1、2025年高考一轮复习-第二章 函数-第8讲 函数与方程【原卷版】A级 基础达标1. 用二分法研究函数fx=x5+8x31 的零点时，第一次经过计算得f00 ，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为( )A. 0,0.5 ,f0.125 B. 0,0.5 ,f0.375 C. 0.5,1 ,f0.75 D. 0,0.5 ,f0.25 2.函数fx=e2x+5x2 的零点所在区间为( )A. 1,0 B. 0,14 C. 14,12 D. 12,1 3.已知函数fx=log2x,x1,2xa,x0，gx，x0 是奇函数，则函数fx 的零点为 .7.方程2x+3x=k 的解在1,2)
2、内，则实数k 的取值范围是 .8. 已知函数fx=2+log21x,x0，4x1,x0， 若fft4=0 ，则实数t= .9. 函数fx=x2+bx+c 的两个零点为2，3 .（1） 求b ,c 的值；（2） 若函数gx=fx+mx 的两个零点分别在区间1,2 ，2,4 内，求实数m 的取值范围.B级 综合运用10. （多选）已知函数fx=x23x,x0,ex+1,x0, 方程fx1=2mmR ，则下列判断正确的是( )A. 函数fx 的图象关于直线x=32 对称B. 函数fx 在区间3,+ 上单调递增C. 当m1,2 时，方程有2个不同的实数根D. 当m1,0 时，方程有3个不同的实数根11
3、.已知二次函数fx=xmxn+1 ，且x1 ，x2 是方程fx=0 的两个根，则x1 ，x2 ，m ，n 的大小关系可能是( )A. x1x2mn B. x1mx2n C. mnx1x2 D. mx1x2n 12. 已知定义域为R 的偶函数满足f2x=fx ，当0x1 时，fx=e1x1 ，则方程fx=1x1 在区间3,5 上所有解的和为( )A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 13. 函数fx=lnx1,x2c2b .求证：（1） 当a0 时，3ba34 ;（2） 函数f （x）在区间（0，2）内至少有一个零点.C级 素养提升15.已知函数fx 的定义域为(0,12 ，恒有fx+4=4f
4、x ，当x(0,4 时，fx=2x22 ；若函数gx=fx2+tfx 有4个零点，则t 的取值范围为 .16.已知函数fx 是定义在R 上的偶函数，满足fx2+fx=0 .（1） 证明：函数fx 是周期函数.（2） 当x0,2 时,fx=1x .若gx=fxax 恰有14个零点，求实数a 的取值范围.2025年高考一轮复习-第二章 函数-第8讲 函数与方程【解析版】A级 基础达标1. 用二分法研究函数fx=x5+8x31 的零点时，第一次经过计算得f00 ，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为( D )A. 0,0.5 ,f0.125 B. 0,0.5 ,f0.375 C. 0.
5、5,1 ,f0.75 D. 0,0.5 ,f0.25 解析选D.因为f0f0.50 ，由零点存在定理知，零点x00,0.5 ，根据二分法，第二次应计算f0+0.52 ,即f0.25 ，故选D.2.函数fx=e2x+5x2 的零点所在区间为( B )A. 1,0 B. 0,14 C. 14,12 D. 12,1 解析选B.因为f0=10 ，且fx=e2x+5x2 为连续的增函数，所以fx 的零点所在区间为0,14 .故选B.3.已知函数fx=log2x,x1,2xa,x1 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是( C )A. 2,+ B. 2,+) C. ,2 D. (,2 解析选C.当x1 时，
6、fx 的零点为1，则当x0 ，即a2 .故选C.4.已知x0 是函数fx=x+log2x+14 的零点，则x01x02x03x04 的值为( B )A. 正数B. 负数C. 0 D. 无法确定解析选B.由题意可知fx 是单调递增函数，且f3=320 ，则x03,4 ，所以x010 ,x020 ,x030 ,x040 ，所以x01x02x03x040，gx，x0 是奇函数，则函数fx 的零点为2 .解析由题意知fx=fx ，所以当x0 ，则gx=fx=fx=42x ，所以fx=2x4,x0，42x，x0 时，x=2 ；当x0 时，x=2 ，所以函数fx 的零点为2 .7.方程2x+3x=k 的解
7、在1,2) 内，则实数k 的取值范围是5,10) .解析令函数fx=2x+3xk ,则fx 在R 上是增函数.当方程2x+3x=k 的解在1,2 内时，f1f20 ,即5k10k0 ,解得5k10 ,又当f1=0 时，k=5 .综上，实数k 的取值范围是5,10) .8. 已知函数fx=2+log21x,x0，4x1,x0， 若fft4=0 ，则实数t= 32 .解析令a=ft ，fa4=0 ,则当a0 时，2+log21a4=0 ，解得a=3 ；当a0 时，4a14=0 ，解得a=2 .所以当ft=3 ，此时t0 ，则2+log21t=3 ，解得t=3132 ，不满足条件；当ft=2 ,若t
8、0,g20, 解得12m0 ,故实数m 的取值范围是12,0 .B级 综合运用10. （多选）已知函数fx=x23x,x0,ex+1,x0, 方程fx1=2mmR ，则下列判断正确的是( BC )A. 函数fx 的图象关于直线x=32 对称B. 函数fx 在区间3,+ 上单调递增C. 当m1,2 时，方程有2个不同的实数根D. 当m1,0 时，方程有3个不同的实数根解析选BC.对于A，f4=4 ,f1=1e ,显然函数fx 的图象不关于直线x=32 对称,A错误；对于B，fx=x23x 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x=32 ，所以函数fx 在区间3,+ 上单调递增，B正确;对于C，作
9、出函数y=fx1 的图象，如图.当m1,2 时，2m0,1 ，结合图象可知方程fx1=2mmR 有2个不同的实数根,C正确；对于D，当m1,0 时，2m2,3 ,结合图象可知方程fx1=2mmR 有4个不同的实数根,D错误.11.已知二次函数fx=xmxn+1 ，且x1 ，x2 是方程fx=0 的两个根，则x1 ，x2 ，m ，n 的大小关系可能是( D )A. x1x2mn B. x1mx2n C. mnx1x2 D. mx1x2n 解析选D.由题可知，fm=fn=1 ，fx1=fx2=0 .如图，由抛物线y=fx 开口向上，得m ，n 在两根x1 ,x2 之外，结合选项可知A ，B ，C
10、均错误，D正确.故选D.12. 已知定义域为R 的偶函数满足f2x=fx ，当0x1 时，fx=e1x1 ，则方程fx=1x1 在区间3,5 上所有解的和为( A )A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 解析选A.因为函数fx 满足f2x=fx ，所以函数fx 的图象关于直线x=1 对称.又函数fx 为偶函数，所以f2x=fx=fx ，所以函数fx 是周期为2的周期函数，令gx=1x1 ，它的图象也关于直线x=1 对称，作出函数fx 与gx 在区间3,5 上的图象，如图所示.由图可知，函数fx 与gx 的图象在区间3,5 上有8个交点，且关于直线x=1 对称，所以方程fx=1x1 在区间3,
11、5 上所有解的和为421=8 .13. 函数fx=lnx1,x1,2x+1,x1, 若函数gx=ffxa 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是1,+) .解析设t=fx ,令ffxa=0 ,即a=ft .在同一坐标系内作y=a ,y=ft 的图象（如图）.当at1 ）,则t11 ,t21 .当t12c2b .求证：（1） 当a0 时，3ba2c=3a2b ,所以3ab .因为2c2b ,所以3a4b .又因为a0 ，所以3ba0 .当c0 时，f00 ,f10 ,所以fx 在0,1 内至少有一个零点；当c=0 时，f0=0 ,f10 ,所以fx 在1,2 内有一个零点；当c0 时，f00
12、,所以fx 在0,2 内有一个零点.综上，fx 在0,2 内至少有一个零点.C级 素养提升15.已知函数fx 的定义域为(0,12 ，恒有fx+4=4fx ，当x(0,4 时，fx=2x22 ；若函数gx=fx2+tfx 有4个零点，则t 的取值范围为32,28 .解析设x(4,8 ，则x4(0,4 ，则fx=fx4+4=4fx4=42x62 ；设x(8,12 ，则x8(0,4 ，则fx=fx4+4=4fx4=4fx8+4=16fx8=162x102 ，则fx=2x22,x(0,4，42x62，x(4,8，162x102，x(8,12， 则f3=f7=f11=0 ，函数fx 图象如图所示.由g
13、x=fx2+tfx=0 ，可得fx=0 或fx=t ，由fx=0 ，可得x=3 ，x=7 或x=11 ，则fx=t 仅有一根，又f8=1628102=28 ，f12=16212102=32 ，则28t32 ，解得32t28 .16.已知函数fx 是定义在R 上的偶函数，满足fx2+fx=0 .（1） 证明：函数fx 是周期函数.答案解：证明：因为fx 是定义在R 上的偶函数，所以fx=fx .因为fx2+fx=0 ，所以fx=fx=fx2 ，则fx+2=fx ，所以fx+2+2=fx+2=fx ，故函数fx 是周期函数，且周期为4.（2） 当x0,2 时,fx=1x .若gx=fxax 恰有14个零点，求实数a 的取值范围.答案当x2,0 时，x+20,2 ，则fx+2=1x+2=1x ，由（1）知fx=fx+2 ，所以fx=x+1 ，即当x2,0 时，fx=x+1 .因为函数gx 的零点个数就是函数fx 的图象与函数y=ax 的图象交点的个数，且函数fx 与函数y=ax 均为偶函数，所以当x0 时，gx 恰有7个零点，即当x0 时，函数fx 的图象与函数y=ax 的图象有7个交点.结合图象可知，当a0 时，12a116a ，解得116a112 ；当a0 时，14a=1 ，解得a=114 .综上可知，实数a 的取值范围是116,112114 .
