1、第四章 二元关系和函数本章主要内容:l集合的笛卡尔积与二元关系集合的笛卡尔积与二元关系l关系的运算l关系的性质l关系的闭包l等价关系和偏序关系l函数的定义和性质l函数的复合和反函数精品资料4.1 集合的笛卡儿积与二元关系定义4.1 由两个元素x和y(允许x=y)按一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对(也称序偶),记作,其中x是它的第一元素,y是它的第二元素。平面直角坐标系中点的坐标就是有序对,例如,(1,1),(1,1),都代表坐标系中不同的点。有序对的特点：1.当xy时,。2.两个有序对相等,即 的充分必要条件是xu且yv。定义4.2 一个有序n元组(n3)是一个有序对,其中第一个元素是一
2、个有序n1元组,一个有序n元组记作,即 ,xn 例如,空间直角坐标系中点的坐标,等都是有序3元组。n维空间中点的坐标或n维向量都是有序n元组。定义4.3 设A,B为集合,用A中元素为第一元素,B中元素为第二元素,构成有序对,所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积,记作AB。符号化表示为 AB|xAyB.例如,Aa,b,B0,1,2,则 AB,；BA,。如果A中有m个元素,B中有n个元素,则AB和BA中都有多少个元素?mn个若AB,则有xA和yB。若AB,则有xA或者y B.笛卡儿积运算的性质:1.若A,B中有一个空集,则它们的笛卡儿积是空集,即 BB 2.当AB且A,B都不是空集时,有
3、 ABBA。所以,笛卡儿积运算不适合交换律。3.当A,B,C都不是空集时,有 (AB)CA(BC).所以,笛卡儿积运算不适合结合律。4.笛卡儿积运算对或运算满足分配律即 A(BC)(AB)(AC)；(BC)A(BA)(CA)；A(BC)(AB)(AC)；(BC)A(BA)(CA)。证明 A(BC)(AB)(AC)证明 对于任意的,A(BC)xAyBC xA(yByC)(xAyB)(xAyC)ABAC (x,y)(AB)(AC).所以 A(BC)(AB)(AC)。例4.1 设A=1,2,求P(A)A 解 P(A)A ,1,2,1,21,2 ,例4.2 设A,B,C,D为任意集合,判断以下等式是否
4、成立,说明为什么。(1)(AB)(CD)(AC)(BD)；(2)(AB)(CD)(AC)(BD)；(3)(AB)(CD)(AC)(BD)；(4)(AB)(CD)(AC)(BD)。解.(1)成立.因为对于任意的,(AB)(CD)xAByCD xAxB yCyD AC BD (AC)(BD)(2)不成立。举一反例如下：若AD,BC1 则有：(AB)(CD)BC,(AC)(BD)。(3)和(4)都不成立例4.3 设A,B,C,D为任意集合,判断以下命题的真假.(1)若AC且BD,则有ABCD。(2)若ABCD,则有AC且BD.解(1)命题为真。请思考：为什么？(2)命题为假.当AB时,或者A且B时,
5、该命题的结论是成立的。但是当A和B之中仅有一个为时,结论不一定成立,例如,令ACD,B1,这时ABCD,但BD。定义4.4 设A1,A2,An是集合(n2),它们的n阶笛卡儿积,记作A1A2An,其中 AlA2An|x1Alx2A2xnAn。例如:A=a,b,则A3=,2020/10/2817作业P135l4.1 4.4(2)4.5二元关系Relation 所谓二元关系就是在集合中两个元素之间的某种相关性.例如,甲、乙、丙三个人进行乒乓球比赛,如果任何两个人之间都要赛一场,那么共要赛三场。假设三场比赛的结果是乙胜甲、甲胜丙、乙胜丙,这个结果可以记作,其中表示x胜y。它表示了集合甲,乙,丙中元素
6、之间的一种胜负关系.例子.有A,B,C三个人和四项工作,已知A可以从事工作,B可以从事工作,C可以从事工作,。那么人和工作之间的对应关系可以记作 R,。这是人的集合A,B,C到工作的集合,之间的关系。定义4.5 如果一个集合为空集或者它的元素都是有序对,则称这个集合是一个二元关系,一般记作R。对于二元关系R,如果R,则记作xRy；如果R,则记作定义4.6 设A,B为集合,AB的任何子集所定义的二元关系称作从A到B的二元关系,特别当AB时,则叫做A上的二元关系。l关系关系R A B,R is a relation from A to B.lR A A,R is a relation on A.A
7、上有多少个不同的二元关系?|A|=n|AA|=n2|P(AA)|=2n2每一个子集代表一个A上的关系,共2n2个关系.对于任何集合A都有3种特殊的关系:1.空关系 就是空集。2.全域关系EA3.恒等关系IA。定义4.7 对任何集合A,EAxAyAAA。IAxA。例如：A=0,1,2,则 EA,IA,2,2)。常用的三种关系:1.小于等于关系 例如:设A为实数集R的某个子集,则A上的小于等于关系定义为 LAx,yAxy2.整除关系设B为正整数集Z的某个子集,则B上的整除关系定义为 DBx,yBxy.例如:A=4,0.5,-1,B=1,2,3,6,则LA,.,DB,.3.包含关系例4.4 设Aa,
8、b,R是P(A)上的包含关系,R|x,yP(A)xy,则有P(A),a,b,A。R,.1.集合的表示 例如：设A1,2,3,4,A上的关系R,。2.关系图3.关系矩阵关系的三种表示：关系矩阵和关系图 设V是顶点的集合,E是有向边的集合,令VAx1,x2,xn,如果xiRxj,则有向边E.那么G就是R的关系图。设Ax1,x2,xn,R是A上的关系,则R的关系矩阵可表示为：2020/10/2829作业P135-136l4.8(2)-(4)本章主要内容:l集合的笛卡尔积与二元关系l关系的运算关系的运算l关系的性质l关系的闭包l等价关系和偏序关系l函数的定义和性质l函数的复合和反函数2020/10/2
9、831定理：设R,S为集合A上关系,则 RS、RS、RS、RS、R也是A上关系。例：设R,S为集合A=1,2,3上关系,R=,，S=,，则RS=RS=,，RS=R=AA-R=,4.2 关系的运算l关系R的定义域,值域和域l关系F的逆l关系F与G的合成l关系F在集合A上的限制l集合A在关系F下的象l关系R的n次幂定义4.8 关系R的定义域 domR,值域ranR和域fldR分别是 domRxy(R)ranRy|x(R)fldRdomRranR。domR就是R的所有有序对的第一个元素构成的集合,ranR就是R的所有有序对的第二个元素构成的集合.例:实数集R上的关系S=|x,yRx2+y2=1,do
10、mS=ranS=fldS=1,1.例4.5 下列关系都是整数集Z上的关系,分别求出它们的定义域和值域,(1)R1x,yZxy；(2)R2x,yZx2+y2=1；(3)R3x,yZy2x；(4)R4x,yZ x y=3。解(1)domR1ranR1Z.(2)R2,domR2ranR20,1,1.(3)domR3Z ranR32z|zZ,即偶数集 (4)domR4ranR4-3,3.从A到B的某些关系R的图解方法(不是R的关系图)1.用封闭的曲线表示R的定义域(或集合A)和值域(或集合B).2.从x到y画一个箭头,如果R逆、逆、复合复合 定义4.9 设F,G为任意的关系,A为集合,则(1)F的逆记
11、作F-1 F-1|yFx.(2)F与G的复合记作F G,F Gz(xFzzGy)例4.6 设F,G是N上的关系,其定义为 Fx,yNyx2 Gx,yNyx1。求:G F=?F G=?G-1=?解：1)对任何的xN有 F G(x)=G(F(x)=x2+1 F G=x,yN 3)对任何的xN有 G F(x)=F(G(x)=(x+1)2 G F=x,yN l由这个例子不难看出,合成运算不是可l交换的,即对任何关系F,G,一般说来F GG F.定理4.1 设F,G,H是任意的关系,则有l(3)(F G)HF (G H)l(4)l怎样证明?关系的基本运算的主要性质 定理4.2 设F,G,H为任意的关系,
12、则有(1)F (GH)=F GF H(2)(GH)F=G F H F(3)F (GH)F GF H(4)(GH)F G F H F怎样证明?定义4.10 设R为A上的关系,n为自然数,则R的n次幂规定如下：R0=IAR1=R0 R=R R0在有穷集A上给定了关系R和自然数n,求Rn的方法:l1.集合运算:依据定义l2.关系矩阵:用关系矩阵M表示关系R,计算MM,在两个矩阵相乘时,第i行第j列的元素rij满足下式(i,j=1,2,3,4)rij=ri1 r1j+ri2 r2j+ri3 r3j+ri4 r4j这里的加法+是逻辑加,即0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=13.关系图:对R的关
13、系图G中的任何一个结点x,考虑从x出发的长为n的路径,如果路径的终点是y,则在Rn的关系图中有一条从x到y的有向边.定理4.3 设R为A上的关系,m,n是自然数,则下面的等式成立.本章主要内容:l集合的笛卡尔积与二元关系l关系的运算l关系的性质关系的性质l关系的闭包l等价关系和偏序关系l函数的定义和性质l函数的复合和反函数2020/10/2846作业P136l4.10l4.11l4.134.3 关系的性质l设R是A上的关系,R的性质主要有以下5种：l自反性l反自反性l对称性l反对称性l传递性2020/10/2848定义定义1 设R是非空集合X上的二元关系。若对X中的每个元素x，都有 R，则称R
14、是X上的自反关系。例例1 设X=a,b,c,d，R=,由自反关系的定义知R是X上的自反关系。若R=,，则R是X上的恒等关系。由此可知恒等关系一定是自反关系，但自反关系不一定是恒由此可知恒等关系一定是自反关系，但自反关系不一定是恒等关系。等关系。2020/10/2849定义定义2 设R是非空集合X上的二元关系。若对X中的每个元素x，都有 R，则称R是X上的反自反关系。例例2 设X=a,b,c,d，R=,(a,d,由反自反关系的定义知R是X上的反自反关系。2020/10/2850定义定义3 设R是非空集合X上的二元关系。若对于任意的x,yX，当 R 时，有 R，则称R是X上的对称关系。例例1 设X
15、=a,b,c，R1=,，R2=,，R3=X2 由对称关系的定义知R1，R2，R3都是X上的对称关系。例例2 设R是实数集合，S=|xRyRx=y 由实数的性质知，当x=y时，有y=x，由对称关系的定义知S是R上的对称关系。推而广之，凡是相等关系都是对称关系。2020/10/2851定义定义4 设R是非空集合X上的二元关系。若对于任意的x,yX，当 R 且 x y时，有 R，则称R是X上的反对称关系。例例1 设R是实数集合，S=|xRyRxy 由实数的性质知，当xy且 yx时，有x=y，由反对称关系的定义知S是R上的反对称关系。2020/10/2852定义定义5 设R是非空集合X上的二元关系。若
16、对于任意的x,y,zX，当 R 且 R 时，有 R，则称R是X上的传递关系。例例1 设X=a,b,c,d，R=,由传递关系的定义知R是X上的传递关系。例例2 设X是平面上直线的集合，R=|xXyXxy 由平面几何的知识知，若xy 且yz，则 xz。由传递关系的定义知R是X上的传递关系。例例3 相等关系是传递关系。l全关系X2是自反的、对称的、传递的。l幺关系I 是自反的、对称的、反对称的、传递的。l空关系是反自反的、对称的、反对称的、传递的。判断下列关系的性质l集合A上的全域关系:自反的、对称的和传递的l恒等关系自反的、对称的和传递的.l整除关系自反的、反对称的和传递的l小于等于关系自反的、反
17、对称的和传递的l幂集上的包含关系自反的、反对称的和传递的l设A为非空集合:l1.A上的关系可以是自反的,反自反的,或者既不是自反的也不是反自反的.l例如:Q=1,2,3,令lR=,IQ RlR=,IQR=lR=,IQR且IQRl2.A上的关系可以是对称的,反对称的,或者既是对称的又是反对称的,既不是对称的也不是反对称的.l例如:Q=1,2,3,令lR=,R-1=RlR=,R R-1 IQ lR=R IQ lR=,lR R R是什么关系?例4.9 试判断图4.5中关系的性质。设R1,R2是A上的关系,如果经过某种运算后仍保持原来的性质,则在相对应的格内划,否则划。例：设R1,R2为A上的对称关系
18、,证明R1R2也是A上的对称关系。证明：对于任意的 R1R2 R1 R2 R1 R2 R1 R2所以,R1R2在A上是对称的。例:R1,R2 是A上的反对称关系,A=x1,x2,R1=,R2=,R1 R2=,不是A上的反对称关系.作业l4.7l 4.14l 4.17l 4.18l4.20l4.22l4.23l4.25本章主要内容:l集合的笛卡尔积与二元关系l关系的运算l关系的性质l关系的闭包关系的闭包l等价关系和偏序关系l函数的定义和性质l函数的复合和反函数2020/10/28624.4 关系的闭包定义4.11 设R是非空集合A上的关系,R的自反闭包对称闭包或传递闭包)是A上的关系R,且R满足
19、以下条件:(1)R是自反的(对称的或传递的)；(2)RR；(3)对A上的任何包含R的自反关系(对称或传递关系)R”都有R R”.一般将R的自反reflexive闭包记作r(R),对称symmetric闭包记作s(R),传递transitive闭包记作t(R)。2020/10/2863例4.10 设Aa,b,c,d,R,则R和r(R),s(R),t(R)的关系图如图4.6所示,2020/10/2864A上关系R的闭包l定理4.4 设R为非空集合A上的关系,则有(1)r(R)RR0；(2)s(R)RR-1；(3)t(R)=RR2R3(4)A是含有n个元素的集合t(R)=RR2R3Rk ,kn 20
20、20/10/2865例4.10 设Aa,b,c,d,R,则r(R),s(R),t(R)有解:(1)r(R)RR0 =,=,.,(2)s(R)RR-1 =,=,(3)t(R)=RR2R3 =,=,2020/10/2866闭包的矩阵表示(定理4.4的公式转换成矩阵表示）MrMEMs=M+MMt=M+M2+M3+其中E表示同阶的单位矩阵(主对角线元素为1,其他元素都是0)M表示M的转置,而+均表示矩阵中对应元素的逻辑加。2020/10/2867在例4.10中3个结果矩阵是:2020/10/2868作业设Aa,b,c,d,R,请画出R和r(R),s(R),t(R)的关系图本章主要内容:l集合的笛卡尔积
21、与二元关系l关系的运算l关系的性质l关系的闭包l等价关系和偏序关系等价关系和偏序关系l函数的定义和性质l函数的复合和反函数2020/10/28704.5 等价关系和偏序关系定义4.12 设R为非空集合A上的关系,如果R是自反的、对称的和传递的,则称R为A上的等价关系.对任何x,yA,如果x,y)等价关系R,则记作xy.2020/10/2871下面是一些等价关系的例子.(1)在一群人的集合上年龄相等的关系是等价关系,而朋友关系不一定是等价关系,因为它可能不是传递的.一般称这种自反的对称的关系为相容关系.显然等价关系都是相容关系,但相容关系不一定是等价关系.(2)动物是按种属分类的；“具有相同种属
22、”的关系是动物集合上的等价关系.(3)集合上的恒等关系和全域关系都是等价关系.(4)在同一平面上三角形之间的相似关系是等价关系,但直线间的平行关系不是等价关系,因为它不是自反的.2020/10/2872例4.11 A1,2,8,R|x,yAxy(mod 3),其中x-y(mod 3)的含义就是x-y可以被3整除.R为A上的等价关系,它的关系图如下所示,其中147,258,36.2020/10/2873把模3的等价关系推广,对任何正整数n可以定义整数集合Z上模n的等价关系.R|x,yZxy(mod n)例如,当n5时,整数之间的等价性满足:1050510,941611 832712 723813
23、,614914.2020/10/2874设R是非空集合A上的等价关系,则A上互相等价的元素构成了A的若干个子集,叫做等价类.定义4.13 设R是非空集合A上的等价关系,对任意的xA,令称 为x关于R的等价类,简称为x等价类,简记为x.在例4.11中有 1471,4,7,2582,5,8,36=3,6.2020/10/2875等价类的性质.定理4.5 设R是非空集合A上的等价关系,对任意的x,yA,下面的结论成立.(1)x,且xA；(2)若xRy,则x=y；(3)若xRy,则xy；(4)=A.2020/10/2876商集定义4.14 设R为非空集合A上的等价关系,以R的不交的等价类为元素的集合叫
24、做A在R下的商集,记作AR,AR xA.在例4.11中,A在R下的商集是A/R=1,4,7,2,5,8,3,6 例4.13(1)非空集合A上的恒等关系 是A上的等价关系,对任意xA有xx,商集A/=x|xA.2020/10/2877(2)在整数集合z上模n的等价关系,其等价类是0,2n,n,0,n,2n,=nz|nzZnZ,1,2n1,n十1,1,n1,2n1,=nz1zZnZ12,2n2,n2,2,n2,2n十2,=nz2zZnZ2,n1,2nn1,nn 1,n1,nn1,=nz+n 1zZ=nZ+n 1.商集为0,1,n12020/10/2878划分定义4.15 设A是非空集合,如果存在一
25、个A的子集族(P(A)满足以下条件(1)；(2)中任意两个元素不交；(3)中所有元素的并集等于A,则称为A的一个划分,且称中的元素为划分块.2020/10/2879例.考虑集合Aa,b,c,d的下列子集族(1)a,b,c,d,(2)a,b,c,d,(3)a,b,c,a,d,(4),a,b,c,d,(5)a,b,c,2020/10/2880例4.15 设A1,2,3,求出A上所有的等价关系.解:先求A的各种划分:只有1个划分块的划分1,具有两个划分块的划分2,3和4,具有3个划分块的划分5,请看下图|2020/10/2881设对应于划分i的等价关系为Ri,i1,2,5.则有R5,IA；R1,IA
26、EA；R2,IA；.R3,IA；R4,IA.2020/10/2882作业P137l4.31l4.32l4.33l4.34l4.35l4.372020/10/2883偏序关系定义4.1 设R为非空集合A上的关系,如果R是自反的、反对称的和传递的,则称R为A上的偏序关系.简称偏序,记作.任何集合A上的恒等关系,集合的幂集P(A)上的包含关系,实数集上的小于等于关系,正整数集上的整除关系都是偏序关系.2020/10/2884l定义4.17 一个集合A与A上的偏序关系R一起叫做偏序集,记作.l定义4.18 设为偏序集,对于任意的x,yA,如果xy或者yx成立,则称x与y是可比的,如果xy(即xyxy)
27、,且不存在zA使得xzy,则称y盖住x.2020/10/2885例如,是偏序集,其中A1,2,3,4,5,是整除关系.那么,对任意xA都有1x,所以,1和1,2,3,4,5都是可比的,但是2不能整除3,3也不能整除2,所以2和3是不可比的.对于1和2来说,12,并且不存在zA使得1整除z并且z整除2,所以,2盖住 1.同样,4盖住2,但4不盖住1,因为有124成立.显然,如果x与y不可比,则一定不会有x盖住y或y盖住x.2020/10/2886全序关系l 定义4.19 设为偏序集,若对任意的:x,yA,x和y都可比,则称为A上的全序关系,且称为全序集.例如,1,2,3,4,5上的小于等于关系是
28、全序关系,而整除关系不是全序关系.2020/10/2887例4.16 画出和的哈斯图.解:哈斯图如图4,9所示2020/10/2888例4.17 设偏序集的哈斯图如图所示,求出集合A的偏序.解 Aa,b,c,d,e,f,g,h.,IA.2020/10/2889最大元,最小元,极大元,极小元定义4.20 设为偏序集,B A.y是B的最小元:若yB,使得x(xByx)y是B的最大元:若yB,使得x(xBxy)y是B的极小元:若yB,使得x(xBxy)y是B的极大元:若yB,使得x(xByx)2020/10/2890上界,下界,上确界,下确界定义4.21 设为偏序集,BA.y是B的上界:若yA,使得
29、x(xBxy)y是B的下界:若yA,使得x(xByx)B的最小上界或上确界:令Cy|y为B的上界,则称C的最小元为上确界B的最大下界或下确界:令Dy|y为B的下界,则称D的最大元为下确界2020/10/2891 在图4.9中,如果B2,3,6,B的上界?最小上界?B的下界?最大下界?B的上界是6和12,最小上界是6,B的下界是1,最大下界也是1.而在图4.10中,令Bc,d,e,问题同上。则B的上界和最小上界都是e,B的下界为a,b,但B没有最大下界.如果最小上界或最大下界存在,一定是唯一的.2020/10/2892 一些结论：（1）最大（小）元未必存在，若存在则必唯一；（2）极大（小）元必存
30、在，但不唯一；（3）最大（小）元也必须是极大（小）元；（4）上（下）界未必存在，若存在也未必唯一；（5）上（下）确界未必存在，若存在则必唯一；（6）若a是子集B的最大（小）元，则a必是子 集B的上（下）确界；反之，若a是子集B 的上（下）确界且a B，则a必是B的最 大（小）元。2020/10/2893作业P138-139l4.40l4.41l4.42l4.43l4.45l4.46(3)(4)本章主要内容:l集合的笛卡尔积与二元关系l关系的运算l关系的性质l关系的闭包l等价关系和偏序关系l函数的定义和性质函数的定义和性质l函数的复合和反函数2020/10/2895 4.6 函数的定义和性质l定
31、义4.22 设X,Y为集合，F为X到Y二元关系,若对任意的xdomF都存在唯一的yranF使得xFy成立,则称F为函数.例如,如下关系 X=x1,x2,x3 Y=y1,y2F1,是函数F2,不是函数,因为对于x1domF有x1Fy1,x1Fy2同时成立.2020/10/2896如果函数F,则记作 F(x)y,称y是F在x的函数值.l 定义4.23 设A,B是集合,如果函数f满足以下条件 (1)domfA,(2)ranfB,则称f是从A到B的函数,记作f:AB.l定义4.24 设A,B为集合,所有从A到B的函数构成集合BA,读作“B上A”.即 BA=f|f:AB,2020/10/2897l例2：
32、设P是一个程序，输入输出都是整数，(m,n)fP意为输入m时程序运行输出n。则fP是一个函数。l例3：标识图是一个图，每个顶点或每条边或两者都带有标记。例如一个图的顶点代表一个城市，边代表两个城市之间的距离。设V是顶点集，L是标记集，则f：VL是一个函数。用E作边集，g：EL，也是一个函数。2020/10/2898例如A0,1,2,Ba,b,则BA=f1,f2,f8 f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,f8=,.|A|=m,|B|=n,m,n不是0,|BA|=?2020/10/2899l 定义4.25 设f:AB,AA,则A在f下的象是 f(A)f(x)|xAfA,当AA时,称f(A)=
33、f(A)ranf是函数的象.2020/10/28100函数的性质l 定义4.26 设函数f:AB.(1)若ranfB,则称f是满射的(或到上的)(2)若对于任何的x1,x2 A,x1x2,都有f(x1)f(x2),则称f是单射的(或一一的),(3)若f既是满射的,又是单射的,则称f是双射的(或一一到上的)2020/10/28101例如,函数f:1,20,f(1)f(2)0,那么f是满射的,但不是单射的.函数f:NN,f(x)2x是单射的,但不是满射的,因为ranf不含有奇数,即ranfN.而函数f:ZZ,f(x)=x1是双射的.2020/10/28102l定理.设A，B都是有限集，|A|=|B
34、|,lf：AB是一个函数,处处有定义。lf一一f满。lf满f一一。2020/10/28103 例4.18 分别确定以下各题中的f是否为从A到B的函数,并对其中的f:AB指出它是否为单射、满射或双射的.如果不是,请说明理由.(1)A1,2,3,4,5,B6,7,8,9,10,f=,.2020/10/28104(2)A1,2,3,4,5,B6,7,8,9,10,f,.(3)A1,2,3,4,5,B6,7,8,9,10,f,.2020/10/28105(3)A,B为实数集 f(x)=x3 .双射(4)A,B为实数集 f(x)=不是函数(5)A,B为正整数集,f(x)x1.是单射，不是满射2020/1
35、0/28106(6)A,B为正整数集是单射不是满射。因为f(1)=f(2)=12020/10/28107例:判断以下函数的单射、满射和双射 f:R R-R R,R为实数集，f()=(x+y,x-y)(2)f:N N-N,N为自然数集0 N,f()=|x2-y2|2020/10/28108例:判断以下函数的单射、满射和双射；求A在f下的像f(A)l(1)f:R-R,f(x)=x,A=6l 2）f:N-N N，f(x)=,A=2,5l 3)f:Z-N，f(x)=|x|,A=-1,22020/10/28109l 定义：函数相等、包含l 设f:A B,g:C D,如果A=C，B=D,且对每个x A,有
36、f(x)=g(x),称函数f等于g,记为f=g.l 如果A C，B=D,且对每个x A,有f(x)=g(x),称函数f包含于g,记为f g.2020/10/28110空函数l 设X,Y为集合，l（1）当X=时，X到Y的空关系为一函数，称为空函数。l（2）当X 且Y=时,X到Y的空关系不是一函数2020/10/28111(1)设:AB,如果存在yB使得对所有的xA都有f(x)y,则称f:AB是常函数.(2)A上的恒等关系IA就是A上的恒等函数,对于所有的xA有IA(x)=x.(3)设f:RR,对于任意的x1,x2 R,如果x1x2则有f(x1)f(x2),称y为单调递增的.如果x1x2则有f(x
37、1)f(x2),就称f为严格单调递增的.类似地也可以定义单调递减和严格单调递减的函数,它们统称为单调函数.(4)设A为集合,对于任意的AA,A的特征函数 :A0,1定义为2020/10/28112(5)设R是A上的等价关系,定义一个从A到A/R的函数g:A A/R且g(a)a,它把A中的元素a映到a的等价类a.我们称g是从A到商集A/R的自然映射.例如,A1,2,3,R,IA,则有 g(1)g(2)1,2,g(3)3.2020/10/28113作业P139l4.49(3)-(4)l4.54l4.55本章主要内容:l集合的笛卡尔积与二元关系l关系的运算l关系的性质l关系的闭包l等价关系和偏序关系
38、l函数的定义和性质l函数的复合和反函数函数的复合和反函数2020/10/281154.9 函数的复合和反函数定理9.1 设 f:X Y,g:Y Z,那么合成关系f g为X-Z的函数。证明：（1）先证明Dom(f g)=X.因为对任意xX，有y=f(x);又对任意yY,有z=g(y);所以 z=g(f(x)=f g(x)(2)证明单值性假设任意xX,有两个z1,z2,使得z1=fg(x）z2=f g(x）)，由定义，存在y1,y2,使得y1=f(x),z1=g(y1);y2=f(x),z2=g(y2);因f是函数，得y1=y2,又因g是函数，得z1=z22020/10/28116116例4.21
39、 设f,g,h RR,且有 f(x)x3,g(x)2x1,h(x)x/2.求g g,h f,g h,f h,f h g(x)g g(x)=g(g(x)2(2x1)1=4x3；g g=(x,4x+3h f=；g h=f h；f h g(x)g(h(f(x)=g(h(x+3)=g(x+3)/2)=2 (x3)/2)+1=x+42020/10/28117定理4.9.3 设f:AB,g:B C,(1)如果f,g是满射的,则f g:AC也是满射的.(2)如果f,g是单射的,则f g:AC也是单射的.(3)如果f,g是双射的,则f g:AC也是双射的.2020/10/28118函数的反函数定理4.9.5
40、设f:AB是双射的,则f-1是函数,并且是从B到A的双射函数.2020/10/28119对双射函数f:AB,称f-1:BA是f的反函数.对任何双射函数f:AB及其反函数f-1:BA,它们的复合函数都是恒等函数,且满足 （1）f-1 f IB,f f-1=IA （2）（f-1）-1=f2020/10/28120定理4.9.7 设 f:X Y,g:Y Z都是可以可逆的，那么复合关系f g也是可逆的，且 (f g)-1=g-1 f-1 2020/10/28121例4.21 设f,g,h RR,且有 f(x)x2-2,g(x)x4.求 (1)fg,gf (2)判断 fg,gf是否为单射、满射和双射 （3）求f,g,fg,gf中可逆的反函数2020/10/28122本章 重点l集合的笛卡尔积与二元关系l关系的运算：关系的逆运算、复合运算、闭包运算。计算、证明l关系的性质：判断、证明l等价关系、等价类、商集、划分间的关系l偏序关系:哈斯图、8个值的计算l函数的定义和性质（单射,满射,双射）l函数的复合和反函数
