量。这一关系即：刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在这段时间内角动量的增量。这一关系称刚体的角动量定理。称刚体的角动量定理。ttzzLdtM02.6.5 刚体组对轴的角动量定理及其守恒定律刚体组对轴的角动量定理及其守恒定律282、定轴转动的角动量守恒、定轴转动的角动量守恒21)(ttIMdt若若 Mz外外0 0，恒量则IL 若外力对轴的力矩为零，则刚体（或刚体组）对轴的角动量守恒，称之为刚若外力对轴的力矩为零，则刚体（或刚体组）对轴的角动量守恒，称之为刚体对轴的角动量守恒定律。体对轴的角动量守恒定
21、律。若为刚体，当角动量守恒时，因若为刚体，当角动量守恒时，因I常数，则常数，则 亦为常数，亦为常数，这与转动定律是一致的。这与转动定律是一致的。dtLdM外293、物体组内各质点以相同角速度绕同一轴转、物体组内各质点以相同角速度绕同一轴转动时的角动量守恒动时的角动量守恒 I 可变，可变，亦可变，但仍有亦可变，但仍有I=常数，故常数，故有有 I130D:实际中的一些现象实际中的一些现象开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，必引起另一开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，必引起另一部分朝相反方向旋转。部分朝相反方向旋转。艺术美、人体美、物理美相互结合艺术美、人体美、物理美相互结合高！高！高！高！芭蕾舞
22、演员的高难动作芭蕾舞演员的高难动作314、刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒、刚体组绕同一轴转动时的角动量守恒 总角动量总角动量 常量2211IIL32解以飞轮A，B，啮合器C为系统.在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器之间的切向摩擦力.前者对轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩.系统所受合外力矩为零，所以系统的角动量守恒.即为两轮啮合后的共同角速度，于是AAABIII例例2.24在工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转在工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动动.如图如图2.44所示，所示，A和和B两飞轮的轴杆在同一中心线上两飞轮的轴杆在同一中心线
23、上.A轮的转动惯量轮的转动惯量为为 ，B轮的转动惯量为轮的转动惯量为 ，开始时，开始时A轮每分钟的轮每分钟的转速为转速为600转，转，B轮静止轮静止.C为摩擦啮合器为摩擦啮合器.求两轮啮合后的转速，在啮合求两轮啮合后的转速，在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？过程中，两轮的机械能有何变化？210AIkg m220BIkg m()AAABIII把各量代入上式，得20.9 rad/s.在啮合过程中，摩擦力矩作功，机械能不守恒，损失的机械能转化为内能.损失的机械能为224AAAB11I(II)1.32 1022EJ33解此题可分解为三个简单过程：(1)棒由水平位置下摆至竖直位置但尚未与物块相碰.此过
24、程机械能守恒.以棒、地球为一系统，以棒的重心在竖直位置时为重力势能零点，则有例例2.25如图如图2.45，质量为，质量为m，长为，长为l的均匀细棒，可绕过其一端的水平的均匀细棒，可绕过其一端的水平轴轴O转动转动.现将棒拉到水平位置现将棒拉到水平位置(OA)后放手，棒下摆到竖直位置后放手，棒下摆到竖直位置(OA)时，时，与静止放置在水平面与静止放置在水平面A处的质量为处的质量为M的物块作完全弹性碰撞，物体在水的物块作完全弹性碰撞，物体在水平面上向右滑行了一段距离平面上向右滑行了一段距离s后停止后停止.设物体与水平面间的摩擦系数设物体与水平面间的摩擦系数处处处相同，求证处相同，求证226m(m3M
25、)sl22211226lmgIml34(2)棒与物块作完全弹性碰撞，此过程角动量守恒(并非动量守恒)和机械能守恒，设碰撞后棒的角速度为，物块速度为v，则有(3)碰撞后物块在水平面滑行，其满足动能定理221133mlmllMv2222 21111123232mlmlMv 2102mgsMv联立以上四式，即可证得：226m(m3M)sl35 平平 动动 转转 动动 动量 角动量 动量定理 角动量定理 动量守恒定律 角动量守恒定律 动能定理 动能定理 机 械 能 守 恒 定 律 条件：（或只有保守力作功）0外AvmI0vmvmdtF冲量0IIMdt冲量矩恒量外vmF,0恒量外,M2022121mvmvrdFA2022121IIMdA恒量22121kxmghImvc0内非A质点平动与刚体定轴转动的对应关系质点平动与刚体定轴转动的对应关系cmgrdMdtLJsin 角速度36*2.6.6 旋进旋进陀螺高速自转的同时，对称轴还将绕竖直轴回转.这种回转现象称为旋进旋进，曾称进动.上式说明，旋进角速度与外力矩成正比，与自转角速度成反比.
