1、24.6 正多边形与圆正多边形与圆第第1课时课时学习目标1.理解正多边形与圆的关系；2.能用尺规作出特殊的正多边形，并设计画出各种相关图案；3.在探索正多边形与圆的关系的过程中，感受以特殊代替一般的证明方法，发展学生的逻辑思维能力和推理能力；4.学生经历观察、发现、探究等数学活动，从中获得成功的体验，增强学习数学的自信心.正多边形与圆复习回顾我们在七年级曾介绍过画正五角星，你还记得是怎么画的吗？(1)任意画一个圆；(2)以圆心为顶点，利用量角器接连画出五个72(3605)角，这些角的边分别与圆周交于五个点；(3)用线段连接相间的点；(4)适当修饰后，即得五角星.ABCDEO你知道这样画的道理吗
2、？什么样的多边形叫做正多边形呢？复习回顾 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.能否从下图中找出正多边形？合作探究 正多边形与圆有非常密切的关系，给你一个圆，如何作出一个正多边形呢？把一个圆分成n条相等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.外切正n边形内接正n边形等弦等弧等分圆周ABCDEO 五边形ABCDE是 O的内接正五边形，五边形PQRST是 O的外切正五边形.合作探究PTQRS你能证明这个结论吗？如图，点A，B，C，D，E在 O上，且有 ，TP，PQ，QR，RS，ST分别是以点A，B，C，D，E为切点的 O的切线.于是有：ABBCCDDEEA俩人一组合作完成ABCDEOPTQ
3、RS.ABBCCDDEEA3BCECDAAB12.2345.同理得 顶点A、B、C、D、E都在 O上，五边形ABCDE是 O的内接正五边形.ABBCCDDEEA证明：由 ，得12345证明求证：五边形ABCDE是 O的内接正五边形.各边相等各角相等 如图，点A，B，C，D，E在 O上，且有 ，TP，PQ，QR，RS，ST分别是以点A，B，C，D，E为切点的 O的切线.ABBCCDDEEA 如图，点A，B，C，D，E在 O上，且有 ，TP，PQ，QR，RS，ST分别是以点A，B，C，D，E为切点的 O的切线.ABBCCDDEEAPTQRS证明：连接OA，OB，OC，则 OAB=OBA=OBC=O
4、CB.TP，PQ，QR分别是以点A，B，C为切点的 O的切线.OAP=OBP=OBQ=OCQ.PAB=PBA=QBC=QCB.证明求证：五边形PQRST是 O的外切正五边形.ABBC又 ，AB=BC.ABCDEO 如图，点A，B，C，D，E在 O上，且有 ，TP，PQ，QR，RS，ST分别是以点A，B，C，D，E为切点的 O的切线.ABBCCDDEEA五边形PQRST的各边都与 O相切，五边形PQRST是 O的外切正五边形.PAB QBC.P=Q，PQ=2PA.同理得 Q=R=S=T，QR=RS=ST=TP=2PA.证明求证：五边形PQRST是 O的外切正五边形.PTQRSABCDEO各边相等
5、各角相等思考 由上可知，通过等分圆周的方法能作出正n边形.你能说出作正n边形的过程和原理吗？由在同圆中相等的弦所对的弧相等可知，在同一个圆中，先用量角器作一个等于 的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的 ，然后在圆周上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等份点，从而作出正n边形.1n360n正五角星就是这样作出的用量角器等分圆周还有其他的等分圆周的方法吗？探究 如何在圆中作正四边形？如图，用直尺和圆规作 O 的两条互相垂直的直径(先任意画一条直径，再利用圆规作出直径的垂直平分线)，就可以把 O分成4等份，顺次连接各分点即可作出正四边形.用尺规等分圆周 在正四边形的基础上，我们再逐次平分各边所对的弧，
6、就可以作出正八边形、正十六边形等.归纳等分圆周的方法用量角器等分圆周12用尺规等分圆周分析EFCDAB 【例】如图，在一个半径为2 cm的圆中，作出它的内接正六边形.正六边形的各边所对的圆心角是多少？O2 cm.602 cm360606=OEF为等边三角形正六边形的边长等于半径典型例题小组合作1.独立思考，作出图形；2.两人一组，交流作法.(1)任意画一条半径；(2)用量角器画一个60的圆心角，得到它所对的弧；(3)用圆规在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的六等份点；(4)顺次连接各分点得到正六边形.用量角器等分圆周 作法：典型例题 【例】如图，在一个半径为2 cm的圆中，作出它的内接正六
7、边形.还有其他的作法吗？由于正六边形的边长等于半径，所以在半径为2 cm的圆上依次截取等于2 cm的弦，就可以得到圆的六等份点，顺次连接各分点即可得到圆的内接正六边形.在正六边形的基础上，逐次等分各边所对的弧，就可作出正十二边形、正二十四边形等.用尺规等分圆周连接6等份圆周的相间两个点，可得到正三角形.典型例题 【例】如图，在一个半径为2 cm的圆中，作出它的内接正六边形.随堂练习1.求下列正多边形每个内角及其外角的度数：(1)正五边形；(2)正八边形；(3)正十二边形.提示多边形的内角和=(n2)180正多边形的每个内角=(2)180nn解：(1)108，72；(2)135，45；(3)15
8、0，30.随堂练习 2.用两种方法作已知 O的内接正八边形.AEOCBFDGH360458=45方法一随堂练习 2.用两种方法作已知 O的内接正八边形.随堂练习 2.用两种方法作已知 O的内接正八边形.AEOCGDFHBRR大于R方法二随堂练习 2.用两种方法作已知 O的内接正八边形.方法二：用直尺和圆规画正八边形：先任意画出一条直径，利用圆规作出直径的垂直平分线，得圆的四等份点，再作90圆心角的角平分线得八等份点，最后顺次连接各分点得到正八边形.正多边形与圆的关系：正多边形与圆的关系：正多边形与圆等分圆周的方法：等分圆周的方法：正多边形与圆有非常密切的关系，把一个圆分成n条相等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.用量角器等分圆周；用尺规等分圆周.12
