1、第四章第四章 曲线运动曲线运动 万有引力万有引力 第第1 1课时课时 曲线运动曲线运动 运动的合成与分解运动的合成与分解 沿切线方向沿切线方向 所以曲线运动是变速所以曲线运动是变速 1：曲线运动的定义：物体运动的轨迹是 一条曲线 2.曲线运动的方向： 2.曲线运动的性质： 曲线运动的方向时刻改变 2 2物体做曲线运动的条件物体做曲线运动的条件 ( (1 1) )从动力学角度看从动力学角度看，如果物体所受合外力方如果物体所受合外力方 向跟物体的向跟物体的 方向不在同一方向不在同一 条直线上条直线上，物体就做曲线运动物体就做曲线运动 ( (2 2) )从运动学角度看从运动学角度看，就是加速度方向就
2、是加速度方向 与与 方向不在同一条直线上方向不在同一条直线上经常经常 研究的曲线运动有平抛运动和匀速圆周运研究的曲线运动有平抛运动和匀速圆周运 动动 速度速度 速度速度 考点一考点一 物体做曲线运动的条件及轨迹分析物体做曲线运动的条件及轨迹分析 1条件：物体受到的合外力不初速度丌共线 2合外力方向不轨迹的关系 物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向不速度方向之间，速度 方向不轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧 3速率变化情况判断 (1)当合外力方向不速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大； (2)当合外力方向不速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小； (3)当合外力方向不速度方向垂直时，物
3、体的速率丌变 【例【例 1 1】质量为质量为m m的物体，在的物体，在F F1 1、F F2 2、F F3 3三个三个 共点力的作用下做匀速直线运动，保持共点力的作用下做匀速直线运动，保持F F1 1、 F F2 2不变，仅将不变，仅将F F3 3的方向改变的方向改变 90(90(大小不变大小不变) ) 后，物体可能做后，物体可能做 ( ( ) ) A A加速度大小为加速度大小为F F 3 3 m m 的匀变速直线运动的匀变速直线运动 B B加速度大小为加速度大小为 3 3F F3 3 2 2m m 的匀变速直线运动的匀变速直线运动 C C加速度大小为加速度大小为 2 2F F3 3 m m
4、的匀变速曲线运动的匀变速曲线运动 D D匀速直线运动匀速直线运动 F1 F2 F3 F3 F3 物体在物体在F F1 1、F F2 2、F F3 3三个共点力作用下做匀速直三个共点力作用下做匀速直 线运动，必有线运动，必有F F3 3与与F F1 1、F F2 2的合力等大反向的合力等大反向 当当F F3 3大小不变，方向改变大小不变，方向改变 9090时，时，F F1 1、F F2 2的合的合 力大小仍为力大小仍为F F3 3，方向与改变方向后的，方向与改变方向后的F F3 3夹角为夹角为 9090，故，故F F合 合 2 2F F3 3，加速度，加速度a aF F 合合 m m 2 2F
5、F3 3 m m 若初速度方向与若初速度方向与F F合 合方向共线， 则物体做匀方向共线， 则物体做匀 变速直线运动变速直线运动 若初速度方向不 F合方向丌共线， 则物体做 匀变速曲线运动， C 【突破训练【突破训练 1 1】 如图如图 4 4 所示为所示为 一个做匀变速曲线运动质点的一个做匀变速曲线运动质点的 轨迹示意图， 已知在轨迹示意图， 已知在B B点的速度点的速度 与加速度相互垂直， 且质点的运与加速度相互垂直， 且质点的运 动方向是从动方向是从A A到到E E，则下列说法，则下列说法 中正确的是中正确的是 ( ( ) ) A AD D点的速率比点的速率比C C点的速率大点的速率大
6、B BA A点的加速度与速度的夹角小点的加速度与速度的夹角小 于于 9090 C CA A点的加速度比点的加速度比D D点的加速点的加速 度大度大 D D从从A A到到D D加速度与速度的夹加速度与速度的夹 角先增大后减小角先增大后减小 质点做匀变速曲线运动，合质点做匀变速曲线运动，合 力的大小与方向均不变，加力的大小与方向均不变，加 速度不变，故速度不变，故 C C 错误错误 vB F F vA vD F 故质点由 C 到 D 过程， 合力做 正功，速率增大，A 正确 A A点的加速度方向与过点的加速度方向与过A A的切线方向即速度方向的夹角大于的切线方向即速度方向的夹角大于 9090， ，
7、 B B错误错误 从 A 到 D 加速度不速度的夹角一直变小，D 错误 A 图图4 3 3运动的合成与分解运动的合成与分解 已知分运动求合运动称为运动的已知分运动求合运动称为运动的 ；已；已 知合运动求分运动称为运动的知合运动求分运动称为运动的 两两 者互为逆运算者互为逆运算在对物体的实际运动进行分析时在对物体的实际运动进行分析时， 可以根据可以根据 分解分解，也可以采用正交分解也可以采用正交分解 4 4遵循的法则遵循的法则 运动的合成与分解是指描述运动的各物理量运动的合成与分解是指描述运动的各物理量， 即即 、 、 的合成与分解的合成与分解， 由于它们都是矢量由于它们都是矢量，故遵循故遵循
8、分解分解 合成合成 实际效果实际效果 位移位移 速度速度 加速度加速度 平行四边形定则平行四边形定则 【例【例 2 2】如图如图 3 3 所示，光滑水平桌面上，一个小球以速度所示，光滑水平桌面上，一个小球以速度 v v向右做匀速运动，它经过靠近桌边的竖直木板向右做匀速运动，它经过靠近桌边的竖直木板adad边边 时，木板开始做自由落体运动若木板开始运动时，时，木板开始做自由落体运动若木板开始运动时，cdcd 边 与 桌 面 相 齐 ， 则 小 球 在 木 板 上 的 投 影 轨 迹 是边 与 桌 面 相 齐 ， 则 小 球 在 木 板 上 的 投 影 轨 迹 是 ( ( ) ) 解析解析 木板做
9、自由落体运动，若以木板作参考系，则小球沿竖直方向的运 动可视为竖直向上的初速度为零、加速度为 g 的匀加速直线运动，所以小 球在木板上的投影轨迹是 B. B 图图3 5.5.合运动与分运动的关系合运动与分运动的关系 （1 1）等时性：合运动与分运动经历的）等时性：合运动与分运动经历的 相相 等，即合运动与分运动同时开始，同时结束等，即合运动与分运动同时开始，同时结束. . （2 2）独立性：物体在任何一个方向的运动，都按）独立性：物体在任何一个方向的运动，都按 其本身规律进行，不会因为其他方向的运动是其本身规律进行，不会因为其他方向的运动是 否存在而受影响否存在而受影响. .（如河水流速变化不
10、影响渡河（如河水流速变化不影响渡河 时间）时间） （3 3）等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动）等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动 的规律有完全相同的效果的规律有完全相同的效果. . 时间时间 考点二考点二 运动的合成及运动性质分析运动的合成及运动性质分析 1运动的合成不分解的运算法则：平行四边形定则 2合运动的性质判断 3两个直线运动的合运动性质的判断 标准：看合初速度方向不合加速度方向是否共线. 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、 一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的 匀加速直线运动 匀加速直线运动 如果 v 合不
11、 a合共线， 为匀变速直线运动 两个初速度丌为零 的匀变速直线运动 如果 v 合不 a合丌共线， 为匀变速曲线运动 【例【例 3 3】一个质点受到两个互一个质点受到两个互 成锐角的力成锐角的力F F1 1和和F F2 2的作用，的作用， 由静止开始运动， 若运动中保由静止开始运动， 若运动中保 持两个力的方向不变，但持两个力的方向不变，但F F1 1 突然增大突然增大 F F，则质点此后，则质点此后 ( ( ) ) A A一定做匀变速曲线运动一定做匀变速曲线运动 B B在相等时间内速度变化在相等时间内速度变化不不 一定相等一定相等 C C可能做变加速曲线运动可能做变加速曲线运动 D D一定做匀
12、变速直线运动一定做匀变速直线运动 F F2 2 F F合 合 F F1 1 F F1 1+ +F F F F合 合 v v F 合 仍为恒力，故此后质点将 做匀变速曲线运动，故 A 正确， C、D 错误 由于合力恒定丌变，则质点的加速度 也恒定丌变， 由 av t 可得 vat， 即在相等时间内速度变化也必然相 等，则 B 错误 A 【突破训练【突破训练 2 2】如图如图 5 5 所示，吊车以所示，吊车以 v v1 1的速度沿水平直线向右匀速行驶，的速度沿水平直线向右匀速行驶， 同时以同时以v v2 2的速度匀速收拢绳索提升的速度匀速收拢绳索提升 物 体 ， 下 列 表 述 正 确 的 是物
13、体 ， 下 列 表 述 正 确 的 是 ( ( ) ) A A物体的实际运动速度为物体的实际运动速度为v v1 1v v2 2 B B 物 体 的 实 际 运 动 速 度物 体 的 实 际 运 动 速 度 为为 v v 2 2 1 1v v 2 2 2 2 C C物体相对地面做曲线运动物体相对地面做曲线运动 D D绳索绳索向左倾斜与竖直方向有一定向左倾斜与竖直方向有一定 夹角夹角 解析解析 物体在两个方向均 做匀速运动，因此合外力 F 0，绳索应在竖直方向， 实际速度为v 2 1 v 2 2 ，因 此选项 B 正确 B 图图5 1515运动的合成与分解实例运动的合成与分解实例小船渡河模型小船渡
14、河模型 小船渡河问题分析 (1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动 (2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实 际速度) (3)三种情景 过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短 d v1 (d 为河宽) 过河路径最短(v2v1时)： 合速度丌可能垂直于河岸， 无法垂直渡河 确 定方法如下：如图 6 所示，以 v2矢量末端为圆心，以 v1矢量的大小为半 径画弧，从 v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最 短由图可知：cos v 1 v2，最短航程：s 短 d cos v2 v1d. 图图6 【例【例 4 4】一小船渡河，河宽
15、一小船渡河，河宽d d 180 m180 m，水流速度，水流速度v v1 12.5 2.5 m/s.m/s.若船在静水中的速度为若船在静水中的速度为 v v2 25 m/s5 m/s，则：，则： (1)(1)欲使船在最短时间内渡欲使船在最短时间内渡 河，船头应朝什么方向？用河，船头应朝什么方向？用 多长时间？位移是多少？多长时间？位移是多少？ (2)(2)欲使船渡河的航程最短，欲使船渡河的航程最短， 船头应朝什么方向？用多长船头应朝什么方向？用多长 时间？位移是多少？时间？位移是多少？ v v1 1 v v2 2 v v合 合 解析解析 (1)欲使船在最短时间内渡 河， 船头应朝垂直河岸方向
16、当船 头垂直河岸时， 如图所示 合速度 为倾斜方向，垂直分速度为 v25 m/s.t d v2 180 5 s36 s vv 2 1 v 2 2 5 2 5 m/s xvt90 5 m 【例【例 4 4】一小船渡河，一小船渡河， 河宽河宽d d180 m180 m，水流，水流 速度速度v v1 12.5 m/s.2.5 m/s.若若 船在静水中的速度为船在静水中的速度为 v v2 25 m/s5 m/s，则：，则： (1)(1)欲使船在最短时欲使船在最短时 间内渡河，船头应朝间内渡河，船头应朝 什么方向？用多长时什么方向？用多长时 间？位移是多少？间？位移是多少？ (2)(2)欲使船渡河的航欲
17、使船渡河的航 程最短，船头应朝什程最短，船头应朝什 么方向？用多长时么方向？用多长时 间？位移是多少？间？位移是多少？ v v1 1 v v2 2 v v合 合 （2）如图所示 有 v2sin v1， 得 30 所以当船头向上游偏 30 时航程最 短 xd180 m. t d v2cos 30 180 5 2 3 s24 3 s 求解小船渡河问题的方法求解小船渡河问题的方法 求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡 河位移无论哪类都必须明确以下四点： (1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，在船的航 行方向也就是船头指向方向的运动，是分运动船的运动也就是 船的实际运
18、动，是合运动，一般情况下不船头指向丌共线 (2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定 则沿水流方向和船头指向分解 (3)渡河时间只不垂直河岸的船的分速度有关，不水流速度无关 (4)求最短渡河位移时， 根据船速 v 船不水流速度 v水的大小情况用 三角形法则求极限的方法处理 【突破训练【突破训练 3 3】已知河水的流速为已知河水的流速为v v1 1，小船在静水中的速度为，小船在静水中的速度为 v v2 2，且，且v v2 2 v v1 1，下面用小箭头表示小船及船头的指向，则能正，下面用小箭头表示小船及船头的指向，则能正 确反映小船在最短时间内渡河、最短位移渡河的情景如图确反映
19、小船在最短时间内渡河、最短位移渡河的情景如图 7 7 所示，依次是所示，依次是 ( ( ) ) 图图 7 7 A A B B C C D D C 1616“关联”速度问题“关联”速度问题绳绳( (杆杆) )端速度分解模型端速度分解模型 1模型特点 沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等 2思路不方法 合运动绳拉物体的实际运动速度 v 分运动分运动 其一：沿杆（或绳）的分速度其一：沿杆（或绳）的分速度v v 1 1 其二：与杆（或绳）垂其二：与杆（或绳）垂 直的分速度直的分速度v v2 2 方法：v1不 v2的合成遵循平行四边形定则 3解题的原则 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)
20、 两个分量， 根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解 常 见的模型如 8 图所示 图图8 【例【例 5 5】如图如图 9 9 所示，所示， 一人站在岸上， 利用绳一人站在岸上， 利用绳 和定滑轮拉船靠岸， 在和定滑轮拉船靠岸， 在 某一时刻绳的速度为某一时刻绳的速度为 v v， 绳， 绳AOAO段与水平面的段与水平面的 夹角为夹角为，OBOB段与水段与水 平面的夹角为平面的夹角为. .不不 计摩擦和轮的质量， 则计摩擦和轮的质量， 则 此 时 小 船 的 速 度 多此 时 小 船 的 速 度 多 大？大？ 解析解析 小船的运动引起了绳 子的收缩以及绳子绕定滑轮 转动的效果，所以将小船的运 动分
21、解到绳子收缩的方向和 垂直于绳子的方向，分解如图 所示， 则由图可知 vA v cos . 图图9 1.1.(2011(2011江苏江苏3)3) 如图如图 1010 所示，甲、乙两同学从河所示，甲、乙两同学从河 中中O O点出发点出发, ,分别沿直线游到分别沿直线游到 A A点和点和B B点后， 立即沿原路线点后， 立即沿原路线 返回到返回到O O点点, ,OAOA、OBOB分别与水分别与水 流方向平行和垂直流方向平行和垂直, ,且且OAOA OBOB. .若水流速度不变若水流速度不变, ,两人在两人在 静水中游速相等静水中游速相等, ,则他们所则他们所 用时间用时间t t 甲甲、t t乙乙的
22、大小关系为的大小关系为 ( ( ) ) A At t 甲甲 t t乙乙 D D无法确定无法确定 解析解析 设两人在静水中游速为 v0， 水速为 v，则 t甲 xOA v0v xOA v0v 2v0 xOA v 2 0 v2 t乙 2xOB v 2 0 v2 2xOA v 2 0 v2 2v0 xOA v 2 0 v2 C 图图10 2(2011 四川四川 22(1)某研究性学习小组进行如下实验：如图某研究性学习小组进行如下实验：如图 11 所示，在一端封闭的光滑细玻所示，在一端封闭的光滑细玻 璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体 R.将玻璃管
23、的开口端用胶塞塞紧后竖将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖 直倒置且与直倒置且与 y 轴重合，在轴重合，在 R 从坐标原点以速度从坐标原点以速度 v03 cm/s 匀速上浮的同时，玻璃管沿匀速上浮的同时，玻璃管沿 x 轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动同学们测出某时刻轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动同学们测出某时刻 R 的坐标为的坐标为(4,6)，此时，此时 R 的速度大小为的速度大小为_ cm/s.R 在上升过程中运动轨迹的示意图是在上升过程中运动轨迹的示意图是_ (R 视为质点视为质点) 5 D 解析解析 解析解析 红蜡块有水平方向的加速度，所受合外力红蜡块有水平方向的加速度，所受合外力
24、指向曲线的内侧，所以其运动轨迹应如指向曲线的内侧，所以其运动轨迹应如 D 图所图所 示 因为竖直方向匀速， 由示 因为竖直方向匀速， 由 y6 cmv0t 知知 t2 s， 水平方向水平方向 xv x 2 t4 cm，所以，所以 vx4 cm/s，因此，因此 此时此时 R 的速度大小的速度大小 v v 2 x v 2 0 5 cm/s. 图图11 2(2011 四川四川 22(1)某研究性学习小组进行如下实验：如图某研究性学习小组进行如下实验：如图 13 所示，在一端封闭的光滑细玻所示，在一端封闭的光滑细玻 璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱
25、体 R.将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖 直倒置且与直倒置且与 y 轴重合，在轴重合，在 R 从坐标原点以速度从坐标原点以速度 v03 cm/s 匀速上浮的同时，玻璃管沿匀速上浮的同时，玻璃管沿 x 轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动同学们测出某时刻轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动同学们测出某时刻 R 的坐标为的坐标为(4,6)，此时，此时 R 的速度大小为的速度大小为_ cm/s.R 在上升过程中运动轨迹的示意图是在上升过程中运动轨迹的示意图是_ (R 视为质点视为质点) 5 D 3 3一只小船在静水中的速度为一只小船在静水中的速度为 3 m3 m/s/s，
26、它，它 要渡过一条宽为要渡过一条宽为 30 m30 m 的河，河水流速的河，河水流速 为为 4 m/4 m/s s，则这只船，则这只船 ( ( ) ) A A不可能渡过这条河不可能渡过这条河 B B可以渡过这条河，而且最小位移为可以渡过这条河，而且最小位移为 50 m50 m C C过河时间不可能小于过河时间不可能小于 10 s10 s D D能沿垂直于河岸方向过河能沿垂直于河岸方向过河 C 4有一个质量为有一个质量为 2 kg 的质点在的质点在 x y 平面上运动，在平面上运动，在 x 方向的速方向的速 度图象和度图象和 y 方向的位移图象分方向的位移图象分 别如图别如图 12 甲、乙所示，
27、下列说甲、乙所示，下列说 法正确的是法正确的是 ( ) A质点所受的合外力为质点所受的合外力为 3 N B质点的初速度为质点的初速度为 3 m/s C质点做匀变速直线运动质点做匀变速直线运动 D质点初速度的方向与合外力的质点初速度的方向与合外力的 方向垂直方向垂直 av t 1.5 m/s2，故质点所受，故质点所受 合外力合外力 Fma3 N，A 正确正确 质点在质点在 y 方向上做匀速运动，方向上做匀速运动，vyx t 4 m/s 质点的初速度质点的初速度 v v 2 x0 v 2 y 5 m/s， B 错误错误 质点做匀变速曲线运动，质点做匀变速曲线运动，C 错误错误 质点初速度的方向与合外力的方向不垂质点初速度的方向与合外力的方向不垂 直，如图，直，如图，53 ，D 错误错误. A 5 5如图如图 1313 所示，长为所示，长为L L的直棒一端可绕光滑固定轴的直棒一端可绕光滑固定轴O O 转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v v匀速上匀速上 升，当棒与竖直方向的夹角为升，当棒与竖直方向的夹角为时，棒的角速度为时，棒的角速度为 ( ( ) ) A.A.v vsin sin L L B.B. v v L Lsin sin C.C.v vcos cos L L D.D. v v L Lcos cos 图图13 B 再见再见
