1、第四节圆轴扭转时的应力第四节圆轴扭转时的应力变形应变分布应力公式应力分布应力分析方法及过程：应力分析方法及过程：静力方程静力方程平面假设平面假设物性关系物性关系第四节圆轴扭转时的应力第四节圆轴扭转时的应力1、平面假设 变形前在圆轴上画出母线和圆周线变形特点：1、各圆周线的形状、尺寸和间距保持不变，只是绕轴线作相对转动。2、各母线仍为直线，但都倾斜了一相同的角度。第四节圆轴扭转时的应力第四节圆轴扭转时的应力平面假设平面假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为平面，且其形状和大小以及相邻横截面间的距平面，且其形状和大小以及相邻横截面间的距离保持不变，半径仍保持为直线。离
2、保持不变，半径仍保持为直线。平面假设不适合非圆截面扭转0第四节圆轴扭转时的应力第四节圆轴扭转时的应力2、几何方程aa =Rd =Raa d dxdx最外层剪应变：距圆心为 处的剪应变(应变分布):dxd 000第四节圆轴扭转时的应力第四节圆轴扭转时的应力3、物理方程由剪切胡克定律：GdxdG 结论：结论：与与 成正比成正比(应力分布应力分布)dxdGR max最大剪应力：最大剪应力：A dA=T第四节圆轴扭转时的应力第四节圆轴扭转时的应力4、静力方程：dddAdxdG dAdxdGTA2 Ip 第四节圆轴扭转时的应力第四节圆轴扭转时的应力32420032DdddAIRp dxdGITp（这个关
3、系以后还要用）（这个关系以后还要用）T Ip第四节圆轴扭转时的应力第四节圆轴扭转时的应力dxdG pGITdxd圆轴扭转剪应力计算公式圆轴扭转剪应力计算公式圆轴扭转时横截面上的最大圆轴扭转时横截面上的最大剪剪应力应力当当 R 时，时，max max=TWtWt 扭转截面系数扭转截面系数第四节第四节 圆轴扭转时的应力（强度问题）圆轴扭转时的应力（强度问题）Wt=RIp T Ip强度条件：强度条件：maxmax tWTIpd 432Wt=d 316IpD 432(1-4)Wt=D 316(1-4)=d/D对于实心圆截面对于实心圆截面对于圆环截面对于圆环截面第四节圆轴扭转时的应力第四节圆轴扭转时的应
4、力例例 题题一一第四节圆轴扭转时的应力第四节圆轴扭转时的应力 实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌离合器相联。已知轴的转速n=100r/min，传递的功率P7.5kW,许用剪应力40MPa，空心圆轴的内外径之比 =0.5。：实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。解：解：(1)对于实心轴对于实心轴PT=9549n7.5=9549 100=716.2 N.m max=Wt116 TT=d13=40 MPa=0.045 m=45 mmd1=16 716.2 40 1063第四节圆轴扭转时的应力第四节圆轴扭转时的应力 max=40 MPaWt2T16 T=D23(1-4)=0.046 m=46 mmD2=16 7
5、16.2 (1-0.5 4)40 106d 2=0.5D2=23 mmA1A2=d12D22(1-2)=1.28第四节圆轴扭转时的应力第四节圆轴扭转时的应力例二：某传动轴设计要求转速例二：某传动轴设计要求转速n=500 r/min，输入功率输入功率N1=500 马力，马力，输出功率分别输出功率分别 N2=200马力及马力及 N3=300马力，已知：马力，已知：G=80GPa，=70M Pa，试确定：试确定：AB 段直径段直径 d1和和 BC 段直径段直径 d2？若全轴选同一直径，应为多少？若全轴选同一直径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排合理？主动轮与从动轮如何安排合理？解：图示状态下,扭矩如
6、 图，由强度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)m)(kN024.7nNm第四节圆轴扭转时的应力第四节圆轴扭转时的应力16 31TdWt 67.4mm10703.1442101616Td3632 mm80107014.3702416163631Td500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm)第四节圆轴扭转时的应力第四节圆轴扭转时的应力全轴选同一直径时 mm801 dd 轴上的轴上的绝对值绝对值最大最大的的扭矩扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1轮和轮和2轮应轮应 该该换换位。位。换位后换位后,轴的扭矩如图所示轴的扭矩如图所示,此时此时
7、,轴的最大直径才轴的最大直径才 为为 6868mm。Tx 4.21(kNm)2.814第四节圆轴扭转时的应力第四节圆轴扭转时的应力第四节圆轴扭转时的应力第四节圆轴扭转时的应力例题三：用横截面用横截面ABE、CDF和包含轴线的纵向面和包含轴线的纵向面ABCD从受扭圆轴中截出一部分。根据剪应力互等定从受扭圆轴中截出一部分。根据剪应力互等定理，纵向截面上的剪应力已表示于图中。这一纵向截理，纵向截面上的剪应力已表示于图中。这一纵向截面上的内力最终将组成一个力偶。试问它与这一截出面上的内力最终将组成一个力偶。试问它与这一截出部分上的什么内力平衡？部分上的什么内力平衡？ABCDEFmm第四节圆轴扭转时的应
8、力第四节圆轴扭转时的应力ABCDEFxyz解：解：1、计算水平截面剪应力所构、计算水平截面剪应力所构 成的和力偶成的和力偶设：设：AD=l，则则dAy=l d DADCB d xzdMy=dAy pIm 而：所以：DmlldImdAMARRy 38第四节圆轴扭转时的应力第四节圆轴扭转时的应力2、横截面上的剪应力所构成的力偶、横截面上的剪应力所构成的力偶zy ABCDEFxyzDCF只有在只有在 z 方向力的分量才能方向力的分量才能构成绕构成绕 y 轴的力偶轴的力偶ldAMdxysinDmldImlddAlMRpAxy38sinsin00lF zp-第五第五 圆轴扭转时的变形（刚度问题）圆轴扭转
9、时的变形（刚度问题）=d d d dxTGIp pd d=d dxTGIp pllpdxGIT0 ABTGIp pl第五节圆轴扭转时的变形第五节圆轴扭转时的变形若两截面间T值不变，且为等直径杆，则为T/GIp p常数，于是：对于阶梯轴：,1ABABnipiiiGIlT绝对刚度条件刚度条件：/m)(rad/mpGITdxd一般轴，一般轴，=0.51/m；精密轴，精密轴，=0.250.5/m 例四例四 本题作为例二的继续考虑当本题作为例二的继续考虑当 =1/m时，试确定：时，试确定：AB 段直径段直径 d1和和 BC 段直径段直径 d2？若全轴选同一直径，应为多少？若全轴选同一直径，应为多少？主动
10、轮与从动轮如何安排合理？主动轮与从动轮如何安排合理？（传动轴设计要求转速（传动轴设计要求转速n=500 r/min，输入功率输入功率N1=500 马力，马力，输出功输出功率分别率分别 N2=200马力及马力及 N3=300马力，已知：马力，已知：G=80GPa）解：在图示受扭状态下,扭矩图与前相同，由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)第五节圆轴扭转时的变形第五节圆轴扭转时的变形/m)(rad/mpGITdxd mm47411080143180421032 3249242.GTd mm8411080143180702432 3249241 .GTd mm
11、75 mm8521 d,d综上：全轴选同一直径时 mm851 dd第五节圆轴扭转时的变形第五节圆轴扭转时的变形 32 4 GTdIp 轴上的轴上的绝对值绝对值最大最大的的扭矩扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1轮和轮和2轮应轮应 该该换换位。位。换位后换位后,轴的扭矩如图所示轴的扭矩如图所示,此时此时,轴的最大直径才轴的最大直径才 为为 75 75mm。Tx 4.21(kNm)2.814第五节圆轴扭转时的变形第五节圆轴扭转时的变形第五节圆轴扭转时的变形第五节圆轴扭转时的变形例五例五：设有A、B两个凸缘的圆轴，在扭转力偶矩m作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除
12、m。设轴和筒的抗扭刚度分别是G1Ip1和G2Ip2，求轴内和筒内的扭矩。1 2 aaABlABmm第五节圆轴扭转时的变形第五节圆轴扭转时的变形分析：分析：在外加力偶矩m的作用下，凸缘轴产生转角，轴横截面上剪应力对轴心的和力偶矩大小等于m。凸缘与筒焊在一起并撤掉m后，圆轴要恢复变形，圆筒要阻抗变形。此时轴内的扭矩为T1，圆筒内的扭矩为T2。由于已没有外力矩，所以：T1T2=0这是一个静不定问题，需要补充变形协调方程变形协调方程。第五节圆轴扭转时的变形第五节圆轴扭转时的变形在m的作用下，凸缘轴转角：11pIGml 解除m后，轴的转角不能完全恢复，最后协调位置是a-a，设圆轴的残余角是 1，圆筒的转
13、角是 2，则：1+2=而：1111pIGlT 2222pIGlT 22112221pppIGIGImGTT第七节非圆截面杆扭转的概念第七节非圆截面杆扭转的概念第七节非圆截面杆扭转的概念第七节非圆截面杆扭转的概念1、自由扭转与约束扭转 若扭转时翘曲不受限制则称为自由扭转。由于翘曲不受限制，纵向纤维长度无变化，故横截面上只有剪应力而无正应力。若扭转时翘曲受到限制则称为约束扭转。由于翘曲程度不同，纵向纤维长度不同，故横截面上存在正应力。矩形和椭圆形截面杆，约束扭转而引起的正应力很小，与自由扭转并无多大差别。薄壁杆件（工字钢、槽钢），约束扭转而引起的正应力很大。第七节非圆截面杆扭转的概念第七节非圆截面杆扭转的概念2、矩形截面轴扭转弹性理论：弹性理论：横截面边缘各点处剪应力均横截面边缘各点处剪应力均 平行于截面周边；平行于截面周边；角点处剪应力为零；角点处剪应力为零；最大剪应力发生在长边中点处最大剪应力发生在长边中点处hb 1 maxBABA第七节非圆截面杆扭转的概念第七节非圆截面杆扭转的概念2maxhbT max1 2hbGTL 当：10bh31 ；以 表示短边，则：231max hT231 hGTLad 圆max 正max0.737 园 正0.866圆轴好圆轴好于方轴于方轴作作 业业第一次第一次3.1，3.6
