1、2025年高考数学一轮复习-第九章-第七节-抛物线【课标解读】 【课程标准】1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,以及它们的几何性质.(范围、对称性、顶点、离心率)2.通过抛物线与方程的学习,进一步体会数形结合思想.3.了解抛物线几何性质的简单应用.【核心素养】数学运算、逻辑推理、直观想象.【命题说明】考向考法抛物线的方程与性质是高考常考内容,多以选择题或填空题的形式出现,直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式出现,试题难度中等.预测预计2025高考抛物线的标准方程、几何性质仍会出题.一般在选择题或填空题中出现,直线与抛物线的考查比较灵活,各种题型都可能涉及.【必备知识逐点夯实】知识梳理归
2、纳1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.微点拨 若点F在直线l上,则点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线.2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标F(p2,0)F(-p2,0)F(0,p2)F(0,-p2)离心率e=1准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR开口方向向右向左向上向下微思
3、考 开口向上或向下的抛物线的切线的斜率利用什么知识解决较简单?提示:利用导数求解较简单.微点拨 四种不同抛物线方程的共同点(1)原点都在抛物线上;(2)焦点都在坐标轴上;(3)准线与焦点所在坐标轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14,即2p4=p2.常用结论1.焦半径:抛物线y2=2px(p0)上一点P(x0,y0)到焦点F(p2,0)的距离|PF|=x0+p2.2.通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦.基础诊断自测类型辨析改编易错高考题号13241.(思考辨析)(正确的打“”,错误的打“”)(1)抛物线关于顶点对称.( )提示
4、:(1)抛物线是轴对称图形,不是中心对称图形;(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.( )提示:(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心;(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( )提示:(3)所有抛物线的离心率为1,所以抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同;(4)抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同.( )提示:(4)抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,都为2,离心率也相同.2.(弄错焦点位置)抛物线x2=2py(p0)上纵坐标为2的点
5、到焦点的距离为5,则该抛物线的方程为()A.x2=12yB.x2=10yC.x2=8yD.x2=6y【解析】选A.因为抛物线x2=2py(p0)上纵坐标为2的点到焦点的距离为5,则根据抛物线的定义可得2+p2=5,解得p=6,所以抛物线的方程为x2=12y.3.(人A选择性必修第一册P138习题3.3T1变条件)抛物线x=14ay2的焦点坐标为()A. (116a,0)B.(a,0)C. (0,116a)D.(0,a)【解析】选B.抛物线x=14ay2可化为y2=4ax,它的焦点坐标是(a,0).4. (2023全国乙卷)已知点A(1,5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为_.
6、【解析】由题意可得:(5)2=2p1,则2p=5,抛物线的方程为y2=5x,准线方程为x=-54,点A到C的准线的距离为1-(-54)=94.答案:94【核心考点分类突破】考点一抛物线的定义及标准方程例1(1)(一题多法)(2022全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=()A.2B.22C.3D.32【解析】选B.方法一:由题意可知F(1,0),准线方程为x=-1,设A(y024,y0),由抛物线的定义可知|AF|=y024+1,又|BF|=3-1=2,由|AF|=|BF|,可得y024+1=2,解得y0=2,所以A(1,2)
7、或A(1,-2),不妨取A(1,2),故|AB|=(1-3)2+(2-0)2=22.方法二:由题意可知F(1,0),|BF|=2,所以|AF|=2,抛物线通径为4,所以|AF|=2为通径的一半,所以AFx轴,所以|AB|=22+22=22.(2)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆心C的轨迹为()A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆【解析】选A.由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.(3)(2024沈阳模拟)已知P为抛物线y2=4x上的任意一
8、点,F为抛物线的焦点,点A坐标为(3,2),则|PA|+|PF|的最小值为()A.4B.3C.22D.13【解析】选A.由拋物线y2=4x知p=2,则F(1,0),准线l方程为x=-1.如图所示,点A在抛物线内,过点P作抛物线准线l的垂线段,垂足为点P,过点A作AHl于点H.由抛物线的定义得|PF|=|PP|,所以|PA|+|PF|=|PA|+|PP|AH|,当且仅当点P是线段AH与抛物线的交点(即A,P,H三点共线)时取等号.故|PA|+|PF|的最小值为|AH|=3+p2=4.解题技法1.利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹
9、是否为抛物线.(2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系相互转化.2.求抛物线的标准方程的方法(1)因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量.(2)因为未知数只有p,所以只需利用待定系数法确定p的值.对点训练1.(2024青岛模拟)设抛物线C:x2=2py的焦点为F,M(x,4)在C上,|MF|=5,则C的方程为()A.x2=4yB.x2=-4yC.x2=-2yD.x2=2y【解析】选A.抛物线x2=2py的开口向上,由于M(x,4)在C上,且|MF|=5,根据抛物线的定义可知4+p2=5,p=2,所以抛物线C的方
10、程为x2=4y.2.(2024北京模拟)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-1的距离为3,则|MF|=()A.4B.5C.6D.7【解析】选A.如图所示:根据题意可得抛物线的准线方程为x=-2,若M到直线x=-1的距离为MM2=3,则M到抛物线的准线x=-2的距离为MM1=4,利用抛物线定义可知MF=MM1=4.3. (2023岳阳模拟)已知抛物线y=14x2的焦点为F,P为抛物线上一动点,点Q(1,1),当PQF的周长最小时,点P的坐标为_.【解析】如图,设l:y=-1是抛物线的准线,过P作PHl于H,作QNl于N,则PF=PH,F(0,1),FQ=1,PF+PQ
11、=PQ+PH,易知当Q,P,H三点共线时,PQ+PH的值最小,且最小值为1+1=2,所以PQF的周长最小值为3,此时xP=1,yP=14,即P(1,14).答案: (1,14)【加练备选】 1.(2024杭州模拟)顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线,过点(-1,2),则它的方程是()A.x2=12y或y2=-4xB.y2=-4x或x2=2yC.x2=-12yD.y2=-4x【解析】选A.当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2=-2px(p0).因为抛物线过点(-1,2),记为点P,如图,所以22=-2p(-1),所以p=2,所以抛物线的方程为y2=-4x;当抛物线的焦点在y轴上时,设抛
12、物线的方程为x2=2py(p0).因为抛物线过点(-1,2),所以(-1)2=2p2,所以p=14,所以抛物线的方程为x2=12y.2.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=_. 【解析】方法一:依题意可知,抛物线的焦点F(2,0),设N(0,t),由中点坐标公式得M(1,t2),|MF|=2+1=3,所以|FN|=2|MF|=6.方法二:如图,过M,N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1,N1,设抛物线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,由抛物线的
13、定义知|FM|=|MM1|=3,从而|FN|=2|FM|=6.答案:6考点二抛物线的几何性质例2(1)已知点F为抛物线y2=2px(p0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若OFP的面积为22,则该抛物线的准线方程为()A.x=-12B.x=-1C.x=-2D.x=-4【解析】选B.抛物线y2=2px(p0)的焦点F(p2,0),由y2=16p,可得y=4p,不妨令P(8,4p),则SOFP=12p24p=pp=22,解得p=2,则抛物线方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.(2)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,O为坐标原点.抛物线上有M,N两点,若MON为正三
14、角形,则MON的边长为_.【解析】因为MON为正三角形,所以|OM|=|ON|=|MN|,由抛物线对称性可知MNx轴,设MN:x=t,则y2=2pt,解得y1=2pt,y2=-2pt.所以|MN|=22pt,所以tan 30=12|MN|t=2ptt=33,解得t=6p.所以|MN|=43p. 答案:43p(3)(2021新高考卷)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQOP.若|FQ|=6,则C的准线方程为_. 【解析】由题易得|OF|=p2,|PF|=p,OPF=PQF,所以tanOPF=tanPQF,所以|OF|PF
15、|=|PF|FQ|,即p2p=p6,解得p=3,所以C的准线方程为x=-32.答案: x=-32解题技法应用抛物线几何性质的技巧涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合的思想.对点训练1. (2021新高考卷)若抛物线y2=2px(p0)的焦点到直线y=x+1的距离为2,则p=()A.1B.2C.22D.4【解析】选B.抛物线的焦点坐标为p2,0,其到直线x-y+1=0的距离d=p2-0+11+1=2,解得p=2(p=-6舍去).2.(多选题)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为
16、圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,若ABD=90,且ABF的面积为93,则下列选项正确的是()A.|BF|=3B.ABF是等边三角形C.点F到准线的距离为3D.抛物线C的方程为y2=12x【解析】选BC.根据题意,作出满足题意的几何图形如图所示,由抛物线及圆的定义可得|AB|=|AF|=|BF|,所以ABF是等边三角形,故B正确;由ABF的面积为34|BF|2=93,可知|BF|=6.故A错误;FBD=30,又点F到准线的距离为|BF|sin 30=3=p,故C正确;该抛物线的方程为y2=6x.故D错误.考点三 抛物线的综合问题考情提示抛物线的综合问题一直是高考命题的热点,重点考查直线
17、与抛物线的位置关系,常与函数、方程、不等式等内容相结合.角度1 焦点弦问题例3(2024贵阳模拟)直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则|AB|=()A.4B.92C.8D.94【解析】选C.抛物线的焦点坐标为(32,0),准线方程为x=-32,设A(x1,y1),B(x2,y2),y12=6x1,y22=6x2,因为|AF|=3|BF|,所以x1+32=3(x2+32),得x1=3x2+3,因为|AF|=3|BF|,所以|y1|=3|y2|,即x1=9x2,由方程可得x1=92,x2=12,所以|AB|=x1+32+x2+32=x1+x2+3
18、=8.解题技法关于焦点弦的几个常用技巧(1)过抛物线y2=2px的焦点的直线方程常设为x=my+p2.(2)抛物线的焦点弦长为2psin2(为过焦点的直线的倾斜角),最小值为2p.(3)过抛物线的焦点弦的两个端点作抛物线的切线,两条切线的交点在准线上.角度2 直线与抛物线的相交问题例4(2024潍坊模拟)倾斜角为60的直线l过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,(1)求抛物线的准线方程;(2)求OAB的面积(O为坐标原点).【解析】(1)由已知可得,p=2,焦点在x轴上,所以,抛物线的准线方程为x=-1.(2)因为抛物线的方程为y2=4x,所以抛物线的焦点坐标为F(1,0).又因
19、为倾斜角为60的直线l,所以斜率为3,所以直线AB的方程为y=3(x-1).代入抛物线方程消去y并化简得3x2-10x+3=0.方法一:解得x1=13,x2=3,所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+3|3-13|=163.又点O到直线3x-y-3=0的距离为d=32,所以SOAB=12|AB|d=1216332=433.方法二:=100-36=640,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=103,过A,B分别作准线x=-1的垂线,设垂足分别为E,D如图所示.|AB|=|AF|+|BF|=|AE|+|BD|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=163.点O到直线3x-y-3=
20、0的距离为d=32,所以SOAB=12|AB|d=1216332=433.解题技法(1)直线与抛物线的弦长问题注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p;若不过焦点,则必须用一般弦长公式.(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.对点训练1.(2024湛江模拟)已知F为抛物线C:x2=8y的焦点,过F的直线l与抛物线C交于A,B两点,与圆x2+(y-2)2=4交于D,E两点,A,D在y轴的同侧,则|AD|BE|=()A.1B.4C.8D.16
21、【解析】选B.由题可知F(0,2),直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).由y=kx+2,x2=8y,得x2-8kx-16=0,故x1x2=-16.又y1=x128,y2=x228,所以y1y2=(x1x2)264=4.圆x2+(y-2)2=4的圆心为F(0,2),半径r=2,所以|AD|=|AF|-r=|AF|-2,|BE|=|BF|-r=|BF|-2.又|AF|=y1+2,|BF|=y2+2,所以|AD|=y1+2-2=y1,|BE|=y2+2-2=y2,所以|AD|BE|=y1y2=4.2. 已知抛物线方程为y2=4x,直线l:x+y+2=0
22、,抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为_.【解析】设与直线l平行且与抛物线相切的直线方程为x+y+m=0,由x+y+m=0y2=4x,得y2+4y+4m=0,则=16-16m=0,得m=1,所以切线方程为x+y+1=0,所以抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为d=2-12=2-22.答案:2-22【加练备选】(2024西安模拟)已知抛物线y2=2px(p0)的准线方程是x=-12.(1)求抛物线的方程;【解析】(1)因为抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-p2, 所以 -p2=-12, 解得p=1, 所以抛物线的方程为y2=2x.(2)设直线y=k(x-2)(k0)与抛物线相交
23、于M,N两点,若|MN|=210,求实数k的值.【解析】(2)如图,设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=k(x-2)代入y2=2x,消去y整理得 k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0.当=4(2k2+1)2-4k24k20时,x1+x2=2(2k2+1)k2=4k2+2k2, x1x2=4.|MN|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2(4k2+2)2k4-16=210,化简得:(1+k2)(16k2+4)=40k4,解得k2=1,经检验,此时0,故k=1.重难突破 抛物线的结论及其应用【考情分析】(1)过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重点,这
24、是因为在这一关系中具有很多性质,并通过这些性质及运算推导出很多有用的结论,常常是高考命题的切入点.(2)熟悉并记住抛物线焦点弦的结论,在解选择题、填空题时可直接运用,减少运算量;在做解答题时也可迅速打开解题思路.【常用结论】我们以抛物线y2=2px(p0)为例来研究【探究】已知AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,为直线AB与x轴正半轴的夹角,若A(x1,y1),B(x2,y2),则有下列结论:结论1:y1y2=-p2,x1x2=p24.结论2:|AB|=x1+x2+p=2psin2.结论3:1|AF|+1|BF|=2p.结论4:|AF|=x1+p2=p1-cos,|BF|=x2+p2
25、=p1+cos.结论5:SAOB=12|OF|y1-y2|=p22sin.【结论证明】通常在证明上述结论时,设出直线的方程与抛物线方程联立,利用根与系数关系求解,特别地,还要讨论斜率存在与否的情况,过程烦琐,运算量大.下面我们提供比较简单的证明结论的方法:【证明】由图可知|AF|-|AF|cos =p,得|AF|=p1-cos,同理可得|BF|=p1+cos.(结论4)1|AF|+1|BF|=1-cosp+1+cosp=2p(结论3)|AB|=|AF|+|BF|=p1-cos+p1+cos=2psin2.(结论2)由图可知y1=|AF|sin ,y2=-|BF|sin ,则y1y2=-|AF|
26、BF|sin2=-p1-cosp1+cossin2=-p2(结论1)SAOB=12|AB|p2sin =122psin2p2sin =p22sin(结论5)【典例研习】类型一 1|AF|+1|BF|=2p的应用例1已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,则2|AF|+|BF|最小值为()A.2B.26+3C.4D.3+22【解析】选D.因为p=2,所以1|AF|+1|BF|=2p=1,所以2|AF|+|BF|=(2|AF|+|BF|)(1|AF|+1|BF|)=3+2|AF|BF|+|BF|AF|3+22|AF|BF|BF|AF|=3+22,当且仅当|BF|=2|AF|时,
27、等号成立,因此,2|AF|+|BF|的最小值为3+22.类型二 焦半径、弦长问题例2已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条相互垂直的直线l1,l2,直线l1与C相交于A,B两点,直线l2与C相交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10【解析】选A.如图,设直线l1的倾斜角为,(0,2),则直线l2的倾斜角为2+,由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB|=2psin2=4sin2,|DE|=2psin2(2+)=4cos2,所以|AB|+|DE|=4sin2+4cos2=4sin2cos2=16sin2216,当且仅当sin2=1,即=4时取等号.所以
28、|AB|+|DE|的最小值为16.类型三 面积问题例3设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为()A.334B.938C.6332D.94【解析】选D.由2p=3,及|AB|=2psin2得|AB|=2psin2=3sin230=12.原点到直线AB的距离d=|OF|sin 30=38,故SAOB=12|AB|d=121238=94.对点训练1.(2023福州联考)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过F且倾斜角为3的直线交C于A,B两点,线段AB中点的纵坐标为3,则|AB|=()A.83B.4C.8D.24【解析】选
29、C.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以kAB=y1-y2x1-x2=y1-y2y12-y222p=2py1+y2.因为线段AB中点的纵坐标为3,所以y1+y2=23,又直线AB的倾斜角为3,所以kAB=3,即2p23=3,得p=3.所以抛物线C的方程为y2=6x,所以|AB|=2psin2=6sin23=8.2.设抛物线E:y2=6x的弦AB过焦点F,|AF|=3|BF|,过A,B分别作E的准线的垂线,垂足分别是A,B,则四边形AABB的面积等于()A.43B.83C.163D.323【解析】选C.方法一:不妨令A在x轴上方,如图所示,作BGAA,垂足为G,则AG=BB,|BG|=AB
30、.设|BF|=m,由|AF|=3|BF|,得|AF|=3m,所以|AB|=4m.由抛物线的定义知AA=|AF|=3m,BB=|BF|=m,则|AG|=2m,所以BAA=3.易知p=3,得|AB|=2psin23=6(32)2=8,所以|BG|=|AB|sin3=43,则S四边形AABB=12(|AA|+|BB|)|AB|=12|AB|BG|=12843=163.方法二:不妨令A在x轴上方,如图所示,作BGAA,垂足为G,由抛物线的定义知|AA|=|AF|,|BB|=|BF|,由1|AF|+1|BF|=2p=23,|AF|=3|BF|得,|BF|=2,|AF|=6,所以|AA|+|BB|=|AF
31、|+|BF|=8,|AG|=|AA|-|BB|=4,所以|AB|=|BG|=82-42=43,则S四边形AABB=12(|AA|+|BB|)|AB|=12(6+2)43=163.方法三:设直线AB的倾斜角为,不妨令A在x轴上方,|AF|=p1-cos=31-cos,|BF|=p1+cos=31+cos,由|AF|=3|BF|,得31-cos=331+cos,解得cos =12,因为(0,),所以=3,由抛物线定义,得|AA|=|AF|=31-cos 3=6,|BB|=|BF|=31+cos 3=2,所以|AB|=(|AF|+|BF|)sin =8sin 3=43,则S四边形AABB=12(|A
32、A|+|BB|)|AB|=12(6+2)43=163.【加练备选】已知A,B是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的直线与抛物线的交点,O是坐标原点,且满足AB=3FB,SOAB=23|AB|,则|AB|的值为()A.92B.29C.4D.2【解析】选A.如图,不妨令直线AB的倾斜角为,(0,2),因为AB=3FB,所以F为AB的三等分点,令|BF|=t,则|AF|=2t,由1|BF|+1|AF|=2p,得1t+12t=2pt=34p,所以|AB|=3t=94p,又|AB|=2psin2,所以2psin2=94psin =223,又SAOB=23|AB|,所以p22sin=23|AB|,即p2423=2394pp=2,所以|AB|=92.
