1、湘教版高中数学必修第一册-5.3.1.3正弦函数、余弦函数的单调性与最值-学案讲义教材要点要点正、余弦函数的图象与性质正弦函数余弦函数图象值域_单调性在_(kZ)上递增，在_(kZ)上递减在_(kZ)上递增，在_(kZ)上递减最值x_(kZ)时，ymax1；x_(kZ)时，ymin1x_(kZ)时，ymax1；x_(kZ)时，ymin1状元随笔(1)正、余弦函数的单调性：求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步；单调区间要在定义域内求解；确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意用复合函数法来判断(2)正、余弦函数的最值明确正、
2、余弦函数的有界性，即|sin x|1, |cos x|1；对有些函数，其最值不一定就是1或1，要依赖函数的定义域来决定；形如yA sin (x)(A0，0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令xz，将函数转化为yA sin z的形式求最值基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)在区间0，3上，函数ycos x仅在x0时取得最大值1.()(2)正弦函数在第一象限是增函数()(3)存在实数x，使得cos x2.()(4)余弦函数ycos x在0，上是减函数()2下列函数中，既为偶函数又在(0，)上单调递增的是()Aycos |x|Bycos |x|Cysin (x-2) Dy
3、sin x23函数y12cos2x的最小值，最大值分别是()A1，3 B1，1C0，3 D0，14比较大小：sin 35_cos 5.题型1正弦、余弦函数的单调性例1求函数y2sin 42x的单调区间方法归纳求与正、余弦函数有关的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间(2)在求形如yA sin (x)(A0，0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“x”看作一个整体“z”，即通过求yA sin z的单调区间而求出原函数的单调区间求形如yA cos (x)(A0，0)的函数的单调区间同上(3)0时，一般用诱导公式转化为0后求解；若A0，则单调性相反跟踪训练1(
4、1)函数f(x)2sin (x-()/(3)，x，0的单调递增区间是()A BC D(2)函数ycos x的单调减区间为_题型2单调性在三角函数中的应用角度1比较大小例2比较下列各组数的大小(1)sin 215与sin 425. (2)cos 178与cos 379方法归纳比较三角函数值大小的方法(1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值(2)不同名的函数化为同名函数(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间角度2利用正弦、余弦函数的单调性求参数例3已知0，函数f(x)sin x+4在2，上单调递减，则的取值范围是()A BC D(0，2)方法归纳对于已知形如yA sin (x)或yA cos
5、 (x)(A0，0)的函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子区间；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解跟踪训练2(1)sin 1，sin 2，sin 3的大小关系是()Asin 1sin 2sin 3 Bsin 3sin 2sin 1Csin 2sin 3sin 1 Dsin 3sin 1sin 2(2)若函数f(x)cos 2x(0)在区间上为减函数，在区间上为增函数，则等于()A3 B2C32 D23三角函数的值域(或最值)问题角度1正弦、余弦函数的值域(或最值)问题例4求函数y2sin 2x3，x3，34的值域方
6、法归纳形如yA sin (x)或yA cos (x)的三角函数值域(或最值)问题，要注意x的取值范围一般情况下先利用x的取值范围，求出x的范围，再求三角函数的值域(或最值)角度2形如yA sin2xB sinxC或yA cos2xB cosxC型的最值(或值域)问题例5求函数ycos2xsinx，x3，6的最大值和最小值及相应的x值方法归纳求形如yA sin2xB sinxC，A0，xR的函数的值域或最值时，可以通过换元，令tsin x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性(有时也用t来替换cos x)跟踪训练3(1)函数y2cos 2x+6
7、1的最小值是_，此时x_(2)函数yy2sin2x2sinx12，x6，56的值域是_易错辨析忽视参数的分类致误例6已知函数y2a sin 2x3b的定义域为0，2，函数的最大值为1，最小值为5，求a和b的值解析：0x2，32x323.32sin 2x31.若a0，则2a+b=1，3a+b=5，解得a=1263，b=23+123.若a0，则2a+b=5，3a+b=1，解得a=12+63，b=19123.易错警示易错原因纠错心得只考虑a0的情况，漏掉了a0的情况，导致丢解形如yA sin (x)B或yA cos (x)B的函数，其最值与参数A的正负有关，因此在解决这类问题时，要注意对A分A0和A
8、0两种情况进行分类讨论课堂十分钟1下列不等式中成立的是()Asin 8sin 10Bsin 3sin 2Csin 75sin 25Dsin 2cos 12函数ysin 2x+3在区间0，上的单调递增区间为()A512，1112 B0，512C6，23 D23，3已知函数f(x)2sin 2x+61(xR)，则f(x)在区间0，2上的最大值与最小值分别是()A1，2 B2，1C1，1 D2，24已知函数f(x)sin x(0)，若f(x)在0，2上单调递增，则实数的取值范围是_5求函数ycos2x4cosx1，x3，23的值域参考答案与解析新知初探课前预习要点1，11，12k2，2k+22k+2
9、，2k+322k，2k2k，2k2k22k22k2k基础自测1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：ycos |x|在0，2上是减函数，排除A；ycos |x|cos |x|，排除B；ysin x2sin 2xcos x是偶函数，且在(0，)上单调递增，符合题意；ysin x2在(0，)上是单调递减的，排除D.故选C.答案：C3解析：1cos 2x1，1y3.故选A.答案：A4解析：sin 35sin 2+10cos 10.0105，ycos x在0，上递减，cos 10cos 5，即sin 35cos 5.答案：题型探究课堂解透例1解析：y2sin 42x2sin 2x4，由22k2x432
10、2k(kZ)，得38kx78k，kZ.所以函数y2sin 42x的单调增区间为k+38，k+78(kZ)，由2k22x422k，(kZ)，得k8xk38(kZ)所以函数y2sin 42x的单调减区间为k8，k+38(kZ)跟踪训练1解析：(1)令2k2x32k2，kZ，解得2k6x2k56，kZ，又x0，6x0.故选D.(2)由2kx2k，kZ得2kx12k，kZ，即函数ycos x的单调减区间为2k，2k+1kZ.答案：(1)D(2)2k，2k+1kZ例2解析：(1)sin 215sin 4+5sin 5，sin 425sin 8+25sin 25，又ysin x在0，2上单调递增，且052
11、52，sin 5sin 25，sin 215cos 8，cos 379cos 178.例3解析：方法一由2x0，得2+4x40，得4+2kx54+2k，kZ.因此函数f(x)的单调递减区间为4+2k，54+2k，kZ.由题意知2，4，54，所以24，54.解得1254，故选A.答案：A跟踪训练2解析：(1)sin 2sin (2)，sin 3sin (3)03122，ysin x在0，2上为增函数，sin (3)sin 1sin (2)，故sin 3sin 10)为减函数，当2x2，即2x时，f(x)cos 2x(0)为增函数，由题意知23，32.故选C.答案：(1)D(2)C例4解析：x3，
12、34，2x23，32，2x33，76，sin 2x312，1.2sin 2x31，2，故f(x)2sin 2x3在3，34上的值域为1，2.例5解析：ycos2xsinx1sin2xsinxsin2xsinx1，令sin xt，x3，6，t32，12，yt2t1t+12254，当t12，即x6时，f(x)有最大值，f(x)max54；当t12，即x6时，f(x)有最小值，f(x)min14.跟踪训练3解析：(1)当2x62k，kZ，x512k，kZ，ymin213.(2)令tsin x，x6，56，t12，1，y2t22t122t+1221，y1，72，故函数f(x)的值域为1，72.答案：(
13、1)3512k，kZ(2)1，72课堂十分钟1解析：因为sin 2cos 22cos 22，且0221cos 1，即sin 2cos 1.故选D.答案：D2解析：ysin 2x+3sin 2x3，当2k22x32k32，即k512xk1112时，kZ，函数单调递增，函数在区间0，上的单调递增区间为512，1112.故选A.答案：A3解析：0x2，62x676，当2x62时，即sin 2x+61时，函数取得最大值为211，当2x676时，即sin 2x+612时，函数取得最小值为12212.故选A.答案：A4解析：由题意知：22，即01.答案：(0，15解析：x3，23，12cos x12.ycos2x4cosx1(cos x2)23，当cos x12时，ymax134；当cos x12时，ymin34，ycos2x4cosx1的值域为34，134.
