1、第11讲 几何综合（学生版）目标层级图课前检测1在四边形中，对角线平分（1）如图，当，时，求证：（2）如图，当，与互补时，线段、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明（3）如图，当，与互补时，线段、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明课中讲解一.中点问题例1如图，在中，于，是斜边的中点若，求的长；若，求的度数过关检测1如图所示，四边形由一个的与等腰拼成，为斜边的中点，求的大小例2已知：如图，中，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点（1）求证：；（2）求证：；（3）与的大小关系如何？试证明你的结论过关检测1在中，点是上一点（1）如图1，平分，求证：；（2）如图2，点在
2、线段上，且，求证：；（3）如图3，过点作交的延长线于点，连接，过点作交于，求证：例3阅读以下材料，完成以下两个问题阅读材料已知：如图，中，、在上，且，过作交于点，求证：平分结合此题，点是的中点，考虑倍长，并且要考虑连结哪两点，目的是为了证明全等，从而转移边和角有两种考虑方法：考虑倍长，如图（1）所示；考虑倍长，如图（2）所示以图（1）为例，证明过程如下：证明：延长至，使，连结在和中，平分问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明问题2：根据上述材料，完成下列问题：已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，求的长过关检测1如图2，在中，是三角形的中线，为上一点，且，
3、连结并延长交于点，求证：二.对角互补模型例4如图，平分将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线的任意一点上，并使三角尺的一条直角边与（或的延长线）交于点，另一条直角边与交于点（1）如图1，当与边垂直时，证明：；（2）如图2，把三角尺绕点旋转，三角尺的两条直角边分别交，于点，在旋转过程中，与相等吗？请直接写出结论：（填，（3）如图3，三角尺绕点继续旋转，三角尺的一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点在旋转过程中，与相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由例5四边形被对角线分为等腰直角和直角，其中和都是直角，另一条对角线的长度为2，求四边形的面积过关检测1【感知】如图，平分于点，于
4、点，可知（不要求证明）【拓展】在图中，作，分别交射线，于，两点，求证：【应用】如图，与均为直角三角形，平分，两点在的异侧已知，求线段的长2如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是例6如图，平分，与射线相交于点，与直线相交于点把绕着点旋转（1）如图1，当点在射线上时，求证：；（2）如图2，当点在射线的反向延长线上时，与，之间的数量关系是 （直接写出结论，不必证明）过关检测1如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，与交与点，与交于点（1）如图一，当与重合时，探索，的数量关系（2）如图二，将在（1）的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量
5、关系，并求四边形的面积三.手拉手模型例7（2018秋双流区期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，点在线段上（1）求的度数；（2）当点在线段上运动时不与重合），请写出一个反映，之间关系的等式，并加以证明过关检测1如图，在等腰三角形中，是内一点，将绕点逆时针旋转后与重合求：（1）线段的长；（2）的度数例8（2017秋武侯区期末）如图，和都是等边三角形，连接，（1）猜想与的数量关系，并说明理由；（2）给出定义：若一个四边形中存在一组邻边的平方和等于一条对角线的平方，则这个四边形为勾股四边形如图，若，求证：四边形是勾股四边形；（3）设，的面积分别是，若，试探究与之间满足的等量关系过关检测1在中，点是射
6、线上的一个动点， 是等边三角形，点是的中点，连接（1）如图，点在线段上时，求证：；连接，设线段，求的值；（2）当时，求的面积四.半角模型例9问题背景：“半角问题”（1）如图：在四边形中，分别是，上的点且探究图中线段，之间的数量关系小明同学探究此“半角问题”的方法是：延长到点使连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）探索延伸：当聪明的你遇到下面的问题该如何解决呢？（2）若将（1）中“，”换为其它条件不变如图1，试问线段、具有怎样的数量关系，并证明（3）如图2，在四边形中，、分别是边、上的点，且，请直接写出线段、它们之间的数量关系（不需要证明）（4）如图3，在四边
7、形中，、分别是边、延长线上的点，且，试问线段、具有怎样的数量关系，并证明过关检测1（1）如图1，在四边形中，、分别是边、上的点，若求证：（2）如图2，在四边形中，、分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、之间的数量关系，证明你的结论学习任务1如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，、的延长线交于点，、的延长线交于点，连接（1）求证：（2）若正方形的边长为4，为的中点，求的长2如图，已知正方形，点是射线上一个动点（点与点不重合），连接，以为边在线段的右侧作正方形，连结（1）当点在线段上时，求证：；（2）在（1）的条件下，若，求的长；3如图1，四边形是正方形，分别在边、上，且，我们把这种模
8、型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法（1）在图1中，连接，为了证明结论“ “，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；（2）如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？（3）如图3，如果四边形中，且，求的长第11讲 几何综合（解析版）目标层级图课前检测1在四边形中，对角线平分（1）如图，当，时，求证：（2）如图，当，与互补时，线段、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明（3）如图，当，与互补时，线段、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明【分析】（1）由平分，可得，又由，即可得，根据直角三角形中角所对的直角边等
9、于斜边的一半，即可得；（2）首先过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别为、，由平分，可得，又由与互补，可证得，则可得，又由，则可得线段、有怎样的数量关系为；（3）首先过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别是、，与（2）同理可得，则可得，即可求得线段、有怎样的数量关系为【解答】证明：（1）在四边形中，平分，又，即（2）证明如下：如图，过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别为、平分，又，为角平分线，（3）证明如下：如图，过点分别作和延长线的垂线段，垂足分别是、平分，又延长至，使，连接，课中讲解一.中点问题例1如图，在中，于，是斜边的中点若，求的长；若，求的度数【分析】先利用勾股定理求出，再根据直角三角形
10、斜边上的中线等于斜边的一半的性质即可得到的长；（）先求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等边对等角可得，再求出【解答】解：（）在中，是斜边的中点，；（），过关检测1如图所示，四边形由一个的与等腰拼成，为斜边的中点，求的大小【分析】首先根据是，斜边的中点，可得结论，再根据等边对等角可得，然后利用角的和差关系计算出的度数，再根据三角形内角和定理可得到的度数【解答】解：点是，斜边的中点，又，例2已知：如图，中，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点（1）求证：；（2）求证：；（3）与的大小关系如何？试证明你的结论【分析】（1）利用判
11、定，从而得出（2）利用判定，得出，又因为，所以（3）利用等腰三角形“三线合一”和勾股定理即可求解【解答】（1）证明：，是等腰直角三角形，且，在和中，；（2）证明：平分，在和中，又由（1），知，；（3）证明：，垂直于，则为中点，则（等腰三角形“三线合一” 连接，则，又垂直，是直角三角形，垂直平分，；即，方法2，证明：，垂直于，则为中点，则（等腰三角形“三线合一” 连接，则，又垂直，过关检测1在中，点是上一点（1）如图1，平分，求证：；（2）如图2，点在线段上，且，求证：；（3）如图3，过点作交的延长线于点，连接，过点作交于，求证：【分析】（1）如图1中，作于证明即可解决问题（2）如图2中，过点作
12、交的延长线于，连接证明，推出，再利用直角三角形30度角的性质即可解决问题（3）如图3中，作于想办法证明，即可解决问题【解答】证明：（1）如图1中，作于，（2）如图2中，过点作交的延长线于，连接，在中，（3）如图3中，作于，例3阅读以下材料，完成以下两个问题阅读材料已知：如图，中，、在上，且，过作交于点，求证：平分结合此题，点是的中点，考虑倍长，并且要考虑连结哪两点，目的是为了证明全等，从而转移边和角有两种考虑方法：考虑倍长，如图（1）所示；考虑倍长，如图（2）所示以图（1）为例，证明过程如下：证明：延长至，使，连结在和中，平分问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明问题2：根据上述材料，完成
13、下列问题：已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，求的长【分析】问题1：延长至，使，连接，先证得，再证，得，则，然后由平行线的性质得，即可得出结论；问题2：延长至，使，连接，先证，得，再证，得，进而得出答案【解答】问题证明：延长至，使，连接，如图（2）所示：在和中，平分问题解：延长至，使，连接，如图（3）所示：是边上的中线，在和中，在和中，过关检测1如图2，在中，是三角形的中线，为上一点，且，连结并延长交于点，求证：【分析】延长到，使，连接，求出，根据推出，根据全等三角形的性质得出，求出，推出，求出即可【解答】证明：延长到，使，连接，是中线，在和中，二.对角互补
14、模型例4如图，平分将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线的任意一点上，并使三角尺的一条直角边与（或的延长线）交于点，另一条直角边与交于点（1）如图1，当与边垂直时，证明：；（2）如图2，把三角尺绕点旋转，三角尺的两条直角边分别交，于点，在旋转过程中，与相等吗？请直接写出结论：（填，（3）如图3，三角尺绕点继续旋转，三角尺的一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点在旋转过程中，与相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由【分析】（1）先判断出，再判断出，进而判断出，即可得出结论；（2）先判断出四边形是矩形，得出，进而得出，判断出，即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论【解答
15、】（1）证明：，是的平分线，；（2）解：，理由：如图2，过点作于，于，四边形是矩形，是的平分线，在和中，故答案为：；（3）解：如图3，过点作于，于，四边形是矩形，是的平分线，在和中，；例5四边形被对角线分为等腰直角和直角，其中和都是直角，另一条对角线的长度为2，求四边形的面积【分析】将绕点旋转，使与重合，到点，由条件可得出是等腰直角三角形，且可证明，可得出四边形的面积等于的面积，利用条件可求得四边形的面积【解答】解：将绕点旋转，使与重合，到点，则有，所以、在同一直线上，则是三角形，又因为，所以是等腰直角三角形，在和中，四边形的面积等于等腰直角三角形的面积，所以过关检测1【感知】如图，平分于点，
16、于点，可知（不要求证明）【拓展】在图中，作，分别交射线，于，两点，求证：【应用】如图，与均为直角三角形，平分，两点在的异侧已知，求线段的长【分析】拓展如图，证明；证明；证明，得到应用如图，作辅助线；类比（1）中的结论得到：；结合，得到，；运用勾股定理即可解决问题【解答】解：【拓展】平分，；，四边形为正方形，；，；在与中，【应用】如图，过点作；，交的延长线于点；由（1）知：（设为，四边形为正方形，；而，；由勾股定理得：，2如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是1【分析】根据题意可得：，所以，从而可求得其面积【解答】解：如图，正方形和正方形的边
17、长都是，在和中，；则图中重叠部分的面积是，故答案为：1例6如图，平分，与射线相交于点，与直线相交于点把绕着点旋转（1）如图1，当点在射线上时，求证：；（2）如图2，当点在射线的反向延长线上时，与，之间的数量关系是（直接写出结论，不必证明）【分析】（1）作，交于，证明是等边三角形，得出，证出，证明，得出，即可得出结论；（2）作，交于，证明是等边三角形，得出，证出，证明，得出，即可得出结论【解答】（1）证明：作，交于，如图1所示：，平分，是等边三角形，在和中，；（2）解：，理由如下：作，交于，如图2所示：，平分，是等边三角形，在和中，；故答案为：过关检测1如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点
18、，且，与交与点，与交于点（1）如图一，当与重合时，探索，的数量关系（2）如图二，将在（1）的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积【分析】（1）根据角平分线定义得到，推出是等边三角形，得到；（2）过点作，根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论【解答】解：（1），平分，是等边三角形，；（2）过点作，平分，在与中，平分，四边形的面积三.手拉手模型例7（2018秋双流区期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，点在线段上（1）求的度数；（2）当点在线段上运动时不与重合），请写出一个反映，之间关系的等式，并加以证明【分析】（1）只要
19、证明，推出即可解决问题；（2）存在，；在中，利用勾股定理证明即可【解答】解：（1）是等腰直角三角形，同理可得：，在与中，（2）证明如下：是等腰直角三角形，故过关检测1如图，在等腰三角形中，是内一点，将绕点逆时针旋转后与重合求：（1）线段的长；（2）的度数【分析】（1）由旋转的性质可知为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得的长；（2）为等腰直角三角形，故此，在中，由勾股定理的逆定理可证为直角三角形，从而可求得【解答】解：（1）绕点旋转与重合，在中，由勾股定理得：（2），绕点旋转与重合，在中，例8（2017秋武侯区期末）如图，和都是等边三角形，连接，（1）猜想与的数量关系，并说明理由；（2）给出定义
20、：若一个四边形中存在一组邻边的平方和等于一条对角线的平方，则这个四边形为勾股四边形如图，若，求证：四边形是勾股四边形；（3）设，的面积分别是，若，试探究与之间满足的等量关系【分析】（1）由“”可证，可得；（2）由题意可得，由勾股定理可求，可证四边形是勾股四边形；（3）由等边三角形的面积公式可求，由直角三角形的面积公式，即可求解【解答】解：（1），理由如下：和都是等边三角形，且，（2），四边形是勾股四边形；（3）和都是等边三角形，过关检测1在中，点是射线上的一个动点， 是等边三角形，点是的中点，连接（1）如图，点在线段上时，求证：；连接，设线段，求的值；（2）当时，求的面积【分析】（1）在直角三
21、角形中，由30度所对的直角边等于斜边的一半求出的长，再由为中点，得到，确定出三角形为等边三角形，利用等式的性质得到一对角相等，砸由，利用即可得证；由全等三角形对应角相等得到为直角，在三角形中，利用勾股定理即可列出关于的函数解析式及定义域；（2）分两种情况考虑：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时，分别求出三角形面积即可【解答】（1）证明：在中，点是的中点，是等边三角形，即，在和中，；，又点是的中点，在中，勾股定理可得：，（2）当点在线段上时，由，可得，是等腰直角三角形，的面积为；当点在线段的延长线上时，由，可得，在中，勾股定理可得，的面积为50 ，综上所述，的面积为或50 四.半角模型例9问
22、题背景：“半角问题”（1）如图：在四边形中，分别是，上的点且探究图中线段，之间的数量关系小明同学探究此“半角问题”的方法是：延长到点使连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是；（直接写结论，不需证明）探索延伸：当聪明的你遇到下面的问题该如何解决呢？（2）若将（1）中“，”换为其它条件不变如图1，试问线段、具有怎样的数量关系，并证明（3）如图2，在四边形中，、分别是边、上的点，且，请直接写出线段、它们之间的数量关系（不需要证明）（4）如图3，在四边形中，、分别是边、延长线上的点，且，试问线段、具有怎样的数量关系，并证明【分析】（1）延长到点使连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；（
23、2）如图1，延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；（3）如图2，同理可得：；（4）如图3，作辅助线，构建，同理证明和可得新的结论：【解答】证明：（1）延长到点使连结，在和中，在和中，；故答案为：；（2）如图1，延长到，使，连接在与中，又，易证（3）（1）中的结论仍然成立理由是：如图2，延长到，使，连接，在与中，又，（4）结论不成立，应当是证明：在上截取，使，连接，在与中，易证过关检测1（1）如图1，在四边形中，、分别是边、上的点，若求证：（2）如图2，在四边形中，、分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、之间的数量关系，证明你的结论【分析】（1）延长至，使得，根据全等三角形
24、的判定和性质解答即可；（2）通过全等三角形来实现相等线段的转换就应该在上截取，使，连接可得出，那么【解答】证明：（1）延长至，使得，连接，在与中，在与中，即；（2）线段、之间的数量关系是，在上截取，连接，在与中，在与中，即，即学习任务1如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，、的延长线交于点，、的延长线交于点，连接（1）求证：（2）若正方形的边长为4，为的中点，求的长【分析】（1）证即可得；（2）作，由正方形的边长为4且为的中点知、，再根据勾股定理得，由直角三角形性质知【解答】解：（1）四边形是正方形，；（2）如图，过点作于点，正方形的边长为4，为的中点，则，2如图，已知正方形，点是射
25、线上一个动点（点与点不重合），连接，以为边在线段的右侧作正方形，连结（1）当点在线段上时，求证：；（2）在（1）的条件下，若，求的长；【分析】（1）由正方形的性质得出，易证，由证得；（2）由，得出，由勾股定理得出，即可得出结果；【解答】（1）证明：四边形和四边形都是正方形，即，在和中，；（2）解：，四边形正方形，；3如图1，四边形是正方形，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法（1）在图1中，连接，为了证明结论“ “，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；（2）如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有
26、怎样的数量关系？（3）如图3，如果四边形中，且，求的长【分析】（1）利用旋转的性质，证明即可；（2）把绕点逆时针旋转到，交于点，证明即可求得（3）如图3中，在上取一点，使得，证明，推出，证明，推出，设，则，在中，根据，构建方程求出即可解决问题【解答】（1）证明：如图1中，由旋转可得，四边形为正方形，在和中，（2）解：结论：，理由：如图2中，把绕点逆时针旋转到，交于点，同（1）可证得，且，（3）解：如图3中，在上取一点，使得，设，则，在中，多余试题1如图，在正方形外取一点，连接、过点作的垂线交于点若，下列结论：；点到直线的距离为；其中正确结论的序号是【分析】首先利用已知条件根据边角边可以证明；由
27、可得，故不垂直于过点作延长线于，由得所以，所以是等腰，故到直线距离为，故是错误的；利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定说法正确；由，可知，然后利用已知条件计算即可判定；连接，根据三角形的面积公式得到，所以，由此即可判定【解答】解：由边角边定理易知，故正确；由得，从而，所以，过作，交的延长线于，则的长是点到直线的距离，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，故是错误的；因为，所以，而对顶角相等，所以是正确的；由，可知，因此是错误的；连接，则，所以，所以综上可知，正确的有2如图，在四边形中，若这个四边形的面积为12，则【分析】本题可通过作辅助线进行解决，延长到，使，连接
28、，先证两个三角形全等，利用直角三角形的面积与四边形的面积相等进行列式求解【解答】解：延长到，使，连接，又，故答案为：3如图，已知与，平分（1）如图1，与的两边分别相交于点、，试判断线段与的数量关系，并说明理由以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：理由如下：如图1，过点作，交于点，则，请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程（3）若，如图3，与的两边分别相交于点、时，（1）中的结论成立吗？为什么？线段、有什么数量关系？说明理由如图4，的一边与的延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段、有什么数量关系；如图5，的一边与的
29、延长线相交时，请回答（1）中的结论是否成立，并请直接写出线段、有什么数量关系【分析】（1）由“”可证，可得；（2）过点作，垂足分别为，由“”可证，可得；（3）如图3，过点作，垂足分别为，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得，由直角三角形的性质和线段和差关系可得，可得；如图4，过点作，垂足分别为，方法同上；如图5，过点作，垂足分别为，方法同上【解答】解：（1）平分，且，且，（2）如图2，过点作，垂足分别为，又平分，在四边形中，又，又，且，（3）（1）中的结论仍成立理由如下：如图3，过点作，垂足分别为，又平分，在四边形中，又，又，且，同理可得，在图4中，（1）中的结论成立，如图4，过点作，垂足分别为，又平分，且，同理可得，；在图5中，（1）中的结论成立，如图5，过点作，垂足分别为，又平分，且，同理可得，；66
