1、2025年高考数学一轮复习-极化恒等式、投影向量-专项训练一、基本技能练1.设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab等于()A.1B.2 C.3D.42.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA3，OC5，若7，则()A.9B.21C.21D.93.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，2，则()A.B.C.D.4.已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则的最大值是()A.B.2 C.D.5.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A.1B.2 C.D.6.已知AB为圆x2y21的一条直径，点P为直线xy20上任意
2、一点，则的最小值为()A.1B.C.2D.27.已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则()的最小值为()A.B.C.D.18.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值为()A.2B.C.D.19.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_.10.在ABC中，AB6，AC5，A120，动点P在以C为圆心，2为半径的圆上，则的最小值为_.11.在RtABC中，CACB2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN，则的取值范围是_.12.已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB8，CD6，
3、则的取值范围是_.二、创新拓展练13.若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A.2B.3C.6D.814.(多选)已知在ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0BAB，且对于边AB上任一点P，恒有，则()A.22 B.存在点P，使|C.0 D.ACBC15.在半径为1的扇形中，AOB60，C为弧上的动点，AB与OC交于P，则的最小值为_.16.如图，在平面四边形ABCD中，ACAD2，DAC120，ABC90，则的最大值为_.参考答案与解析一、基本技能练1.答案A解析由极化恒等式得ab(ab)2(ab)2(106)1.2.答案D解析|2|27，|216
4、，|2|225169.3.答案B解析2，圆O的半径为1，|.法一()()2()01.法二由极化恒等式得221.4.答案B解析如图所示，取CD的中点E，连接PE，由极化恒等式可得22|2，所以当P与A(B)重合时，|最大，从而()max2.5.答案C解析由极化恒等式(ac)(bc)(ab2c)2(ab)2，(ac)(bc)0，所以(ab2c)2(ab)2，故c2(ab)c，又因为|a|b|1，ab，|ab|，于是|c|2|ab|c|c|，|c|.6.答案A解析如图所示，由极化恒等式易知，当OP与直线xy20垂直时，有最小值，即22()2121.故选A.7.答案C解析2，()2，取OC中点D(图略
5、)，由极化恒等式得，|2|2|2，又|0，()的最小值为.8.答案B解析取BC的中点D，连接AD，PD，取AD的中点E，连接PE.由ABC是边长为2的等边三角形，E为中线AD的中点得AEAD，则()22(|2|2)22，当且仅当|0时，取等号，()的最小值为.9.答案16解析设AB的中点为M，则22|29，所以要求的最小值，只需求|的最小值，显然当点P为线段MC与圆的交点时，|取得最小值，最小值为|MC|2.在AMC中，由余弦定理得|MC|23252235cos 12049，所以|MC|7，所以|的最小值为5，则的最小值为16.11.答案解析取MN的中点为P，由极化恒等式得|2|MN|2|2.
6、当P为AB的中点时，|取最小值为，则的最小值为；当M与A(或N与B)重合时，|取最大值为，则的最大值为2，所以的取值范围是.12.答案9，0解析如图，取CD的中点G，连接OG，MO，CO，得OGCD，|2|2|216，|，|4，9，0.二、创新拓展练13.答案C解析如图，由已知OF1，取FO中点E，连接PE，由极化恒等式得：|2|2|2，当P在椭圆右顶点时，|2有最大值，|，的最大值为6.14.答案AD解析如图所示，取BC的中点D，连接PD，根据向量的极化恒等式，有22，22.又，所以|，A正确；B错误；故由点P为边AB上任意一点知：点D到边AB上点的距离的最小值为|，从而DP0AB，0，C错误；取AB的中点E，则由P0BAB知，CEDP0，故CEAB，于是ACBC，D正确.15.答案解析取OB的中点D，作DEAB于点E，连接PD，则|2|2|2，易知|，则2，故所求最小值为.16.答案1解析取CD的中点E，连接EA，EB，ACAD2，DAC120，AECD，DEADsin 60，由ABCAEC90，A，B，C，E四点共圆，且AC为直径，则|2|2|2()2|232231，所以的最大值为1.
