1、第八单元数学广角数与形8.1 数学广角数与形【基础巩固】一、选择题1在一个平面上有68个点，一共可以连（）条线段。A68B2278C2346D11902观察下列一组按规律排列的数：1，这一组数的第100个数是（）。ABC3古希腊的数学家毕达哥拉斯在没有纸笔的时代，用沙子在沙滩上画呀画，发现了数与形的规律。照下面的图形排列规律，第12组图形里共有（）个正方形的顶点。A48B37C24D364如图，按下面的方式用小棒摆六边形。照这样的规律接着摆下去，第10个图形需要（）根小棒。A41B51C615找规律：，（），括号里的数是（）。ABC二、填空题6按规律填空。图形小棒根数3579照这样摆下去，第1
2、0幅图需要( )根小棒。第n幅图需要( )根小棒。7探究规律，巧妙计算。( )( )8按规律填数：1，3，4，5，9，7，_，_。9下图是一组有规律的图案，第个图案由4个基础图形组成，第个图案由7个基础图形组成，那么第个图案由_个基础图形组成，第个图案由_个基础图形组成。106个点可以连( )条线，n个点可以连( )条线。三、计算题11找规律，直接写出后面各题的得数。 1234.5679911111.11111234.5679361234.56791822222.2222 1234.5679451234.56792733333.3333 1234.567954【能力提升】四、解答题12（1）数
3、一数下图有几个长方形？（列出算式并计算） （2）仿照上面的分析方法想一想，一共有（）个长方形。 13照这样画下去，第6个图形中黑色和白色方块各有多少块？第10个图形呢？黑色1块2块3块白色：8块13块18块【拓展实践】14小明用牙签搭六边形，如下图。（1）数一数，上面四幅图每幅各用了多少根牙签？（2）接着画下去，第五幅图将用多少根牙签？第八幅图呢？（3）你能利用规律直接写成第n幅图一共要用多少根吗？15农夫将苹果树种在正方形果园里。为了保护苹果树不被风吹，他在苹果树的周围种了一些针叶树。在下图中，你可以看到农夫种植苹果树的列数n和苹果树数量及针叶树数量的规律。（1）请你分别用含有n的式子表示苹
4、果树和针叶树的数量。（2）当农夫种的苹果树列数为多少时，苹果树的数量会等于针叶树的数量？16数与形。（1）仔细观察每幅图和它下面的算式之间的关系，根据发现的规律，接着画出后面的两个图形，并完成图形下面的算式。 （2）根据上面的规律，完成下面的算式。1002992（）（ ）（）2020220192（）（ ）（）参考答案1B【分析】每个点都可与其它点连成一条线段，这样就重复了一遍，点数（点数1）2线段数量，据此分析。【详解】68（681）268672455622278（条）故答案为：B【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。2B【分析】通过观察不难发
5、现，从1开始，各分数的分子为连续自然数，分母为连续奇数，第100个数就是，由此求解。【详解】由分析可得：故答案为：B【点睛】关键是根据已知的数得出前后数之间的变化关系的规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题。3B【分析】根据题图可知，每增加一个正方形就增加3个顶点，据此可知，当有n个正方形时，就有43（n1）3n1个顶点，据此解答即可。【详解】当有n个正方形时，就有（3n1）个顶点；当n12时；3n1312136137故答案为：B。【点睛】明确每增加一个正方形就增加3个顶点是解答本题的关键，进而根据这一发现总结出规律。4B【分析】看图，摆1个六边形需要1516（根）小棒，摆2个六边
6、形需要25111（根）小棒，摆3个六边形需要35116（根）小棒。据此，推理出第10个图形需要多少根小棒。【详解】105150151（根）所以，第10个图形需要51根小棒。故答案为：B【点睛】本题考查了数与形，有一定归纳总结能力是解题的关键。5A【分析】观察这列数，发现分母是22，32，42，52，62，的规律排列的，分子是按照1，2，3，4，5，6，则括号里的数的分母是72，分子是6，据此解答即可。【详解】括号里的数是。故答案为：A。【点睛】本题考查找规律，解答本题的关键是根据数的分子和分母找到排列规律。6 21 （12n）【分析】通过观察可知，三角形个数每次增加1个，所需小棒数每次增加2根
7、，据此解答。【详解】第1图小棒数：33第2图小棒数：5312第3图小棒数：7322第4图小棒数：9332第10图小棒数：21392第n图小棒数：12n3（n1）2【点睛】本题考查运用数形结合方法，探索数学规律。7 【分析】每组算式中的两个分数的分子都是1，分母是连续的自然数，则得数的分子是减数的分母减被减数分母的差，分母是两个分母的乘积。【详解】【点睛】此题首先从形式上找出规律，再从运算的结果中进一步发现规律，最后推广到一般形式即可。816 9【分析】观察算式，1、4、9为奇数项，3、5、7为偶数项，找出规律：奇数项是连续的平方数，偶数项依次加2。据此解答。【详解】12122432942163
8、25527729所以按规律填数：1，3，4，5，9，7，16，9。【点睛】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。910 31【分析】观察图形，发现第个图案由4个基础图形组成，第个图案由7个基础图形组成，第个图案由10个基础图形组成发现规律：4131，7231，10331；据此找到规律并解答。【详解】第个图案中基础图形有4个，4131；第个图案中基础图形有7个，7231；第个图案中基础图形有10个，10331；第n个图形中基础图形有：（3n1）个；第个图形中基础图形有：103130131（个）【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按
9、规律解题。1015 # n（n1）2【分析】从1个点出发，都可与其余各点连成一条直线，所以点的数量（点的数量1），相当于重复计算了一遍，再除以2就是线的数量，即线的数量点的数量（点的数量1）2，据此分析。【详解】6（61）265215（条）n（n1）2 n（n1）2n22n2（条）【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。1144444.4444；55555.5555；66666.6666【分析】由“1234.5679911111.1111，1234.56791822222.2222，1234.56792733333.3333”可以看出，第一个因数
10、不变，第二个因数在第一个式子9的基础上分别乘2、乘3、乘4根据积的变化规律得所得的积也乘2、乘3、乘4据此即可直接写出各数的积。【详解】根据规律，直接写出后几道题的得数：1234.5679911111.11111234.567936 44444.4444 1234.56791822222.22221234.56794555555.55551234.56792733333.33331234.56795466666.666612（1）有10个；有3个；（2）30【分析】（1）中横着数有10条线段，竖着数只有1条线段，有10110个长方形；横着数有1条线段，竖着数有3条线段，有133个长方形。（2）
11、横着数有10条线段，竖着数有3条线段，所以有10330个长方形。【详解】（1）10110（个）133（个）答：有10个长方形，有3个长方形。（2）10330（个）【点睛】通过前面两个图形找出数长方形的规律，然后再推断出第2题长方形的个数。136块，33块；10块，53块【分析】根据第几个图形1 234n黑色：1块2块3块4块 n块白色：8块 13块18块23块（35n）块351352353354 35n所以，第6个图形中黑色有6块，白色方块有33块；第10个图形中黑色有10块，白色方块有53块。【详解】由分析得，第6个图形中黑色有6块，白色方块有：35633033（块）第10个图形中黑色有10
12、块，白色方块有：351035053（块）【点睛】此题考查的是找规律，解答此题关键是正确找出规律并用规律解决问题。14（1）6根；11根；16根；21根；（2）26根；41根；（3）（5n1）根【分析】分析图形可知，每增加一个六边形就增加5根牙签，第1个图形一共用了6根牙签，第2个图形一共用了（65）根牙签，第3个图形一共用了（652）根牙签，第4个图形一共用了（653）根牙签则第n个图形一共用了65（n1）根牙签，据此解答。【详解】（1）第1幅图用了6根，第2幅图用了11根，第3幅图用了16根，第4幅图用了21根。（2）第5幅图：65（51）65462026（根）第8幅图：65（81）6405
13、46541（根）答：第五幅图将用26根牙签，第八幅图将用41根牙签。（3）65（n1）65n5（5n1）根答：第n幅图一共要用（5n1）根。【点睛】用含有字母的式子表示出图形变化的规律是解答题目的关键。15（1）n2；8n；（2）8【分析】（1）观察图形可以发现，苹果树的数量为相应序号的平方，再求出各个图形中针叶树的棵树，用n表示出来即可；（2）找出规律之后列出等式，解出方程即可。【详解】（1）苹果树棵数：n2；针叶树棵数：8n（2）n28nn（n8）0n18，n20n0，n0不合题，舍去。n8答：当农夫种的苹果树列数为8时，苹果树的数量会等于针叶树的数量。【点睛】这是一道找规律的题目，需要明确苹果树的数量，针叶树的数量与苹果树的列数的关系。16（1）549；6511（2）100；99；199 2020；2019；4039【分析】观察可知，大正方形和空白正方形的边长依次增加1，相邻两个数的平方的差等于这两个数的和，据此分析。【详解】（1）（2）根据上面的规律，完成下面的算式。1002992100991992020220192202020194039【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
